MAP1142  ANALIZA MATEMATYCZNA 1.1A
Listy zadań na semestr zimowy 2009/10
Lista 1
1.1. Zbadać, czy podane sformułowania są zdaniami w logice. Jeśli są, to podać ich wartość logiczną:
a)  Paryż jest stolicą Francji ; b)  Liczba 101000 + 1 jest podzielna przez 2 ; c)  a2 + b2 = c2 ;
d)  Piotr nie jest moim bratem ; e)  25 32 ; f)  " = b2 - 4ac .
1.2. Ocenić prawdziwość zdań złożonych:
a)  nieprawda, że funkcja f(x) = x2 jest rosnąca na R ;
b)  (-1)44 = -1 lub 2008 jest liczbÄ… parzystÄ… ;
c)  funkcja g(x) = sin x jest okresowa, a funkcja f(x) = 3x nieparzysta ;
d)  jeżeli Piotr jest synem Tadeusza, to Tadeusz jest starszy od Piotra .
1.3. Zbadać, czy prawami logicznymi są funkcje zdaniowe:
a) Ź (p (" q) =Ò! [(Źp) '" (Źq)] ; b) p =Ò! [(q '" Źq) =Ò! r] ;
c) (p =Ò! q) =Ò! [(Źp) (" q] ; d) [p '" (Źq)] (" [(Źp) '" q] .
1.4. Zbiory określone za pomocą formy zdaniowej zapisać w prostszej postaci:

a) x " R : x2 = 4 ; b) {k " {c&, f&, e&, `&} : w brydżu kolor k jest starszy od f&};
c) {x " R : (x < 3) (" (x 5)}; d) {n " N : n jest podzielne przez 5};

e) x " R : (x > 0) =Ò! x2 > 0 ; f) {(x, y, z) : x, y, z " N '" x < y < z '" xyz = 16}.
1.5. Podać przykłady warunków, które spełniają tylko elementy zbiorów:
a) [-1, 7] ; b) {As, Król, Dama, Walet}; c) {2, 4, 6, . . .};

1 1 1 1 1
d) , , , , , . . . ; e) {1} *" [2, 3]; f) {-1, 1, -3, 3, -5, 5, -15, 15}.
2 3 5 7 11
1.6. Zbadać, czy są prawdziwe formy zdaniowe z kwantyfikatorami :

1
a) sin x = ; b) x2 + 4x + 3 > 0;
2
x"R x"R

c) x2 - y2 = 0; d) xy = 0.
x"R y"R y"R x"R
1.7. Dla par podanych zbiorów A, B ‚" R wyznaczyć zbiory A *" B, A )" B, A \ B, B \ A, Ac, Bc, AÅ‚%B:
a) A = (0, 5), B = [0, 7]; b) A = (-", 3), B = (-1, ");

1 2
c) A = {1, 2}, B = {1, 2, 3, 4}; d) A = : n " N , B = : n " N .
n n
Wskazać te pary A, B, dla których A ‚" B.
1.8. Okreslić relację zawierania między zbiorami A, B, jeżeli:
a) A *" B = A; b) A *" B ‚" A; c) A \ B = A; d) B ‚" A )" B.
1
Lista 2
2.1. Określić funkcje złożone f ć% f, f ć% g, g ć% f, g ć% g, jeżeli
"
1
a) f(x) = , g(x) = x2; b) f(x) = x, g(x) = x4;
x
"
1 1
c) f(x) = , g(x) = ; d) f(x) = |x|, g(x) = x + 1.
x + 1 x + 2
Wyznaczyć dziedziny tych funkcji złożonych.
2.2. Uzasadnić, że złożenie funkcji:
a) rosnÄ…cych jest funkcjÄ… rosnÄ…cÄ…;
b) rosnÄ…cej i malejÄ…cej jest funkcjÄ… malejÄ…cÄ…;
c) malejÄ…cych jest funkcjÄ… rosnÄ…cÄ….
2.3. Znalez
ć funkcje f i g takie, że h = f ć% g, jeżeli:
|x| + 1 x2 + 2x + 1
a) h(x) = ; b) h(x) = ;
|x| - 1 x2 + 2x - 1

x + 1
c) h(x) = ; d) h(x) = x4 + 2x2 - 2.
x
Czy funkcje f i g sÄ… wyznaczone jednoznacznie?
2.4. Podać przedziały lub zbiory, na których funkcje o podanych wykresach są różnowartościowe:
y y y
a) b) c)
4
y=f(x)
y=f(x) y=f(k)
1 1
4.2
x x
1 1 -1 1 2 3 k
y y y
d) e) f)
y=f(x)
1
x x
1
-1
y=f(x) y=f(x)
x
2.5 4
2.5. Uzasadnić, że podane funkcje są różnowartościowe na wskazanych zbiorach:
1
a) f(x) = , R \ {0}; b) f(x) = x4, [0, ");
x

" "
1
c) f(x) = x - 3, [0, "); d) f(x) = x - x, , " .
4
"
2.6. Korzystajac z wykresu funkcji y = x naszkicować wykresy funkcji:
" "
"
a) y = x - 2; b) y = 2 x; c) y = 2 - x;
"
" "
d) y = 2 - x; e) y = 1 + x; f) y = 1 - x + 1.
2.7. Połączyć podane wzory funkcji z ich wykresami. Wyznaczyć (jeżeli istnieją) funkcje odwrotne i naszkicować
ich wykresy.
2
a) y = 2x; b) y = -2x; c) y = 2-x;
d) y = -2-x; e) y = 2x + 2; f) y = 2x - 2;
g) y = 2x+1; h) y = 2x-1; i) y = 2|x|.
y y y
A) B) C)
1 1
1
x x x
1 1 1
y y y
D) E) F)
1 1 1
1
x x x
1 1
y y y
G) H) I)
1
1
1
x x x
1 1 1
2.8. Znalez
ć funkcje odwrotne do funkcji:

"
-x2 dla x < 0,
3
a) f(x) = 3 - x + 2; b) f(x) = x6 sgn x; c) f(x) =
2 + x dla x 0;
d) f(x) = log(x + 2); e) f(x) = log 1 2x; f) f(x) = log3(x + 1).
2
2
2.9. Połączyć wykresy funkcji (oznaczenia od a)  f)) z wykresami funkcji do nich odwrotnych (oznaczenia od
1)  6.)
3
y y y
a) b) c)
x x
x
y y y
d) e) f)
x
x x
y y y
1) 2) 3)
x x
x
y y y
4) 5) 6)
x x
x
Lista 3
3.1. Korzystając z wykresu funkcji y = sin x naszkicować w przedziale [-Ą, Ą] wykresy funkcji:

x Ä„
a) y = sin 2x; b) y = sin ; c) y = sin x + ;
3 4

1 Ä„
d) y = 1 + sin x; e) y = sin x - 1; f) y = sin 2 x - .
2 6
3.2. Naszkicować wykresy funkcji:


1
Ä„

a) y = sin x - sin x ; b) y = 1 + ctg x + ; c) y = tg x + | tg x|; d) y = |tg x| ctg x.
2
4

Ä„
3.3. Korzystając ze wzorów redukcyjnych zapisać w postaci funkcji trygonometrycznych kąta ą " 0,
2
wyrażenia:


3Ä„ 5Ä„ Ä„
a) sin - Ä… ; b) cos + Ä… ; c) tg (Ä„ - Ä…); d) ctg + Ä… .
2 2 2
3.4. Uzasadnić tożsamości trygonometryczne:
1 + tg Ä… 1 2
a) = tg Ä…; b) sin4 Ä…+cos4 Ä… = 1- sin2 2Ä…; c) tg Ä… + ctg Ä… = ;
1 + ctg Ä… 2 sin 2Ä…
Ä… 1 - cos Ä… 1
d) tg = ; e) sin4 Ä…-cos4 Ä… = sin2 Ä…-cos2 Ä…; f) - cos Ä… = sin Ä… tg Ä….
2 sin Ä… cos Ä…
Dla jakich kątów ą są one prawdziwe?
4
3.5. Obliczyć wartości wyrażeń:

1 1 3 8
a) tg arc cos ; b) ctg arc sin ; c) sin arc sin + arc sin ; d*) sin (arc tg 1 + arc tg 2).
2 3 5 17
3.6. Znalez
ć funkcje odwrotne do funkcji:

Ä„ 3Ä„
a) f(x) = sin x, x " , ; b) f(x) = cos x, x " [Ä„, 2Ä„];
2 2

3Ä„ Ä„
c) f(x) = tg x, x " - , - ; d) f(x) = ctg x, x " (Ä„, 2Ä„).
2 2
Naszkicować wykresy otrzymanych funkcji odwrotnych.
3.7.* Naszkicować wykresy funkcji:
a) y = sin (arc sin x); b) y = arc sin (sin x); c) y = cos (arc sin x); d) y = cos (2 arc cos x).
Lista 4
4.1. Zbadać, czy podane ciągi są ograniczone z dołu, z góry, są ograniczone:
" " "
(-2)n
n
a) an = 2n + 1; b) an = ; c) an = n + 8 - n + 3;
1 + (-2)n
1 1 1 2 + cos n
d) an = + + . . . + ; e) an = ; f) an = 2n - 3n.
41 + 1 42 + 2 4n + n 3 - 2 sin n
4.2. Zbadać, czy podane ciągi są monotoniczne od pewnego miejsca:

1 4n
a) an = ; b) an = ; c) an = n2 + 1 - n;
n2 - 6n + 10 2n + 3n
n! 2n + 1 100Ä„
d) an = ; e) an = ; f) an = tg .
10n 3n + 1 2n + 1
4.3. Korzystając z definicji granicy właściwej lub niewłaściwej ciągu uzasadnić równości:
"
3 - n 2n + 1 2 n + 1
c) lim = -1; b) lim = 0; c) lim " = 2;
n" n" n"
n + 4 n2 n + 1
"
1
3
d) lim = 0; e) lim log2(n + 3) = "; f) lim 10 - n = -".
n" n" n"
2n + 5
4.4. Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów obliczyć granice:
3
n20 + 2
n3 + 2n2 + 1 1 + 3 + . . . + (2n - 1)
a) lim ; b) lim ; c) lim ;
n" - 3n3 2 + 4 + . . . + 2n
n" n"
n
(n3 + 1)20




n2 + 1 n! + 1 " "
d) lim ; e) lim n2 + 4n + 1 - n2 + 2n ; f) lim n + 6 n + 1 - n ;
n" n" n"
(2n + 1)(n + 1)!
" "
3
n3 + 1 8n+1 + 3
4
g) lim n4 + 16 - n ; h) lim " ; i) lim .
3
n" n" n"
2n + 1
n5 + 1 + 1
4.5. KorzystajÄ…c z twierdzenia o trzech ciÄ…gach znalez
ć granice:
"
2n + (-1)n #nĄ#
n
a) lim ; b) lim ; c) lim 3 + sin n;
n" n" n"
3n + 2 n


"
1 2 3 4 1 1 1
n n
d) lim + + + ; e) lim n2n + 1; f) lim + + . . . + ;
n" n" n"
n n2 n3 n4 n2 + 1 n2 + 2 n2 + n
"

n 2
3n + 2n
n+2
n
g) lim " ; h) lim ; i) lim 3n + 4n+1.
n" n" n"
5n + 4n
n 3
4.6. Korzystając z definicji liczby e oraz z twierdzenia o granicy podciągu obliczyć granice:
5
 3n-2 15n n
1 5n + 2 3n
a) lim 1 + ; b) lim ; c) lim ;
n" n" n"
n 5n + 1 3n + 1
2
5-2n n n n
n + 4 n2 3n + 2 5n + 3
d) lim ; e) lim ; f) lim · .
n" n" n"
n + 3 n2 + 1 5n + 2 3n + 1
Lista 5
5.1. Korzystając z twierdzenia o dwóch ciągach znalez
ć granice:
"
n
a) lim nn + 5; b) lim (3n cos n - 4n); c) lim (sin n-2) n2;
n" n" n"

n n

1 1 1 1 1 1
"
d) lim + 5- ; e) lim n5-10n6+1 ; f) lim " + " +. . .+ .
n" n" n"
3 n n # n#
1 2
5.2. Korzystając z twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów obliczyć granice:
" Ä„ n

1 - (n + 1)!
a) lim n4 - 3n3 - 2n2 - 1 ; b) lim ; c) lim 3 - cos ;
n" n" n"
n! + 2 n
n
arc tg n n2 + 1 n + 1
d) lim ; e) lim ; f) lim ;
n" n" n"
arc ctg n n 2n
n + 1 arc tg 2n
g) lim (1 + 2n - 3n); h) lim ; i) lim .
n" n" n"
2n
n ln(n + 1) - ln n
5.3. Korzystając z definicji Heinego granicy właściwej lub niewłaściwej funkcji uzasadnić równości:
sin2 x
a) lim (x - 2)5 = 1; b) lim = 0; c) lim #x# = -4;
x3 x0 x-Ä„
x

d) lim sgn(cos x) = -1; e) lim x2 - 9 = 0; f) lim (3x + 1) = 1;
Ä„ +
x-"
x x-3-
2
1 - 2x3 1 3 - x
g) lim = -2; h) lim = "; i) lim = -".
x" x 1
x3 + 1 x 2+ x - 2 |x2 + 2x - 3|
5.4. Uzasadnić, że podane granice nie istnieją:
"
x2
a) lim ; b) lim x2 ; c) lim sin x;
x3 - 3
x2 x"
x
1 sgn x
d) lim cos ; e) lim ; f) lim (x- #x#) .
x0 x5
x0- x2 sgn (x+1)
5.5. Zbadać, obliczając granice jednostronne, czy istnieją granice:
1
x2 - 4
x3
a) lim x sgn x; b) lim 2 ; c) lim ;
x0 x0 x2 - 2|
|x

#x# 1
d) lim sgn x 1 - x2 ; e) lim ; f) lim x arc tg .
x-1 x0 x0
x x
Lista 6
6.1. Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic funkcji obliczyć granice:
x3 - 1 x6 - 1 x2 - 5x + 4
a) lim ; b) lim ; c) lim ;
x" - 5)
x1 - 1 1 x(x
x1 - x2
x4
6
" " "
"
3
x - 2 - 2 x - 4 1 + x - 1 - x
d) lim ; e) lim " ; f) lim ;
x6 - 6 x 2x
x64 - 8
x0
x
"

1 + x2 2x + 1
g) lim x2 + 1 + x ; h) lim " ; i) lim ;
3
x-" x" x"
3x + 2
1 - x3

tg2 x + 1 sin2 x 1
j) lim ; k) lim ; l) lim tg x - .
Ä„
Ä„ -
x0 - cos x
x tg2 x + 5 1 x cos x
2
2
6.2. Korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach uzasadnić równości:
"
1 1
e) lim x cos = 0; a) lim x3 arc tg = 0; d) lim #x# sin(xĄ) = 0;
x0 x2
x0+ x2 x
2-x + sin x 2+sin x x + sin2 x
c) lim = 1; f) lim = 0; g) lim e = 0;
x-" x" x-"
2-x + cos x x2

#3ex#+2 3 1 1
h) lim = ; i) lim x3 = 0; j) lim sin x+ -sin x = 0.
x" x0 x"
#2ex#+1 2 x x
6.3. Korzystając z twierdzenia o dwóch funkcjach uzasadnić równości:
1


2 + sin
x2 + 1
1
x
a) lim = "; b) lim = "; c) lim 3 - cos ctg x = -".
x" x0
#x# x2 x0- x
6.4. Korzystając z granic podstawowych wyrażeń nieoznaczonych obliczyć granice:
x 1
sin tg
sin2 3x
2 x
a) lim ; b) lim ; c) lim ;
x
2
x0 x0 x"
x2
sin
tg
3
x
cos 3x - cos 7x cos 5x e3x - 1
d) lim ; e) lim ; f) lim ;
Ä„
x0 x cos 3x sin 2x
x0
x2
2
"
3
ln (1 + x) ln (1 + 2x) 2x - 1
g) lim ; h) lim ; i) lim " ;
x0 x-"
x 3x x0+ x - 1
4
2x-1 " "
3 6
1 1 + x - 1 - x
j) lim [1 + tg(2x)]ctg x; k) lim 1 + ; l) lim .
x0 x" x0
x + 2 x
Lista 7
7.1. Dla podanych funkcji wskazać odpowiadajace im wykresy:
3x + 1 2 - 2x x
a) f(x) = ; b) f(x) = ; c) f(x) = " ;
x + 2 2x2 + 1
x2 + x + 1
"
3x2 + 2x + 1 x2 + 2x 2 x2 + 1
d) f(x) = ; e) f(x) = ; f) f(x) = .
x2 + 2 x2 + 1 2x2 + 1
y y y
A) B) C)
2
3
1
y=f(x)
y=f(x)
y=f(x)
1
2
x x x
y y
E) F)
y
D)
y=f(x)
2
y=f(x)
3
1
y=f(x)
1
2
x
x x
7
7.2. Znalez
ć asymptoty pionowe i ukośne funkcji:
x3 + x2 x3 1 - x2
a) f(x) = ; b) f(x) = ; c) f(x) = ;
x2 - 4 (x + 1)2 x + 1
"
x - 3 1 + x2 1
d) f(x) = " ; e) f(x) = ; f) f(x) = ;
x ex - 1
x2 - 9
sin x sin2 x
g) f(x) = ; h) f(x) = ; i) f(x) = x - arc tg x.
x - Ä„ x3
7.3. Narysować wykresy funkcji spełniających wszystkie podane warunki:
a) lim f(x) = ", lim f(x) = 1, f(2) = 0, lim f(x) = -1;
x-" x"
x0-
b) lim f(x) = e, lim f(x) = 0, funkcja f jest parzysta;
x" x2
c) prosta y = x + 1 jest asymptotą ukośną funkcji f w -", prosta y = x - 1 asymptotą ukośną w ", a prosta
x = 0 jest jej asymptotÄ… pionowÄ… obustronnÄ…;
d) lim f(x) = 0, lim f(x) = 3, lim f(x) = -";
x-" x1 x"
e) lim f(x) = ", lim f(x) = -", lim f(x) = 1, lim f(x) = 5;
x-" x"
x0- x0+
f) lim f(x) = -4, lim f(x) = ", lim f(x) = 4;
x-" x-1 x"
g) lim f(x) = ", lim f(x) = 0, funkcja f jest okresowa i ma okres T = 3;
x1 x2
h) lim f(x) = 4, lim f(x) = ", funkcja f jest nieparzysta.
x-" x1
Na rysunkach wskazać fragmenty wykresów spełniające poszczególne warunki.
7.4. Dobrać parametry a, b " R tak, aby podane funkcje były ciągłe we wskazanych punktach:
Å„Å‚
Ä„ Ä„
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚ sin x dla |x| , x1 = - ,
x2+ax+b dla |x| < 2, x1 = -2,
2 2
a) f(x) = b) f(x) = "
ôÅ‚
ôÅ‚ Ä„ Ä„ x x2 - 4 dla |x| 2, x2 = 2;
ół
ax + b dla |x| < , x2 = ;
2 2
Å„Å‚
Å„Å‚
Ä„ Ä„
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚ a sin x + b cos x dla |x| > , x1 = - , òÅ‚ bx dla x < Ä„,
4 4
c) f(x) = d) f(x) =
sin x
ôÅ‚ ół
dla x Ä„, x0 = Ä„.
ôÅ‚ Ä„ Ä„
ół
ax
1 + tg x dla |x| , x2 = ;
4 4
7.5. Określić rodzaje nieciągłości funkcji w punkcie a (jeżeli istnieją) dla funkcji o podanych wykresach:
y y y
a) b) c)
y=f(x) y=f(x) y=f(x)
a x a x a x
y y y
d) e) f)
y=f(x)
y=f(x) y=f(x)
a x a x a x
7.6. Określić rodzaje nieciągłości podanych funkcji we wskazanych punktach:
8
Å„Å‚ Å„Å‚
x2-1
|x| + x
òÅ‚ òÅ‚
" dla x " (0, 1) *" (1, "),
dla x = 0,

a) f(x) = x-1 b) f(x) =
x2
ół ół
0 dla x = 0, x0 = 0;
3 dla x = 1, x0 = 1;
Å„Å‚
1
òÅ‚
1 - cos dla x = 0,

c) f(x) = sgn x(x - 1) , x0 = 1; d) f(x) =
x
ół
0 dla x = 0, x0 = 0.
Lista 8
8.1. Korzystając z twierdzenia Weierstrassa o przyjmowaniu kresów uzasadnić, że podane zagadnienia ekstre-
malne majÄ… rozwiÄ…zania:
a) wśród stożków wpisanych w kulę o promieniu r istnieje ten, który ma największą objętość;
b) wśród trójkątów prostokątnych wpisanych w koło o promieniu r istnieje ten, który ma największy obwód;
c) wśród prostokątów wpisanych w trójkąt równoboczny o boku a istnieje ten, który ma największe pole (zało-
żyć, że dwa wierzchołki prostokąta należą do ustalonego boku trójkąta);
8.2. Uzasadnić, że podane równania mają jednoznaczne rozwiązania we wskazanych przedziałach:


5Ä„ sin x Ä„
a) x3 + 6x - 2 = 0, (0, 1); b) x sin x = 7, 2Ä„, ; c) 1 = + x, 0, ;
2 2 2

1
d) x100 + x - 1 = 0, , 1 ; e) 3x + x = 3, (0, 1); f) x2x = 1, (0, 1).
2
Wyznaczyć rozwiązania równań a), d) i f) z dokładnością 0.125.
8.3. Korzystając z definicji zbadać, czy istnieją pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach:
a) f(x) = |x - 1|, x0 = 1; b) f(x) = 2x - |x|, x0 = 0; c) f(x) = |x - Ä„|3 sin x, x0 = Ä„;
Å„Å‚
Å„Å‚
Ä„

ôÅ‚
1
sin x dla x ,
òÅ‚ òÅ‚
x2 dla x 2,
x2 arc tg dla x = 0,

2
d) f(x) = e) f(x) = g) f(x) =
x
Ä„
ôÅ‚ ół
2x dla x > 2,
ół
1 dla x > , 0 dla x = 0,
2
Ä„
x0 = 2; x0 = ; x0 = 0.
2
Naszkicować wykresy funkcji a), b), d) i e).
8.4. Korzystając z definicji obliczyć pochodne funkcji:
1
a) f(x) = x2 - 3x, gdzie x " R; b) f(x) = , gdzie x = -1;

x + 1
"
Ä„
c) f(x) = x, gdzie x > 0; d) f(x) = tg x, gdzie x = + kĄ dla k " Z.

2
8.5. Badając pochodne jednostronne rozstrzygnąć, czy istnieją pochodne podanych funkcji we wskazanych
punktach:

x2
a) f(x) = - x , x0 = 1; b) f(x) = sin x · sgn (x), x0 = 0;
Å„Å‚ Å„Å‚
Ä„
òÅ‚ òÅ‚ - 1)
x(x
tg x dla - < x 0,
dla x < 1,
2
c) f(x) = x0 = 0; d) f(x) = x0 = 1.
Ä„
2
"
ół ół
sin x dla 0 < x < ,
x - 1 dla x 1,
2
Naszkicować wykresy tych funkcji.
Lista 9
9.1. Zbadać, czy podane funkcje mają pochodne niewłaściwe w punkcie x0 = 0:
" "
5 3
a) f(x) = 3 - x; b) f(x) = tg x;


c) f(x) = | sin x|; d) f(x) = |x| + |x|.
9
9.2. Korzystając z reguł różniczkowania obliczyć pochodne funkcji:


" "
1
4
a) y = x3 + ex; b) y = 1 + x tg x ; c) y = ex arc tg x;
x2


x
3
d) y = ln sin2 x + 1 ; e) y = arc sin (x2); f) y = ee ;
2
2sin x tg x "
x
g) y = ; h) y = x ; i) y = x.
2
3cos x
9.3.* Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej obliczyć f-1 (y0), jeżeli:
a) f(x) = x + ln x, y0 = e + 1; b) f(x) = cos x - 3x, y0 = 1;
" " "
3 5 7
c) f(x) = x + x + x, y0 = 3; d) f(x) = x3 + 3x, y0 = 4.
9.4.Obliczyć f2 , f2 2 , f2 2 2 funkcji:
2 ex
a) f(x) = 4x7 - 5x3 + 2x; b) f(x) = x3 - ; c) f(x) = ;
x x
d) f(x) = arc tg x; e) f(x) = sin3 x + cos3 x; f) f(x) = x3 ln x.
Lista 10
10.1. Napisać równania stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach:
Ä„ Ä„

x
a) f(x) = arc sin , (1, f(1)); b) f(x) = ln x2 + e , (0, f(0)); c) f(x) = etg x, , f ;
2 4 4
" "
"
"
2x
x
d) f(x) = 2x + 1, (3, f(3)); e) f(x) = , 2, f 2 ; f) f(x) = x, (e, f(e)).
1 + x2
10.2. a) Basen ma kształt odwróconego ostrosłupa ściętego prawidłowego. Dno basenu jest kwadratem o boku
4 m, a jego górna powierzchnia kwadratem o boku 16 m. Głębokość basenu wynosi 2 m. Do basenu wlewa się
woda z prędkością 1 m3/min. Z jaką prędkością będzie się podnosił poziom wody w basenie w chwili, gdy będzie
on napełniony do połowy głębokości?
b) Gumowy balon ma kształt kuli o objętości V0 = 40 m3. Do balonu wtłacza się powietrze z prędkością
p = 1 m3/s. Obliczyć, z jaką prędkością powiększać się będzie średnica balonu po 24 s. Założyć, że ciśnienie
powietrza w balonie jest stałe.
c) Drabina składa się z dwóch ramion o długości l = 2.5 m. Podstawy ramion są przysuwane do siebie z
prędkością v = 5 cm/s. Obliczyć, z jaką prędkością będzie podnosił się wierzchołek drabiny w chwili, gdy
podstawy ramion będą oddalone o d = 3 m.
10.3. Korzystając z różniczki funkcji obliczyć przybliżone wartości wyrażeń:
"
1 2001
3
a) 7.999; b) " ; c) ln ;
2000
3.98
d) ln 0.9993; e) e0.04; f) arc cos 0.499.
10.4. Korzystając z twierdzenia Lagrange a uzasadnić podane nierówności:
y
a) |arc tg x - arc tg y| |x - y| dla a, b " R; b) ln < y - x dla 1 a < b;
x
x
c) x arc sin x " dla 0 x < 1; d) ex > ex dla x > 1.
1 - x2
10.5. Napisać wzory Taylora z resztą Lagrange a dla podanych funkcji f, punktów x0 oraz n :
1
a) f(x) = x3, x0 = -1, n = 4; b) f(x) = , x0 = 1, n = 2; c) f(x) = sin 2x, x0 = Ä„, n = 3;
x2
1
d) f(x) = e-x, x0 = 0, n = 5; e) f(x) = , x0 = 2, n = 3; f) f(x) = ln x, x0 = e, n = 4.
x
10
Lista 11
11.1. Napisać wzory Maclaurina z n-tą resztą Lagrange a dla funkcji:
x
a) f(x) = sin , Rn; b) f(x) = ch x, Rn;
3
x
c) f(x) = cos x, Rn; d) f(x) = , Rn.
ex
11.2. Oszacować dokładności podanych wzorów przybliżonych na wskazanych przedziałach:
Ä„
a) tg x H" x, |x| ; b) cos2 x H" 1 - x2, |x| 0.1;
12
"
x x2 x2 x3
c) 1 + x H" 1 + - , |x| 0.25; d) ln(1 - x) H" -x - - , |x| < 0.1.
2 8 2 3
11.3. Stosując wzór Maclaurina obliczyć:
"
1
3
a) z dokładnością 10-3; b) 0.997 z dokładnością 10-3;
e
c) ln 1.1 z dokładnością 10-4; d) sin 0.1 z dokładnością 10-5.
11.4. Korzystając z reguły de L Hospitala obliczyć granice:
Ä„
ln sin x
ln (2x + 1) x - arc tg x
2
a) lim ; b) lim ; c) lim ;
x" x1 x0
x ln x x2
x10 - 10x + 9 ln cos x
d) lim ; e) lim ; f) lim x arc ctg x;
x1 - 5x + 4 ln cos 3x
x0 x"
x5

x 1
g) lim x ln x; h) lim (Ä„ - x) tg ; i) lim - ctg x ;
x0+ xĄ- 2 x0- x
x
1
2
x
j) lim (cos x) ; k) lim arc tg x ; l) lim (1 + x)ln x.
x0 x"
Ä„ x0+
Lista 12
12.1. Na rysunkach przedstawiono wykresy pochodnych pewnych funkcji. Podać przedziały, na których funkcje
te sÄ… rosnÄ…ce:
y y y
a) b) c)
y=f2 (x) y=f2 (x) y=f2 (x)
-2 2
1 3
x x -1 x
-
2 2
y y
e) f)
y
d)
y=f2 (x) y=f2 (x)
y=f2 (x)
-2
x x
-3 3 -1 1 2
x
1 2
12.2. Znalez
ć przedziały monotoniczności funkcji:
x4 x3 1
a) f(x) = x3 - 30x2 + 225x; b) f(x) = - - x2; c) f(x) = 4x + ;
4 3 x
"
x3
3
d) f(x) = ; e) f(x) = x - 3 x; f) f(x) = xe-3x;
3 - x2
x 1
g) f(x) = x ln2 x; h) f(x) = ; i) f(x) = .
ln x x ln x
11
12.3. Na rysunkach przedstawiono wykresy funkcji a)  f) i ich pochodnych A)  F). Połączyć wykresy funkcji
z wykresami ich pochodnych:
y y y
a) b) c)
x x
x
y y y
d) e) f)
x x x
y y y
A) B) C)
x
x x
y y y
D) E) F)
x
x
x
12.4. Uzasadnić tożsamości:
Ä„ 2x
a) arc tg x + arc ctg x = dla x " R; b) arc sin = 2 arc tg x dla x " (-1, 1);
2 1 + x2
Ä„ 1 - x x
c) arc tg x = - arc tg dla x " (-1, "); d) arc sin x = arc tg " dla x " (-1, 1).
4 1 + x
1 - x2
12.5. Określić rodzaj ekstremum (jeżeli istnieje) w punkcie x0 funkcji, których wykresy przedstawiono na
rysunkach:
y y y
a) b) c)
y=f(x) y=f(x)
f(x0)
f(x0) y=f(x)
f(x0)
x0 x0 x0
x x x
12
y y
e) f)
y
d)
f(x0)
f(x0)
f(x0)
y=f(x) y=f(x)
y=f(x)
x0 x0
x x
x0
x
12.6. Na rysunkach przedstawiono wykresy pochodnych pewnych funkcji ciągłych. Wskazać punkty, w których
funkcje te majÄ… ekstrema lokalne:
y y y
a) y=f2 (x) b) y=f2 (x) c)
y=f2 (x)
2 1 9
x -1 1 3 x 2 5 8 x
y y y
d) e) y=f2 (x) f) y=f2 (x)
y=f2 (x)
"
-1 - 2
"
"
3
1 x 1+ 2 x x
2
2
12.7. Znalez
ć wszystkie ekstrema lokalne podanych funkcji:
1 2x2 - 1
a) f(x) = x3 - 4x2; b) f(x) = x + ; c) f(x) = ;
x x4

"
1
x2
d) f(x) = ; e) f(x) = x - x; f) f(x) = - 5x - 6 ;
x2 - x


g) f(x) = x ln x; h) f(x) = 3x - x3; i) f(x) = 2 arc tg x - ln 1 + x2 .
12.8. Wskazać (jeżeli istnieją) punkty, w których funkcje o wykresach przedstawionych na rysunkach przyjmują
wartości największe i najmniejsze na przedziale [a, b]:
y y y
a) b) c)
y=f(x) y=f(x)
y=f(x)
c1 c2 b
a x a c x a c x
b b
y y y
d) e) f)
y=f(x)
y=f(x) y=f(x)
a c x a c x a c1 c2 x
b b b
12.9. Znalez
ć wartości najmniejsze i największe podanych funkcji na wskazanych przedziałach:
1 - x
a) u(x) = 2x3 - 15x2 + 36x, [1, 5]; b) v(x) = arc tg , [0, 1];
1 + x

9
c) w(x) = (x - 3)2e|x|, [-1, 4]; d) z(x) = 1 - - x2 , [-5, 1];
13

"
3
e) g(x) = x - 2 x, [0, 5]; f) h(x) = 2 sin x + sin 2x, 0, Ä„ .
2
Lista 13
13.1. a) Platforma wiertnicza jest zakotwiczona na morzu 10 km od brzegu. Ropa z tej platformy będzie
dostarczana rurociągiem do rafinerii położonej nad brzegiem morza, 16 km od punktu brzegu najbliższego
platformie. Koszt ułożenia 1 km rurociągu na dnie morza wynosi 200 000 euro, a na lądzie  100 000 euro. Do
którego miejsca na brzegu należy doprowadzić rurociąg, aby koszt jego budowy był najmniejszy?
Platforma
wiertnicza
10 km
x Rafineria
16 km
b) Jaka powinna być miara kąta ą przy wierzchołku trójkata równoramiennego o danym polu, aby promień
koła r wpisanego w ten trójkąt był największy?
Ä…
r
c) Prostopadłościenny kontener ma mieć pojemność 22.50 m3 i kwadratową podłogę. Koszt 1 m2 blachy potrzeb-
nej do wykonania jego podłogi i pokrywy wynosi 20 zł, a ścian bocznych  30 zł. Jakie powinny być wymiary
kontenera, aby koszt jego budowy był najmniejszy?
d) Jakie powinny być wymiary a, b prostokątnego pola o powierzchni S, którego jednym naturalnym bokiem
jest brzeg rzeki, aby na jego ogrodzenie zużyć jak najmniej siatki?
rzeka
a
S
b
e) Odcinek o długości l podzielić na dwie części tak, aby suma pól kwadratów zbudowanych na tych częściach
była najmniejsza.
13.2. Określić przedziały wypukłości oraz punkty przegięcia funkcji:

2 1
a) f(x) = ln 1 + x2 ; b) f(x) = x - x3 - 4 ln |x|; c) f(x) = sin x + sin 2x;
3 8
1 ln x
d) f(x) = ; e) f(x) = earc tg x; f) f(x) = " .
1 - x2 x
13.3. Zbadać przebieg zmienności podanych funkcji i następnie sporządzić ich wykresy:
"
x3 x
a) f(x) = (x - 1)2(x + 2); b) f(x) = ; c) f(x) = ;
x - 1 x - 1

4 4 x
d) f(x) = 3 - - ; e) f(x) = x 1 - x2; f) f(x) = .
x x2 ln x
13.4. Na rysunkach przedstawiono wykresy funkcji a)  f) i ich drugich pochodnych A)  F). Połączyć wykresy
funkcji z wykresami ich drugich pochodnych:
14
y y y
a) b) c)
x x
x
y y y
d) e) f)
x x x
y y y
A) B) C)
x
x
x
y y y
D) E) F)
x
x x
Lista 14
14.1. Obliczyć podane całki nieoznaczone:

"
"
1 (1 - x) dx x4 dx
3
a) 3 x2 + - 2x x dx; b) " ; c) ;
3
x3 1 - x x2 + 1
"

3
cos 2x dx x3 + x2 - 1 2x - 5x
d) ; e) " dx; f) dx.
cos x - sin x x 10x
14.2. Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części obliczyć całki nieoznaczone:

" "
a) xe-3x dx; b) x22x dx; c) x arc tg x dx;

x dx arc cos x dx
d) ; e) x2 sin x dx; f) " ;
cos2 x
x + 1

g) ln(x + 1) dx; h) arc cos x dx; i) e2x sin x dx.
14.3. Stosując odpowiednie podstawienia obliczyć całki nieoznaczone:
"
"

cos x 1 + 4x cos x dx
a) " dx; b) dx; c) (x+1) sin x2 +2x+2 dx; d) " ;
x x
1 + sin x
15


dx dx
5
e) ; f) (5-3x)10 dx; g) x2 5x3+1 dx; h) " ;
ch x 2 + x

ln x ex dx 5 sin x dx 2
i) dx; j) ; k) ; l) x3ex dx.
x e2x + 1 3-2 cos x
14.4. Obliczyć całki nieoznaczone:


1
a) (|x| + 1) dx; b) min x, x2 dx; c) - x2 dx; d) e|x| dx.
Lista 15
15.1. Obliczyć podane całki z ułamków prostych pierwszego rodzaju:

dx dx 5 dx 8 dx
a) ; b) ; c) ; d) .
(x - 3)7 x + 5 (2 - 7x)3 9x + 20
15.2. Obliczyć podane całki z ułamków prostych drugiego rodzaju:

dx (6x + 3) dx (4x + 2) dx
a) ; b) ; c) ;
x2 + 4x + 29 x2 + x + 4 x2 - 10x + 29

(x - 1) dx dx 5 dx
d) ; e*) ; f*) .
9x2 + 6x + 2
(x2 - 4x + 5)2 (x2 + 2)3
15.3. Obliczyć podane całki z funkcji wymiernych:

(x + 2) dx x2 dx dx dx
a) ; b) ; c) ; d) ;
x(x - 2) x + 1 (x - 1)x2 (x2 + 1) (x2 + 4)

(4x + 1) dx (3x - 1) dx dx 2 dx
e) ; f) ; g) ; h) ;
2x2 + x + 1 x2 - x + 1 x2 + 2x + 8 x2 + 6x + 18

(5 - 4x) dx x2 dx x(x + 2) dx dx
i) ; j) ; k) ; l) .
x2 - 4x + 20 x2 + 2x + 5 x2 + 2x + 2 x (x2 + 4)
15.4. Obliczyć podane całki z funkcji trygonometrycznych:

a) sin3 x dx; b) sin4 x cos3 x dx; c) cos4 x dx;

d) sin3 x cos6 x dx; e) cos2 x cos 2x dx; f*) sin2 2x sin2 x dx.
15.5. Obliczyć podane całki z funkcji trygonometrycznych:

dx 1 + tg x dx
a) ; b) dx; c) ;
sin x + tg x cos x 1 + 2 cos2 x

sin2 x dx dx sin5 x dx
d) ; e) ; f) ;
1 + cos x 1 - tg x cos3 x

dx dx dx
g) ; h) ; i) .
cos x sin x + cos x 3 sin x + 4 cos x + 5
15.6. Obliczyć podane całki z funkcji trygonometrycznych:

x x
a) sin x sin 3x dx; b) sin 3x cos x dx; c) cos x cos 5x dx; d*) cos x cos cos dx.
2 4
Opracowanie: dr Marian Gewert, doc. Zbigniew Skoczylas
16