Weryfikacja hipotez

statystycznych

PROCEDURA

Procedura weryfikacji odbywa się przy
wykorzystaniu narzędzi statystycznych
zwanych testami. Szczególnie miejsce wśród
nich zajmują testy istotności. Procedura
tych testów pozwala, na podstawie wyników
uzyskanych z próby losowej, na podjęcie
jednej z dwóch alternatywnych decyzji:

• o odrzuceniu hipotezy sprawdzanej,
• o stwierdzeniu braku podstaw do jej

odrzucenia.

2

RODZAJE BŁĘDÓW

• Błąd pierwszego rodzaju – odrzucenie

hipotezy pomimo, iż jest ona
prawdziwa

• Błąd drugiego rodzaju – przyjęcie

hipotezy fałszywej

3

Procedura postępowania

• Postawienie hipotez (hipotezy sprawdzanej

i konkurencyjnej wobec niej)

• Przyjmujemy poziom istotności α
• z populacji generalnej losowana jest próba

statystyczna i na podstawie wyników z tej
próby ustalana jest wartość statystyki
empirycznej t

emp

• dla przyjętego poziomu istotności – z

odpowiednich tablic – odczytywana jest
wartość statystyki teoretycznej t

t

określanej

również mianem wartości krytycznej,

4

Procedura c.d.

• porównujemy wartości statystyki

empirycznej i teoretycznej i w przypadku:

 Test dwustronny:

- jeżeli odrzucamy hipotezę
zerową

- jeżeli brak podstaw do
odrzucenia hipotezy zerowej

5

t

emp

t

t



t

emp

t

t



Test prawostronny:

- jeżeli odrzucamy hipotezę
zerową

- jeżeli brak podstaw do
odrzucenia hipotezy zerowej

Test lewostronny:

- jeżeli odrzucamy hipotezę zerową

- jeżeli brak podstaw do

odrzucenia hipotezy zerowej

6

t

emp

t

t 

t

emp

t

t 

t

emp

t

t





t

emp

t

t





Weryfikacja hipotezy
dla wartości średniej

7

Procedura

• Postawienie hipotez

H

0

: E(x) = E

0

(x)

H

1

: E(x) ≠E

0

(x)

H

1

: E(x) >E

0

(x)

H

1

: E(x)< E

0

(x)

• Założenie poziomu istotności α
• Wylosowanie z populacji generalnej

próby – może to być próba mała ( n≤
30) bądź próba duża (n> 30)

8

Próba mała

• Ustalamy dla próby średnią arytmetyczną oraz

odchylenie standardowe

• z tablic rozkładu t Studenta odczytujemy

wartość statystyki teoretycznej według reguły
- w przypadku testu dwustronnego: dla k= n-1
oraz założonego poziomu istotności α
- dla testu jednostronnego: dla k = n-1 oraz 2·α

• Zgodnie z zasadami porównanie obu statystyk

9

 

 

1

·

0







n

x

s

x

E

x

t

emp

Próba duża

• Pobranie z populacji dużej próby i

ustalenie dla niej średniej arytmetycznej i
S(x)

• Odczytanie z tablic dystrybuanty statystyki

teoretycznej:
- dla testu obustronnego
- dla testu jednostronnego dla 0,5 – α

• Porównanie obu statystyk

10

 

 

n

x

s

x

E

x

t

emp

·

0





2

5

,

0





Przykład 1

Zakłada się, że średni czas przepisywania na
komputerze jednej strony tekstu wynosi 5,8
minuty. W celu sprawdzenia założenia do
próby pobrano 29 maszynistek i zebrano
informacje o czasie przepisywania tekstu.
Informacje te przedstawia poniższy szereg.
Hipotezę zweryfikować przyjmując poziom
istotności 0,01.

11

x

n

<3,8 – 4,4)

5

<4,4 - 5,0)

10

<5,0 – 5,6)

12

<5,6 -6,2)

2

12

Przykład 2

Zakłada się, że średnia waga
tabliczki czekolady w całej populacji
jest mniejsza od 100 g. W celu
zweryfikowania hipotezy do próby
pobrano w sposób losowy 70
tabliczek czekolady , których średnia
waga wyniosła 93 g z odchyleniem
standardowym 1 g. Przy
weryfikowaniu hipotezy przyjąć
poziom istotności 0,05.

13

Weryfikacja hipotezy

dla dwóch średnich

14

Procedura

• Postawienie hipotez

• Założenie poziomu istotności
• Wylosowanie z obu populacji prób dużych,

albo małych

15

 

 

x

E

x

E

H

2

1

0

:



 

 

x

E

x

E

H

2

1

1

:



 

 

x

E

x

E

H

2

1

1

:



 

 

x

E

x

E

H

2

1

1

:



Mała próba

• Losujemy z obu populacji próby (małe próby) i

ustalamy dla nich wartości średnie z
odchyleniami standardowymi

• Odczytujemy z tablic rozkładu studenta

statystykę teoretyczną
- test dwustronny: dla k= n

1

+n

2

-2 oraz α

- test jednostronny: dla k= n

1

+n

2

-2 oraz 2 α

• Porównujemy obie statystyki

16

 

 

























2

1

2

1

2

2

2

2

1

1

2

1

1

1

2

n

n

n

n

x

s

n

x

s

n

x

x

t

emp

Duża próba

• Z obu populacji losujemy duże próby dla

których ustalamy średnie arytmetyczne
oraz odchylenia standardowe

• Odczytujemy z tablic dystrybuanty rozkładu

normalnego statystykę teoretyczną

- test dwustronny dla

- test jednostronny dla 0,5 - α

• Porównujemy obie statystyki

17

 

 

2

2

2

1

2

1

2

1

n

x

s

n

x

s

x

x

t

emp







2

5

,

0





Przykład 3

Wysunięto hipotezę, kobiety uzyskują
lepsze oceny z egzaminów z matematyki
niż mężczyźni. Na I roku UE wylosowano do
próby 14 mężczyzn i 18 kobiet i uzyskano
dla obu prób następujące informacje:
próba mężczyzn: średnia ocena 3,2 z S(x)
= 0,9
próba kobiet: średnia ocena 3,8 z S(x) =
0,6
Hipotezę zweryfikować przy poziomie
istotności 0,1.

18

Przykład

Rozkład tygodniowego czasu
poświęconego na naukę poza uczelnią jest
cechą o rozkładzie normalnym. Zakłada
się, że studenci drugiego roku UE
poświęcają więcej czasu na naukę niż
studenci roku 3. W celu zweryfikowania
hipotezy pobrano z obu populacji próby
liczące odpowiednio: II rok próba równa 40
osób i III rok próba licząca 50 osób.
Uzyskano dla nich następujące informacje
o czasie poświęcanym na naukę poza
uczelnią

19

Studenci II roku

Studenci III roku

20

X

2

(w h)

n

2

<0-6)

11

<6-12)

14

<12-18)

12

<18-24)

6

X

1

(w h)

n

1

<0- 7)

9

<7-14)

22

<14-21)

7

Weryfikacja hipotezy

dla współczynnika

korelacji

21

Procedura

• Postawienie hipotez

• Założenie poziomu istotności
• Pobranie z populacji generalnej małej

próby i ustalenie dla niej współczynnika
korelacji liniowej Pearsona

22

0

:

0





H

0

:

1





H

0

:

1





H

0

:

1





H

• Wyznaczenie statystyki teoretycznej

• Odczytanie z tablic rozkładu t studenta

statystyki teoretycznej:
- w przypadku testu dwustronnego: dla k = n-
2 oraz α
- w przypadku testu jednostronnego: dla k= n-
2 oraz 2

α

• Porównanie obu statystyk

23

 

2

·

1

2







n

r

r

t

P

P

emp

Przykład 5

Zakłada się, że istnieje dodatnia zależność
pomiędzy stażem pracy a wysokością
uzyskanej kwartalnej premii. W celu
zweryfikowania hipotezy do próby pobrano
15 pracowników pewnego
przedsiębiorstwa i zebrano od nich
informacje o stażu pracy (cecha x w
latach) oraz wysokości uzyskanej
kwartalnej premii (cecha y w tys. złotych).
Przy weryfikacji hipotezy przyjąc poziom
istotności 0,01.

24

25

lp

x( lat)

y (tys. zł)

1

20

2,5

2

11

1,6

3

5

0,7

4

10

1,2

5

26

2,5

6

20

1,7

7

13

1,0

8

15

0,9

9

22

2,3

10

20

1,9

11

25

2,6

12

28

3,0

13

15

1,4

14

13

0,8

15

10

1,1

Test niezależności

2



Procedura

• Sformułowanie i postawienie hipotez

• Założenie poziomu istotności
• Pobranie z populacji generalnej dużej

próby i zebranie informacji o wartościach
dwóch cech (informacje zestawia się w
tablicy korelacyjnej)

27

j

i

ij

f

f

f

H

·

:

0



j

i

ij

f

f

f

H

·

:

1













j

i

j

i

j

i

ij

emp

f

f

N

f

f

N

n

t

,

2

·

·

·

·

• Odczytanie z tablic rozkładu dla

oraz α statystyki

teoretycznej

• Porównanie obu statystyk i podjecie

decyzji odnośnie hipotezy zerowej

28

2



   

1

·

1 





s

l

k

Przykład

Dla losowej próby bezrobotnych
zarejestrowanych w Powiatowym Urzędzie
Pracy w „K” zebrano informacje dotyczące
ich poziomu wykształcenia (X) oraz czasu
pozostawania bez pracy (Y). Wyniki
badania ujęto w poniższej tablicy
korelacyjnej. Na poziomie istotności 0,05
zweryfikować hipotezę o niezależności
czasu pozostawania bez pracy od poziomu
wykształcenia bezrobotnych.

29

30

CZAS
POZOSTAWANIA

BEZ PRACY W
MIESIĄCACH

POZIOM WYKSZTAŁCENIA

podstawowe średnie

wyższe

do 6

15

15

15

45

6 - 12

25

25

10

60

12 - 24

30

15

10

55

70

55

35

16

0

i

n

j

n