Liniowe obwody

elementarne przy

wymuszeniach

sinusoidalnych.

Zauważ, że przesunięcie fazowe pomiędzy prądem i napięciem na
idealnym rezystorze jest równe =0, oraz że moc chwilowa
pobierana przez rezystor zawsze jest równa zero.

U

R

I

Moc czynna: całka za okres

z mocy chwilowej

Na ekranie przedstawiono symulację w programie Mathcad
przebiegów prądu i napięcia na rezystorze oraz mocy
chwilowej. Przypomnij sobie, że interpretacją energii pobranej
przez rezystor przy przepływie prądu stałego jest pole
prostokąta (ekran 258). Stąd energia pobrana przy przepływie
prądu zmiennego może być określona jako całka za okres z
funkcji mocy chwilowej. Ponieważ w każdym okresie ilość
pobranej energii jest jednakowa stąd można sformułować
pojęcie średniej mocy dzieląc obliczoną energię przez okres.
Tak sformułowaną moc średnią nazywamy mocą czynną dla
dowolnych przebiegów okresowych napięcia i prądu.

Moc czynna: całka za okres

z mocy chwilowej

Moc czynna przy przepływie

prądu sinusoidalnego przez

rezystor:

I

U

R

U

I

R

T

I

R

T

1

dt

I

R

T

1

2

2

t

2

sin

1

[

I

R

T

1

pdt

T

1

P

R

2
R

2

2

T

0

2

T

0

2

T

0

























































Zauważ, że wzory na moc pobieraną przez rezystor nie różnią się
od stosowanych w obwodach prądu stałego. W tym, przypadku
jednak prąd I oraz napięcie U

R

są skutecznymi wartościami

sygnałów sinusoidalnych.
W dalszym ciągu pamiętajmy, że dużymi literami I,U oznacza
będziemy wartości skuteczne. Literami z indeksem m (U

m

,I

m

)

będziemy oznaczali amplitudy. Z kolei małymi literami u,i
wielkości chwilowe (funkcje od czasu t).

Moc czynna przy przepływie

prądu sinusoidalnego przez

rezystor:

Cewka

Cewka

Jeżeli cewka jest liniowa to charakteryzuje się stałą
wielkością (indukcyjność własna cewki) będącą stosunkiem
strumienia sprzężonego z nią wytwarzanego przez
przepływający przez jej uzwojenie prąd do wartości tego
prądu.
Należy pamiętać, że w ogólnym przypadku rzeczywista
cewka może być elementem nieliniowym i posiadać
rezystancję, Wówczas napięcie na niej nie może być
wyrażone wzorem

dt

di

L

e

oraz
L=variab.

Porównując wzór na prawo Ohma w przypadku rezystancji z
otrzymanym prawem Ohma dla indukcyjności, wielkość zwaną
reaktancją możemy zinterpretować jako opór jaki cewka stawia
napięciu. Im większa reaktancja tym mniejszy prąd przy danym
napięciu.

Moc czynna pobierana

przez cewkę:

Energia cewki

Energia cewki

Kondensator

W ogólnym przypadku kondensator (podobnie jak rezystor czy cewka)
może charakteryzować się innymi wielkościami (jak indukcyjność czy
rezystywność). Wówczas na model takiego kondensatora będą składały się
dodatkowe idealne elementy:

Wzory określające zależność pomiędzy prądem a napięciem na
kondensatorze dla dowolnych przebiegów sformułowano dla
zastrzałkowania odbiornikowego. Zauważ, że zachowana jest
zasada odbiornikowego strzałkowania wszystkich dotychczas
poznanych elementów tj. rezystancji, indukcyjności i pojemności.

Analogicznie jak dla cewki, reaktancję kondensatora można
interpretować jako opór jaki stawia kondensator napięciu
zmiennemu.

UWAGA:

wzory na reaktancje zarówno cewki jak i kondensatora

mają sens tylko dla sygnałów sinusoidalnych. Dlaczego?

Obwody sinusoidalne z elementami R,

L, C

Dla idealnego rezystora spełnione jest prawo
Ohma, które dotyczy amplitud, oraz wartości
skutecznych napięcia i prądu. Prąd i napięcie
są ze sobą w fazie, przesunięcie miedzy
prądem i napięciem wynosi 0°. Widać to na
wykresie wektorowym, wektory prądu
i napięcia pokrywają się.

Idealny rezystor o rezystancji R to
taki, w którym zachodzi jedynie
proces energetyczny, polegający
na zamianie energii elektrycznej
na ciepło.

Obwody sinusoidalne z elementami R,

L, C

Idealna cewka o
indukcyjności L to taka, w
której zachodzi jedynie
proces energetyczny
polegający na akumulacji
energii w polu
magnetycznym.

Dla idealnej cewki indukcyjnej spełnione
jest prawo Ohma, które dotyczy wartości
skutecznych napięcia i prądu.
Napięcie wyprzedza prąd o π/2 ,
przesunięcie między prądem i napięciem
wynosi wynosi 90°, widać to na wykresie
wektorowym, wektor napięcia jest
prostopadły do wektora prądu.

Obwody sinusoidalne z elementami R,

L, C

Idealny kondensator o pojemności C
to taki, w którym zachodzi jedynie
proces
gromadzenia energii w polu
elektrycznym.

Dla idealnego kondensatora, spełnione
jest prawo Ohma, które dotyczy wartości
skutecznych napięcia i prądu. Napięcie
spóźnia się w stosunku do prądu o π/2,
przesunięcie między prądem i napięciem
wynosi -90°, widać to na wykresie
wektorowym, wektor napięcia jest
prostopadły do wektora prądu.

Ekran przedstawia symulacje w programie Mathcad I prawa Kirchhoffa. Obok wykresów po lewej
stronie narysowano 3 wskazy odpowiadające (kolorystycznie) poszczególnym sinusoidom. Z
rysunków tych wynika, że aby otrzymać wystarczające informację o prądzie i

3

(t) wystarczy dodać

wskazy odpowiadające prądom i

1

(t) oraz i

2

(t). W elektrotechnice dla dodawania wektorowego

wskazów wykorzystuje się metodę liczb zespolonych zwana metodą symboliczną.

METODA SYMBOLICZNA

Układ współrzędnych dla liczb zespolonych składa się z dwóch osi: oś
urojona (oś rzędnych) oraz oś rzeczywista (oś odciętych).

Działania na liczbach

zespolonych:

W celu zastosowania metody symbolicznej do wyznaczenie sumy
prądów ( lub napięć sinusoidalnych) przyjmujemy następującą
zasadę zamiany funkcji sinusoidalnej na odpowiednik zespolony:

















j

m

m

e

2

I

I

)

t

sin(

I

i(t)

Jak widać w wyrażeniu na prąd zespolony I znika wielkość t co
odpowiada zatrzymaniu wskazu wirującego. W przyjętej zasadzie
prąd zespolony I oparty jest na wartości skutecznej tzn. jego
moduł będzie wartością skuteczną.

Kontynuacja przykładu z

ekranu 273

Sposób wyznaczenia prądu
sinusoidalnego będącego
sumą dwóch składowych
przedstawiono w programie
Mathcad. Na podstawie
otrzymanej liczby zespolonej
I

3

zdefiniowano funkcję

sinusoidalną, którą nazwano
i

3z

(t). Funkcję tą porównano z

przebiegiem otrzymanym
jako suma graficzna
składowych sinusoid w
ekranie 273. Jak widać
otrzymano idealną zgodność
co potwierdza poprawność
metody symbolicznej.

Reaktancje zespolone

Zastosowanie metody

symbolicznej na przykładzie

obwodu szeregowego RLC

UWAGA: Wzór na połączenie szeregowe jest analogiczny jak w
obwodach prądu stałego, ale może być zastosowany tylko w postaci
zespolonej !!!

Sprawdź, że dla dowolnych liczb zespolonych mamy

Z3

Z2

Z1

Z







Dzięki metodzie symbolicznej możemy prawa Kirchhoffa formułować w
postaci zespolonej. Dwójnik, który składa się z dowolnej kombinacji
elementów R,L,C nazywamy ogólnie impedancją Z. Zwróć uwagę, że w
powyższym przypadku mamy połączenie szeregowe trzech elementów co
można zapisać:

C

j

1

L

j

R

X

X

R

3

Z

2

Z

1

Z

Z

c

L



























Charakter obciążenia

Dowolne połączenie elementów typu R,L,C zawsze daje impedancje
zespoloną mającą część rzeczywistą i urojoną. Jeżeli część urojona jest
dodatnia to mówimy, że odbiornik ma charakter rezystancyjno
indukcyjny. Oznacza to, iż można dobrać takie parametry R,L, które dla
danej pulsacji stanowiłyby dwójnik równoważny.
Odpowiedź:

Charakter RC (pojemnościowy)

Wykres wskazowy napięć

dla szeregowego

połączenia RLC

Powyższy wykres wskazowy warto zacząć rysować od prądu przy czym nie
jest istotne pod jakim kątem go narysujemy w stosunku do osi realis
(wskazy i tak wirują a my rysujemy ich układ dla dowolnie wybranej
chwili). Natomiast napięcia musimy narysować zachowując zasadę
odpowiednich przesunięć fazowych dla rezystancji indukcyjności i
pojemności.
 
Odpowiedź: Wykres wskazowy dla charakteru pojemnościowego wygląda
następująco:

Przypadek szczególny-

Rezonans napięć

Możliwa jest sytuacja kiedy obie reaktancje będą miały identyczne
wartości co oznacza, że w sumie zespolonej zredukują się. Impedancja
będzie miała wówczas tylko część rzeczywistą (Im{Z}=0).. Taki stan
nazwiemy rezonansem szeregowym lub rezonansem napięć.

Zastosowanie metody

symbolicznej: układ

równoległy RLC

I

Zastosowanie metody

symbolicznej: układ

równoległy RLC

Zastosowanie metody

symbolicznej: układ

równoległy RLC

W teorii obwodów prądów zmiennych przez analogie do konduktancji
definiuję się odwrotność reaktancji zwaną susceptancją oraz odwrotność
impedancji zwaną admitancją.

Z

1

Y 

Zauważ że połączenie równoległe ma postać analogiczną jak w obwodach
prądu stałego:

Y3

Y2

Y1

3

Z

1

2

Z

1

1

Z

1

Z

1

Y















UWAGA: Wzór na połączenie równoległe jest analogiczny jak w
obwodzie prądu stałego, ale może być zastosowany tylko w
postaci zespolonej !!!

Wykres wskazowy dla

układu równoległego RLC

0





 
Pytanie- jaki charakter miała impedancja wypadkowa dla powyższego
przypadku?

Wykres wskazowy dla

układu równoległego RLC

Tym razem powyższy wykres wskazowy warto zacząć rysować od
napięcia przy czym nie jest istotne pod jakim kątem go narysujemy w
stosunku do osi realis (wskazy i tak wirują a my rysujemy ich układ
dla dowolnie wybranej chwili). Natomiast prądy musimy narysować
zachowując zasadę odpowiednich przesunięć fazowych dla rezystancji
indukcyjności i pojemności.

Opowiedź: Ponieważ wykres wskazowy pokazuje, że prąd główny I
wyprzedza ( o jakiś kąt ) napięcie zasilania oznacza to, że impedancja
miała charakter rezystancyjno-pojemnościowy.

Rezonans równoległy

(prądów) I

x

=0

Pytanie: Dla jakiej pulsacji w
rozpatrywanym obwodzie nastąpi
rezonans dla dwóch dowolnych
wartości L,C?

Podobnie jak dla połączenia
szeregowego w układzie
równoległym może wystąpić
sytuacja, w której wypadkowa
admitancja nie będzie miała części
urojonej (Im{Y}=0). W
rozpatrywanym układzie sytuacja
taka zajdzie również przy równych
reaktancjach (X

c

=X

L

).

LC

1





C

1

L







Opowiedź: dla

.

Wnika to z rozwiązania równania

Uwaga:

należy pamiętać, że pulsacja rezonansowa może mieć inny wzór dla

różnych obwodów.