ZASADA ZACHOWANIA PĘDU I MOMENTU

PĘDU.

REAKCJA HYDRODYNAMICZNA.

V

dV

r n

P =

�

r

r

Pęd układu płynnego określony jest
wektorem w postaci

a kręt (moment pędu względem bieguna
O)

Rys.1
.

(

)

V

K

r x

dV

r n

=

�

r

r

r

(1
)

(2
)

Zasadę zachowania pędu definiujemy w postaci

n

V

V

A

d

dV

qdV

dA

dt

r n

r

t

=

+

�

�

�

r

r

r

�

(3
)

a zasadę zachowania krętu

(

)

(

)

(

)

n

V

V

A

d

r x

dV

r x q dV

r x

dA

dt

r n

r

t

=

+

�

�

�

r

r

r r

r

�

Rys.2. Reakcja hydrodynamiczna w zakrzywionym

przewodzie o zmiennym przekroju

(4
)

1. Reakcja hydrodynamiczna w przewodach

Pęd elementarny w przekroju dopływowym wynosi q

v

v

1

dt a

w przekroju odpływowym q

v

v

2

dt.

Z zasady zachowania pędu wynika, że zmiana pędu w czasie
określa reakcję hydrodynamiczną

2

1

(

)

v

R

q

r

u u

=

-

r

r

r

(5
)

Rys.3. Analityczne i wykreślne wyznaczanie reakcji

hydrodynamicznej

Moduł i punkt przyłożenia reakcji można wyznaczyć
analitycznie na podstawie sumy rzutu sił w kierunkach osi x
i y oraz sumy momentów względem dowolnie wybranego
punktu.

1

1

2

2

1

1

2

2

2

cos

cos

cos

sin

sin

sin

0

v

v

v

v

v

R

q v

q v

R

q v

q v

M

q v a Rx

a

r

a

r

a

a r

a

r

a

r

=

-

�

�

=

+

�

�

=

-

=

�

Wykreślnie reakcję można wyznaczyć za pomocą wieloboku
sił, tak jak to pokazano na rys.4.

(6
)

Rys.4. Przykłady wykreślnego wyznaczania reakcji

hydrodynamicznej

a) w kolanie o stałym przekroju b) w zwężeniu przewodu

Rys.5. Wypływ ze
zbiornika

2. Reakcja hydrodynamiczna płynu wypływającego
ze zbiornika

Przyrost pędu wypływającej strugi wynosi

0

v

v

q v dt

q vdt

r

r

-

0

(

)

v

R

q

r

u u

=

-

a zmiana pędu w czasie – reakcja hydrodynamiczna

(7
)

(8
)

Ponieważ v

0

0,

to

v

R

q

r u

=-

(9
)

3. Reakcja hydrodynamiczna strugi swobodnej
uderzającej w przegrodę nieruchomą

Rys.6. Reakcja strugi na przegrodę nieruchomą

Ponieważ q

v

=q

v1

+q

v2

i zakładamy, że A=A

1

+A

2

to v=v

1

=v

2

zmiana pędu w czasie w kierunku osi x wynosi

1

1

2

2

cos

cos

cos

v

v

v

q vdt

q vdt

q vdt

dt

r

a r

a

r

a

-

-

1 1

1

2 2

2

cos

cos

cos

v

v

v

R

q v

q v

q v

r

a r

a

r

a

=

-

-

1

2

0,

90

(11)

v

dla

wzór

przybiera postać

R

q v

a

a

a

r

=

=

= �

=

(10
)

Zatem reakcja hydrodynamiczna
wynosi

(1
1)

W przypadku dużej płaskiej przegrody

Rys.
7.

(1
2)

Natomiast dla małej przeszkody

1

2

0

(11)

(1 cos )

v

dla

oraz

wzór

przybiera postać

R

q v

a

a

a

d

r

d

=

=

=

=

-

(13
)

Rys.8.

Dla płaskiej przegrody nachylonej do osi strugi

1

2

(11)

90

cos

v

wzór

dla

przybiera postać

R

q v

a

a

r

a

=

= �

=

(14
)

Rys.
9.

Rys.
10.

Dla przegrody walcowej zwróconej wypukłością do strugi

1

2

1

2

0

/ 2

(1 cos )

0(

)

0

v

v

v

v

oraz

q

q

q

to R

q v

gdy

czasza pólkolista R

a

a

d

a

r

d

d

=

=

=

=

=

=

-

=

=

Dla przegrody walcowej zwróconej wklęsłością do strugi

1

2

1

2

(180

)

0

/ 2

(1 cos )

v

v

v

v

oraz

q

q

q

to R

q v

a

a

d

a

r

d

=

=

�-

=

=

=

=

+

(15
)

(1
6)

Rys.
11.

Dla nieruchomej łopatki

1

2

1

2

180

2

cos

v

v

v

v

q

q

q

to R

q v

a

a

a

r

a

=

=

�-

=

=

=

Rys.
12.

(1
7)

4. Reakcja hydrodynamiczna strugi swobodnej
uderzającej w przegrodę ruchomą

Rys.
13.

Załóżmy, że przegroda porusza się ruchem postępowym
wzdłuż strugi ze stała prędkością . Prędkość strugi
względem przeszkody , „-” gdy zwroty obu wektorów
są jednakowe, „+” gdy przeciwne.

Strumień objętości strugi przepływającej względem
ruchomej przeszkody wynosi

w

v

r

w

v v

�

r r

(

)

v

w

q

A v v

=

�

(1
8)

gdzie A - pole przekroju strugi przed uderzeniem o
przegrodę. Gdy przegroda porusza się wzdłuż strugi zamiast
iloczynu „q

v

v” podstawiamy „q

v

(v-vw)2.

W przykładzie pokazanym na rys.13 (przeszkoda porusza się
z prędkością vw w kierunku nachylonym pod kątem  do osi

x. Wzór (11) przybiera postać

( cos

cos )

v

w

R

q v

v

r

a

b

=

-

(1
9)

Strumień objętości względem ruchomej przeszkody

( cos

cos )

cos

w

A

Q

v

v

a

b

a

=

-

a reakcja hydrodynamiczna

2

( cos

cos )

cos

w

A

R

v

v

r

a

b

a

=

-

(2
0)

(2
1)

5. Zmiana momentów pędu

Rys.14.

Składowe wektora momentu pędu w kierunku normalnym do
promienia wynoszą na wlocie i wylocie odpowiednio

1

1

1

1

2

2

2

2

cos

cos

v b

v b

K

r q v

dt

K

r q v

dt

r

a

r

a

=

=

(22
)

(23
)

Na podstawie zasady zachowania momentu pędu

2

1

K

K

M

dt

-

=

(23
)

zatem moment na wale wirnika musi wynosić

2

2

2

1 1

1

(

cos

cos )

v

b

b

M

q r v

rv

r

a

a

=

-

(24
)

Moc na wale wirnika wynosi

N Mw

=

(25
)

czyli

2

2

2

1 1

1

(

cos

cos )

v

b

b

N

q

r v

rv

r w

a

a

=

-

(26
)