Zmienne losowe i ich

rozkłady

Zmienna losowa: liczba

przyporządkowana zdarzeniu

Dystrybuanta:
F(x)=P(yx)
Gęstość prawdopodobieństwa:
f(x)=dP(x)/dx
Funkcja zmiennej losowej jest też

zmienną losową.

Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta rozkładu

prawdopodobieństwa liczby oczek w pojedynczym rzucie

kostką symetryczną

Momenty rozkładu









  



















n

1

i

i

i

n

1

i

i

i

x

x

P

x

H

)

x

(

H

E

x

x

P

x

})

x

({

E

 

 

 





   























dx

x

f

x

H

x

H

E

dx

x

xf

xˆ

}

x

{

E

Dla zmiennych
ciągłych:

Jeżeli H(x)=(x-x

c

)

n

to E{H(X)} nazywa się n-

tym momentem x względem c; jeżeli c=

to E

jest n-tym momentem centralnym, 

n

({x}).

xˆ

Użyteczne momenty

centralne

Wariancja

 

 

 

 



  



















dx

x

f

xˆ

x

x

x

2

2

2

Skrzywienie

 

 

 

 

 

 

 

  

  























dx

x

f

xˆ

x

x

1

x

x

x

3

3

2

/

3

2

3

Kurtoza

 

 

 

 

 

 

 

  

  

3

dx

x

f

xˆ

x

x

1

3

x

x

x

4

4

2
2

4



























Obliczanie momentów

centralnych z próby





























3

ˆ

3

2

1

1

2

)

1

(

ˆ

1

1

1

ˆ

1

1

1

ˆ

4

1

4

3

1

3

2

1

1

2

1

2

2

1

































































































n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

x

x

n

n

n

n

n

n

n

x

x

n

x

n

x

n

x

x

n

x

n

x

Przykłady momentów

centralnych paru rozkładów

Mediana i kwantyle

1.0

0.5

0.2

x

0.5

x

0.2

x

f(x)

median
a

 

 











q

x

q

q

dx

x

f

x

F

Rozkład dwóch zmiennych i

kowariancja

 

 









 









 











 

 

 

   

y

x

y

,

x

cov

y

,

x

y

,

x

cov

yˆ

y

xˆ

x

E

y

yˆ

y

E

x

xˆ

x

E

yˆ

y

E

xˆ

x

E

11

2

2

02

2

2

20

01

10



















































Rozkład normalny





























































































x

erf

,

;

x

F

2

x

exp

2

1

0

,

1

;

u

f

2

x

exp

2

1

,

;

x

f

2

2

2

u : zmienna
stadardyzowana

Centralne twierdzenie

graniczne

Jeżeli x jest zmienną losową o wartości

średniej a i wariancji b

2

, to zmienna











n

i

i

n

x

n

1

lim

1



Ma rozkład normalny o wartości średniej a i

wariancji b

2

/n.

Pobieranie próby

Populacja generalna: zbiór wyników

wszystkich możliwych doświadczeń
określonego typu.

Próba n-wymiarowa: zbiór n wyników

doświadczeń.

Wyniki j-tej próby przedstawiamy w

postaci n-wymiarowej zmiennej losowej

x

(j)

=(x

1(j)

,x

2(j)

,...,x

n(j)

). Wektor ten ma rozkład

prawdopodobieństwa g(x)=g(x

1

,x

2

,...,x

n

).

Pobieranie losowe

1. g(x)=g

1

(x

1

)g

2

(x

2

)...g

n

(x

n

)

(prawdopodobieństwa pobrania
poszczególnych elementów próby są
niezależne od siebie),

2. g

1

(x)=g

2

(x)=...=g

n

(x)=f(x)

(poszczególne rozkłady muszą być
identyczne z rozkładem gęstości dla
populacji).

Dystrybuanta empiryczna (rozkład w

próbie)

W

n

(x)=n

x

/n

n

x

– liczba elementów próby takich że

x

j

x.

W

n

(x) dąży do prawdziwej dystrybuanty

F(x) dla n

Przedstawianie rozkładów z

próby

• Wykresy liniowe (jednowymiarowe)
• Histogramy

– Wykresy schodkowe
– Wykresy słupkowe
– Wykresy impulsowe

Konstrukcja histogramu
h(x)=n(x<yx+x)
h(x

1

,x

2

,...,x

n

)=n(x

1

<y

1

x

1

+x

1

,x

2

<y

2

x

2

+x

2

,..., x

n

<y

n

x

n

+x

n

)

Przedstawienie wyników pomiarów

oporu 100 pojedynczych oporników

• Wykres liniowy
• Histogram – wykres słupkowy
• Histogram – wykres schodkowy
• Histogram – wykres z zaznaczonymi

przedziałami błędów

Zależność postaci histogramów
z próby dla czterech różnych
szerokości przedziałów

Statystyki i estymatory

Statystyka: funkcja określona na elementach
próby, np. średnia.





n

x

x

x

n

x











2

1

1

Estymator: przybliżona wartość parametru
rozkładu prawdopodobieństwa wyznaczona z
próby. S=S(x

1

,x

2

,...,x

n

)

Estymator jest nieobciążony jeżeli jego wartość
oczekiwana nie zależy od liczby elementów
próby.

Estymator jest zgodny jeżeli jego wariancja
dąży do zera wraz ze wzrostem liczby
elementów próby.

Estymator wartości średniej rozkładu





























)

(

1

)

ˆ

(

)

ˆ

(

)

ˆ

(

1

)

ˆ

(

)

ˆ

(

)

ˆ

(

1

ˆ

1

)

(

)

(

ˆ

)

(

)

(

)

(

1

)

(

2

2

2

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

1

x





n

x

x

x

x

x

x

E

n

x

x

x

x

x

x

E

n

x

x

x

x

n

E

x

E

x

E

x

x

x

E

x

E

x

E

n

x

E

n

n

n

n



























































































Estymator wartości średniej jest zatem
estymatorem nieobciążonym i zgodnym.

Estymator wariancji rozkładu (nieobciążony i
zgodny)









1

2

)

var(

)

(

)

(

1

)

(

1

1

)

)

ˆ

((

)

)

ˆ

((

1

1

)

ˆ

(

)

ˆ

)(

ˆ

(

2

)

ˆ

(

1

1

)]

ˆ

(

)

ˆ

[(

1

1

)

(

)

(

)

(

1

1

)

(

)

(

)

(

)

(

1

1

4

2

2

2

2

2

2

1

2

2

1

2

1

2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

1

2

















































































































































n

s

n

n

n

n

x

x

E

x

x

E

n

x

x

x

x

x

x

x

x

E

n

x

x

x

x

E

n

x

x

x

x

x

x

E

n

s

E

x

x

x

x

x

x

n

s

n

i

i

i

n

i

i

n

i

i

n

n









x

x

x





Estymator wariancji wartości średniej:

 

 



 















n

i

i

x

x

n

n

x

s

n

x

s

1

2

2

2

1

1

1

Estymator odchylenia standardowego wartości
średniej:





1

2 





n

s

s

 



 













n

i

i

x

x

n

n

x

s

1

2

2

1

1

Estymator błędu ochylenia standardowego:

Estymatory nieobciążone i zgodne

skośności i kurtozy

 









 

















3

ˆ

3

2

1

1

2

)

1

(

ˆ

4

1

4

3

1

3







































n

i

i

n

i

i

x

x

n

n

n

n

n

E

n

n

x

x

n

E

Obliczanie mediany z serii pomiarów

wielkości prostej

n

x

x

x









2

1

1. Sortujemy wyniki pomiarów od najmniejszego do

największego,

2. Jeżeli liczba pomiarów (n) jest nieparzysta to

mediana (x

m

) jest środkowym wynikiem pomiaru o

numerze (n+1)/2

3. Jeżeli liczba pomiarów jest parzysta to mediana jest

średnią arytmetyczną największego wyniku z
“lewej” i najmniejszego z “prawej” połowy.





2

/

1





n

m

x

x





2

/

1

2

/

1

2

/









n

n

m

x

x

x

Wielowymiarowy rozkład

normalny

 









 



 





































































x

A

x

x

x

a

x

f

x

x

x

f

T

n

n

i

n

j

j

j

i

i

ij

n

n

2

1

exp

2

)

det(

2

1

exp

2

)

det(

)

(

)

,...,

,

(

2

/

1

1

2

/

2

1

A

A

Przenoszenie błędów

(rachunek błędów)

Niech x=(x

1

,x

2

,...,x

n

) będzie n-wymiarową

zmienną losową złożoną z niezależnych
składników o rozkładach normalnych z
wariancjami 

1

2

, 

2

2

,..., 

n

2

. Wtedy funkcja

skalarna y=f(x) tej zmiennej losowej jest
zmienną losową opisywaną w przybliżeniu
rozkładem normalnym o następującej
wariancji:

2

x

2

n

2

x

2

2

2

x

2

1

2

y

n

2

1

x

f

x

f

x

f



































































Jeżeli elementy x są skorelowane to we wzorze
występuje pełna macierz wariancji-kowariancji

j

i

j

i

i

x

x

x

x

n

1

i

i

1

j

j

i

2
x

2

n

1

j

i

j

i

n

1

i

j

n

1

j

i

2

y

r

x

f

x

f

2

x

f

)

x

,

x

cov(

x

f

x

f





















































































































Szacowanie błędu “z góry”

n

x

n

x

x

y

r

x

f

r

x

f

r

x

f

r























2

1

2

1

gdzie r

y

jest oszacowanym maksymalnym błędem

wielkości y a r

xi

jest oszacowanym maksymalnym

błędem wielkości x

i

.

Rozkład wariancji z próby (rozkład



2

)

Pobieramy próbę x

1

,x

2

,...,x

n

z rozkładu

normalnego o a=0 i =1. Dystrybuanta

rozkładu zmiennej x

2

=x

1

2

+x

2

2

+...+x

n

2

jest

dana następującą funkcją:

du

u

u

n

F

n

n











 





















2

1

exp

2

2

1

1

)

(

2

0

1

2

1

2





gdzie (y) jest funkcją gamma Eulera (silnią

uogólnioną na liczby rzeczywiste).













0

)

1

(

dt

e

t

x

t

x











 





















u

2

1

exp

u

2

n

2

1

1

)

(

f

1

n

2

1

n

2

Zatem sam rozkład wariancji jest dany następującą
funkcją