POSTAĆ

KANONICZNA

FUNKCJI

KWADRATOWEJ

Funkcję kwadratową można zapisać w postaci ogólnej:

Z takiej postaci wyznaczamy współczynniki a, b, c oraz

stwierdzimy czy parabola będąca wykresem funkcji ma

ramiona skierowane do góry czy na dół (jeżeli a>0 –

parabola ma ramiona skierowane do góry; jeżeli a<0 -

parabola ma ramiona skierowane w dół).

Charakterystycznym punktem paraboli jest jej

wierzchołek W=(p,q) który możemy wyznaczyć ze

wzorów:

gdzie:

Funkcję kwadratową można zapisać w postaci

kanonicznej:

Zadanie1: Oblicz wyróżnik funkcji kwadratowej:

a)

f(x)=6x

2

+2x-1

a=6 b=2 c=-1

Δ = b

2

- 4ac

Δ = 2

2

- 4·6·(-1) = 4 + 24 = 28 –

wyróżnik funkcji

kwadratowej

b)

f(x)=-4x

2

+x+5

a=-4 b=1 c=5

Δ = b

2

- 4ac

Δ = 1

2

- 4·(-4)·5 = 1 + 80 = 81

– wyróżnik funkcji

kwadratowej

c)

f(x)=3x

2

+3x

a=3 b=3 c=0

Δ = b

2

- 4ac

Δ = 3

2

- 4·3·0 = 9 – 0 = 9

– wyróżnik funkcji kwadratowej

d)

f(x)=-5x

2

-x

a=-5 b=-1 c=0

Δ = b

2

- 4ac

Δ = (-1)

2

- 4·(-5)·0 = 1 + 0 = 1

– wyróżnik funkcji

kwadratowej

e)

f(x)=8x

2

+3x

a=8 b=3 c=0

Δ = b

2

- 4ac

Δ = 3

2

- 4·8·0 = 9 – 0 = 9

– wyróżnik funkcji kwadratowej

f)

f(x)=-x

2

+1

a=-1 b=0 c=1

Δ = b

2

- 4ac

Δ = 0

2

- 4·(-1)·1 = 0 + 4 = 4

– wyróżnik funkcji

kwadratowej

Zadanie2: Wyznacz współrzędne wierzchołka
paraboli, która jest wykresem funkcji:

a)

f(x)=8x

2

-5x+2

a=8 b=-5 c=2

Δ = b

2

- 4ac

Δ = (-5)

2

- 4·8·2 = 25 - 64 = -39

b)

g(x)=-6x

2

+x+1

a=-6 b=1 c=1

Δ = b

2

- 4ac

Δ = 1

2

- 4·(-6)·1 = 1 + 24 = 25

c)

h(x)=3x

2

-6x

a=3 b=-6 c=0

Δ = b

2

- 4ac

Δ = (-6)

2

- 4·3·0 = 36 - 0 = 36

d)

h(x)=2x

2

-8

a=2 b=0 c=-8

Δ = b

2

- 4ac

Δ = 0

2

- 4·2·(-8) = 0 + 64 = 64

e)

f(x)=-x

2

+x

a=-1 b=1 c=0

Δ = b

2

- 4ac

Δ = 1

2

- 4·(-1)·0 = 1 - 0 = 1

f)

g(x)=-4x

2

+2

a=-4 b=0 c=2

Δ = b

2

- 4ac

Δ = 0

2

- 4·(-4)·2 = 0 + 32 = 32

Zadanie3: Przedstaw funkcję w postaci kanonicznej:

a)

f(x)=4x

2

-6x+1

a=4 b=-6 c=1

Δ = b

2

- 4ac

Δ = (-6)

2

- 4·4·1 = 36 - 16 = 20

b)

f(x)=-3x

2

+x-8

a=-3 b=1 c=-8

Δ = b

2

- 4ac

Δ = 1

2

- 4·(-3)·(-8) = 1 - 96 = -95

c)

h(x)=-x

2

+9

a=-1 b=0 c=9

Δ = b

2

- 4ac

Δ = 0

2

- 4·(-1)·9 = 0 + 36 = 36

d)

g(x)=4x

2

-36

a=4 b=0 c=-36

Δ = b

2

- 4ac

Δ = 0

2

- 4·4·(-36) = 0 + 576 = 576

e)

g(x)=x

2

+8x

a=1 b=8 c=0

Δ = b

2

- 4ac

Δ = 8

2

- 4·1·0 = 64 - 0 = 64

f)

p(x)=5x

2

+10x

a=5 b=10 c=0

Δ = b

2

- 4ac

Δ = 10

2

- 4·5·0 = 100 - 0 = 100

g)

f(x)=x

2

+5x+4

a=1 b=5 c=4

Δ = b

2

- 4ac

Δ = 5

2

- 4·1·4 = 25 - 16 = 9

h)

f(x)=-x

2

-6x-5

a=-1 b=-6 c=-5

Δ = b

2

- 4ac

Δ = (-6)

2

- 4·(-1)·(-5) = 36 - 20 = 16

Zadanie4: Funkcję zapisaną w postaci kanonicznej
przedstaw
w postaci ogólnej:

a)

f(x)=8(x-6)

2

+2

f(x)=8(x-6)

2

+2

f(x)=8(x

2

-2·x·6+6

2

)+2

f(x)=8(x

2

-12x+36)+2

f(x)=8x

2

-96x+288+2

f(x)=8x

2

-96x+290 -

postać ogólna funkcji

kwadratowej

b)

g(x)=-(x+3)

2

+3

g(x)=-(x+3)

2

+3

g(x)=-(x

2

+2·x·3+3

2

)+3

g(x)=-(x

2

+6x+9)+3

g(x)=-x

2

-6x-9+3

g(x)=-x

2

-6x-6 -

postać ogólna funkcji

kwadratowej

c)

h(x)=-2(x+4)

2

-5

h(x)=-2(x+4)

2

-5

h(x)=-2(x

2

+2·x·4+4

2

)-5

h(x)=-2(x

2

+8x+16)-5

h(x)=-2x

2

-16x-32-5

h(x)=-2x

2

-16x-37 -

postać ogólna funkcji

kwadratowej