Ekonometria

wykład w roku 2009/2010

W. Borucki

Cz. 1/1

Plan wykładu cz. I (7 godz.)



Modelowanie problemów decyzyjnych



Programowanie liniowe

–

Zadania programowania liniowego i ich własności

–

Metoda geometryczna

–

Metoda simplex

–

Dualność

–

Zadania transportowe

–

Analiza wrażliwości



Modele Leontiefa

–

Układ równań bilansowych

–

Interpretacja

Plan wykładu cz. II (7 godz.)



Modelowanie zjawisk (zależności) gospodarczych

–

Zmienne objaśniane i objaśniające

–

Hipotezy o zależnościach wzajemnych



Metoda najmniejszych kwadratów



Modele ekonometryczne z jedną i wieloma
zmiennymi objaśniającymi, liniowe i nieliniowe,



Wykorzystanie modeli ekonometrycznych:

–

Prognozowanie

–

Symulacja (?)

Bibliografia



Red. E. Ignasiak, Badania operacyjne, PWE, Warszawa,

2001



Z. Czerwiński, Matematyka na usługach ekonomii, PWN,

Warszawa, 1972



H. Wagner, Badania operacyjne, PWE, Warszawa, 1980



B. Guzik, W. Sikora, Elementy Badań operacyjnych,

PMD, AE w Poznaniu, Poznań 1994



A. Kaufman, Badania operacyjne na co dzień, PWN,

Warszawa, 1968



Red. B. Guzik, Ekonometria i Badania operacyjne,

zagadnienia podstawowe, AE, Poznań, 2002

Plan wykładu cz. III (1 godz.)

Zestaw pytań, na które student i/lub studentka powinni znać

odpowiedź – krótkie omówienie (przypomnienie podstawowych

wiadomości)

1.

Przedstawić podstawowe elementy problemu decyzyjnego.

2.

Jakie warunki powinny spełniać kryteria wyboru decyzji?

3.

Podać przykłady warunków przy podejmowaniu decyzji ekonomicznych i co to są decyzje

dopuszczalne?

4.

Przedstawić problem wyboru planu produkcyjnego.

5.

Przedstawić problem rozkroju.

6.

Przedstawić problem diety.

7.

Przedstawić własności zbiorów rozwiązań dopuszczalnych liniowych zadań decyzyjnych (LZD) .

8.

Kiedy LZD ma wiele rozwiązań optymalnych, a kiedy nie ma ich wcale?

9.

Jakie są podstawowe elementy i czynności metody geometrycznej?

10.

Z jakich podstawowych etapów składa się metoda simplex i o co w nich chodzi?

11.

Co trzeba zrobić by zmienić rozwiązanie bazowe LZD?

12.

Jakie czynności w metodzie simplex gwarantują dopuszczalność rozwiązań LZD.

13.

Przedstawić dwa główne problemy analizy wrażliwości rozwiązania LZD i odpowiadające im

pytania.

14.

Zdefiniować zadania dualne do liniowych zadań decyzyjnych.

15.

Jak można interpretować zmienne dualne?

16.

Omówić zamknięte zadanie transportowe (ZZT).

17.

Przedstawić przykłady otwartych zadań transportowych.

18.

Omówić model Leontief’a dla gospodarki dwusektorowej.

19.

Jak należy interpretować współczynniki odwróconej macierzy Leontief’a ?

20.

Jak można wyznaczyć produkt globalny dla gospodarki n-sektorowej?

Plan wykładu cz. III (1 godz.)

c.d.

Zestaw pytań, na które student i/lub studentka powinni znać

odpowiedź – krótkie omówienie (przypomnienie podstawowych

wiadomości)

1.

Co to jest ekonometria w wąskim znaczeniu?

2.

Wyjaśnić pojęcia zmienna objaśniana i zmienne objaśniające

3.

Objaśnić istotę metody najmniejszych kwadratów (MNK)

4.

Opisać proces szacowania parametrów liniowego modelu ekonometrycznego z jedną zmienną

objaśniającą

5.

Jakie znamy wskaźniki oceny jakości oszacowania parametrów liniowych modeli ekonometrycznych?

6.

Jak szacujemy parametry modelu ekonometrycznego wykładniczego z jedną zmienną objaśniającą?

7.

Jak szacujemy parametry modelu ekonometrycznego potęgowego z jedną zmienną objaśniającą?

8.

Jakie własności posiada funkcja Tornquista I rodzaju i do opisu jakich zagadnień jej się używa? Jak

szacujemy jej parametry?

9.

Jakie własności posiada funkcja Tornquista II rodzaju i do opisu jakich zagadnień jej się używa? Jak

szacujemy jej parametry?

10.

Jakie własności posiada funkcja Tornquista III rodzaju i do opisu jakich zagadnień jej się używa? Jak

szacujemy jej parametry?

11.

Jaka funkcja posiada stałą elastyczność, a jaka stałą stopę wzrostu? Odpowiedź uzasadnić.

12.

Podać funkcję używane najczęściej w analizie kosztów. Jaka jest interpretacja ekonomiczna ich

współczynników?

13.

Jak można oszacować parametry funkcji wielomianowych?

14.

Jak można uogólnić MNK dla modeli liniowych z jedną zmienną objaśniającą na model z wieloma

zmiennymi objaśniającymi?

15.

Co to są standardowe błędy szacunku parametrów modeli ekonometrycznych

16.

Omówić zasady szacowania parametrów funkcji Cobba Douglasa, jej zastosowanie i własności.

17.

Co to jest prognoza a co predykcja? Co możemy powiedzieć o zaufaniu do prognoz?

18.

Co to jest współliniowość zmiennych i jakie są tego konsekwencje dla budowy modelu

ekonometrycznego?

19.

Do czego służy symulacja i co trzeba uczynić by efekty były wiarygodne?

20.

Jaka jest procedura budowy modelu ekonometrycznego

Modelowanie problemów

decyzyjnych



Zasady Kartezjusza



Sprawdzić każde założenie unikając „oczywistości”



Podzielić problem na części tak by każdą z nich z osobna można było „ogarnąć rozumem”



Uporządkować problem od najprostszych do najbardziej skomplikowanych i sukcesywnie je

rozwiązywać



Zintegrować problemy cząstkowe w całość nie pozostawiając niczego „w zapomnienie”



Podejście systemowe

–

System

–

Całość złożona z ograniczonej liczby elementów powiązanych ze sobą

relacjami i przyjmujących rozmaite stany, dokonująca z różną

intensywnością transformacji strumieni zasilania (wejście w wyjście)

podporządkowanych przyjętym celom

–

Analiza



Rozważyć system w całości by nie zaniedbać interakcji pomiędzy jego elementami



Zintegrować jego przebieg w czasie,



Nie zapomnieć o jego związkach z otoczeniem



Wziąć pod uwagę cel dla którego został zbudowany i ograniczyć się do elementów

najważniejszych



Zasady racjonalnego gospodarowania

–

Maksymalizacja efektu przy wykorzystaniu założonych zasobów

–

Minimalizacja nakładów przy osiągnięciu założonego efektu

Modelowanie problemów

decyzyjnych



Decyzja – akt wyboru, oceny, sąd, …

–

Jakie mogą być decyzje? Cechy decyzji ekonomicznych.

–

Proces decyzyjny – ciąg działań prowadzących do wyboru decyzji.

–

Zachowania racjonalne – maksymalizacja użyteczności czy racjonalność

ograniczona?

–

Co to jest decyzja dobra?,



Proces podejmowania decyzji

–

Formułowanie problemu

–

Budowa modelu matematycznego lub logicznego



Przedmiot decyzji – zmienne decyzyjne



Uwarunkowania – warunki ograniczające



Kryteria oceny – funkcje celu

–

Pozyskanie i przetworzenie informacji dla ustalenia parametrów modelu

–

Wykonanie niezbędnych obliczeń w celu wskazania decyzji najlepszej -

optymalnej (algorytm rozwiązywania zadania)

–

Analiza jakości (wrażliwości) uzyskanej decyzji – analiza post-

optymalizacyjna

–

Sprawdzenie adekwatności rozwiązania

–

Wdrożenie decyzji

Formułowanie zadań

1.

Sformułować problem (literacko, ale jednoznacznie)

2.

Co musi w nim być?



Przedmiot decyzji



Warunki ograniczające



Kryterium oceny jakości decyzji

3.

Jak przetłumaczyć problem decyzyjny na język matematyki?

– Odp. Formułując zadanie optymalizacyjne (przekształcenie

wzajemnie jednoznaczne) wykorzystując



Zmienne decyzyjne (przedmiot decyzji)



Równania i nierówności (warunki ograniczające) → rozwiązania

dopuszczalne



Wskaźnik(i) jakości (kryterium, funkcja celu)→ rozwiązanie

optymalne

4.

Bywają sformułowania równoważne (te same zbiory

rozwiązań dopuszczalnych i to samo rozwiązanie optymalne)

Zadanie 1

Zakład przerobu ropy naftowej uzyskuje 30 tys. ton półproduktu

A i 30 tys. Ton półproduktu B. W wyniku mieszania tych

półproduktów w odpowiednich proporcjach otrzymuje trzy

rodzaje benzyn:

I - przy proporcjach półproduktu A do półproduktu B jak

1:2,

II - przy proporcjach półproduktu A do półproduktu B jak

1:1,

III - przy proporcjach półproduktu A do półproduktu B jak

2:1,

Hurtowa cena sprzedaży benzyny I wynosi 6.000 zł, II – 7000,- zł

a III – 9000,- zł.

Jaki rodzaj benzyny i w jakich ilościach powinien zakład

produkować ażeby zmaksymalizować przychód

Zadanie 2

Hodowca posiadający stajnię na 10 koni kupuje młode

zwierzęta w wieku 2 lat płacąc po 2000 zł za sztukę.

Może je sprzedać po dwóch latach hodowania i układania

średnio po około 25 tys. złotych, a po roku za około 10

tys. zł. Średnio koń w pierwszym roku zjada rocznie 1

tonę siana i 2 tony owsa, a w roku II 2 tony siana i 1 tonę

owsa. Produkty te można kupić na rynku odpowiednio

po: 2000 zł za 1 tonę owsa, 1000 zł za 1 tonę siana.

Godzina pracy instruktora układającego konie kosztuje

30 zł, a każdemu koniowi w wieku 2 lat trzeba poświęcić

dziennie 30 minut, a w wieku 3 lat 45 minut. Instruktor

nie może dziennie pracować więcej aniżeli 9 godzin. Ile

koni i w jakim wieku powinien rolnik hodować, ażeby

zmaksymalizować swój zysk w okresie dwuletnim?

Zapisać w postaci zadania decyzyjnego.
Jakie masz problemy i wątpliwości?

Zadanie 3

Zakład może wyprodukować dziennie 9 sztuk wyrobu A

albo 12 sztuk wyrobu B. Wyroby te produkowane są z

jednego podstawowego surowca, którego zużycie

dzienne jest ograniczone i wynosi 14 jednostek. Zużycie

tego surowca do produkcji wyrobu A wynosi 1

jednostkę, a do wyrobu B dwie jednostki.

Jaki powinien być optymalny dzienny plan produkcji jeżeli

zysk jednostkowy z produkcji wyrobu A wynosi 1, a z

jednostki wyrobu B wynosi 4?

Czy mieć będzie dla tego planu znaczenie, że ilość

wyrobów A nie może przekraczać 4/5 ilości wyrobów B?

Zapisać problem w postaci zadania PL.

Zadanie 4

Zadanie 5



Tartak produkuje elementy tzw. programu
ogrodowego. Jednym z produktów jest huśtawka
ogrodowa, która składa się z czterech belek o
długości 3 m i jednej belki o długości 2 m.
Elementy te powstają z cięcia belek o długości 7
m, którymi tartak dysponuje w ilości 100 sztuk i
6 m, których tartak posiada 200 sztuk.



W jaki sposób należy pociąć posiadane przez
tartak belki, ażeby uzyskać maksymalną liczbę
kompletów belek na huśtawki.

Zadania 6

Przedsiębiorstwo produkuje dwa wyroby: A i B. Do produkcji używa się m.in. trzech

środków produkcji, których dostawy wymagają zawarcia umów długoterminowych,

stąd uważa się je za limitowane. Są to: komponenty K1, K2, i K3, których zawarte w

kontraktach roczne dostawy wynoszą odpowiednio: 2200, 1500 i 2000 jednostek.

Do produkcji wyrobu A zużywa się 4 jednostki komponentu K1, jedną jednostkę

komponentu K2, i 2 jednostki komponentu K3. Natomiast do produkcji wyrobu B

zużywa się 2 jednostki komponentu K1 i 4 jednostki komponentu K3.

Z analizy sprzedaży wynika, że zobowiązania przedsiębiorstwa dotyczące sprzedaży

wyrobu A, wynoszą co najmniej 800 jednostek. Natomiast w przypadku wyrobu B

oczekuje się sprzedaży na poziomie nie wyższym aniżeli 400 jednostek.

Ceny wyrobów wynoszą odpowiednio 30 000 zł i 40 000 zł.



Wyznaczyć plan produkcji maksymalizujący przychód.



Wyznaczyć plan produkcji maksymalizujący zysk gdy jednostkowe koszty produkcji

wynoszą odpowiednio 15000 zł i 25000 zł.



Jak mógłby się ten plan/ te plany zmienić gdyby możliwe było zniesienie limitu na

zakup komponentu K1?



Ze względu na szybko rosnący popyt na wyrób A i jego niedobory na rynku (produkt

ma znaczenie strategiczne) możliwy jest wzrost jego ceny hurtowej o około 40%.

Jakie to niesie konsekwencje?

Zadanie 7

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

3

4

min

3

24

2

2

18

4

24

,

0

x

x

przy

x

x

x

x

x

x

x x

+

�

+

�

+

�

+

�

�

Zadanie 8



Stosując metodę
geometryczną
rozwiąż zadanie

0

,

16

18

40

2

120

6

3

max

4

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1



















x

x

x

x

x

x

x

x

warunkach

przy

x

x

Zadanie 9

Zakład może wyprodukować dziennie 12 sztuk

wyrobu A albo 18 sztuk wyrobu B. Wyroby te

produkowane są z jednego podstawowego

surowca, którego zużycie dzienne jest

ograniczone i wynosi 36 jednostki. Zużycie tego

surowca do produkcji wyrobu A wynosi 2

jednostki, a do produkcji wyrobu B 3 jednostki.

Jaki powinien być optymalny dzienny plan

produkcji jeżeli zysk jednostkowy z produkcji

wyrobu A wynosi 4, a z jednostki wyrobu B

wynosi 5?

Metoda geometryczna

Przykład liczbowy



Rozwiązanie przykładu

–

Dane niech będzie liniowe zadanie decyzyjne

0

,

6

8

12

max

4

2

2

1

2

1

2

1

2

1















x

x

x

x

x

x

x

x

Interpretacja geometryczna

Metoda geometryczna

– algorytm

( ZPL z dwiema zmiennymi decyzyjnymi)

–

Wykreśl układ współrzędnych dla przestrzeni dwuwymiarowej (R2)

–

Dla osi układu współrzędnych przyjmij odpowiednią skalę, tak by rysunek

mógł być czytelny (w tym celu ustal wartości maksymalne jakie mogą

przyjmować poszczególne zmienne decyzyjne i zaznacz te wartości na

odpowiednich osiach)

–

Kolejno, dla każdego warunku ograniczającego zaznacz tę część

przestrzeni R2, która spełnia nierówność lub równość (półpłaszczyzna lub

prosta)

–

Część wspólna (iloczyn zbiorów) wszystkich półpłaszczyzn i/lub prostych

wskaże zbiór rozwiązań dopuszczalnych

–

Narysuj dowolną izokwantę dla tej funkcji celu. Wykreśl wektor (gradient)

prostopadły do tej izokwanty

–

Przesuń izokwantę w kierunku wskazanym przez gradient, w taki sposób

ażeby miała co najmniej jeden punkt wspólny ze zbiorem rozwiązań

dopuszczalnych (aby jej położenie wskazywało na wierzchołek lub krawędź

zbioru rozwiązań dopuszczalnych),

–

Współrzędne wierzchołka wskażą wartości zmiennych decyzyjnych

rozwiązania optymalnego

Programowanie liniowe

Zadania Programowania liniowego

–

Zmienne decyzyjne – wymierne, warunki i kryterium – funkcjami

liniowymi

–

Własności zbioru decyzji dopuszczalnych (zb. wielościenny wypukły)

–

Metody poszukiwania rozwiązania optymalnego (heurystyczna –

przegląd wierzchołków, geometryczna – z wykorzystaniem izokwanty)

Macierzowa postać zadania

–

Zmienne decyzyjne – wektor o n składowych

–

Funkcja celu – iloczyn skalarny

–

Warunki ograniczające – układ nierówności (równań)

Przekształcenia równoważne

-

Wprowadzenie zmiennych swobodnych w warunkach z nierównością

-

Zamiana znaku współczynników funkcji celu przy zmianie „kierunku”

optymalizacji

-

Równanie zastąpione dwiema nierównościami

Programowanie liniowe 2



Zadanie programowania liniowego (ZPL) jest matematycznym odwzorowaniem

problemu decyzyjnego, w którym wszystkie warunki ograniczające i funkcja celu

wyrażone są w postaci funkcji liniowych, a zmienne decyzyjne przyjmują wartości

rzeczywiste (nieujemne)



Decyzje wyrażone są w postaci wektorów (nieujemnych, n- wymiarowych, gdzie n jest

liczbą zmiennych decyzyjnych), których składowe odpowiadają zmiennym decyzyjnym



Decyzję nazywamy dopuszczalną jeżeli spełnia wszystkie warunki ograniczające

(łącznie z nieujemnością). Zbiór wszystkich decyzji dopuszczalnych (zbiór rozwiązań

dopuszczalnych) zadania programowania liniowego jest zbiorem wielościennym

wypukłym.



Decyzją optymalną jest ta decyzja dopuszczalna, dla której wartość funkcji celu

przyjmuje wartość największą (lub odpowiednio najmniejszą)



Są trzy możliwości:

–

Nie istnieje żadne rozwiązanie dopuszczalne (zadanie jest sprzeczne)

–

Nie istnieje skończone rozwiązanie optymalne (zadanie nie jest dobrze postawione)

–

Istnieje skończone rozwiązanie optymalne (jedno lub wiele)



Jeśli istnieje skończone rozwiązanie optymalne ZPL, to znajduje się ono w jednym z

wierzchołków zbioru rozwiązań dopuszczalnych (wielościennego i wypukłego) .



Dla jego wyznaczenia można przejrzeć zbiór rozwiązań odpowiadający wszystkim

wierzchołkom zbioru rozwiązań dopuszczalnych (przegląd zupełny) lub dokonać

przeglądu ukierunkowanego (wykorzystującego właściwości ZPL) . Przykładem może

być metoda simpleks lub dla zadań z dwiema zmiennymi decyzyjnymi – metoda

geometryczna.

Metoda simplex –metoda

ukierunkowanego przeglądu

dopuszczalnych rozwiązań

bazowych

Schemat:

Generujemy dopuszczalne (nieujemne) rozwiązanie bazowe

(początkowe)

Sprawdzamy optymalność otrzymanego rozwiązania
Jeżeli nie jest optymalne, to generujemy nowe

dopuszczalne rozwiązanie bazowe nie gorsze od

otrzymanego poprzednio i idziemy do punktu

sprawdzenia optymalności ptrzymanego rozwiązania

Jeżeli tak, to koniec obliczeń, albowiem nie ma już

rozwiązania lepszego !!! Ostatnio otrzymane rozwiązanie

jest optymalne.

Metoda simplex – podstawowe

problemy

Jak wygenerować rozwiązanie

początkowe?

Jak sprawdzić optymalność rozwiązania?

Jak wygenerować nowe (nie gorsze)

rozwiązanie bazowe?