Obliczanie powierzchni

Zależnie od potrzebnej dokładności oraz rodzaju posiadanych
danych, powierzchnię można wyznaczyć metodą analityczną,
graficzną lub mechaniczną. Można również zastosować metodę
kombinowaną graficzno-analityczną.
Metoda analityczna polega na obliczaniu powierzchni na
podstawie

danych,

uzyskanych bezpośrednio w terenie lub obliczonych na podstawie
wielkości pomierzonych w terenie. Metoda ta jest najdokładniejsza,
lecz najbardziej pracochłonna.
Metoda graficzna polega na obliczaniu powierzchni, wykorzystując
te

same

wzory jak w metodzie analitycznej, przy czym potrzebne miary
wyznacza się graficznie z mapy. Dokładność obliczenia powierzchni
metodą graficzną jest mniejsza niż metoda analityczną
Metoda mechaniczna polega na określaniu powierzchni za pomocą
mapy

i

odpowiednich

przyrządów

zwanych

planimetrami.

Dokładność obliczenia powierzchni metodą mechaniczną jest tego
samego rzędu jak metodą graficzną.
Metoda kombinowana, analityczno-graficzna polega na tym. że
część

miar

przyjmuje się z pomiaru w terenie, część graficznie z mapy.
Dokładność tej metody jest pośrednia między metodą analityczną i
graficzną.

Obliczanie powierzchni

Metoda analityczna obliczania powierzchni
Powierzchnię figur geometrycznych, takich jak trójkąty i

czworoboki, oblicza się za pomocą wzorów znanych z
geometrii.

Powierzchnię dowolnego wieloboku można obliczyć

mając dane współrzędne prostokątne wierzchołków na
podstawie wzorów.

)

x

x

(

y

P

2

)

y

y

(

x

P

2

1

i

1

i

n

1

i

1

i

1

i

n

1

i





















Obliczanie powierzchni

Obliczanie

powierzchni

Powierzchnia wieloboku na podstawie współrzędnych
biegunowych
Jeżeli punkty wieloboku określone są współrzędnymi
biegunowymi r

i

, oraz 

i

;

to powierzchnię tego wieloboku można określić wzorem:

)

sin(

r

r

P

2

i

1

i

1

i

n

1

i

















Obliczanie powierzchni

Metoda graficzna obliczania powierzchni
Aby obliczyć powierzchnię wieloboku metodą graficzną,

należy podzielić go na trójkąty lub na trójkąty i trapezy.
Elementy potrzebne do obliczania powierzchni wyznaczamy
graficznie z mapy.

Podział wieloboku na trójkąty powinien być tak wykonany,

aby powstały trójkąty foremne. Najkorzystniejszym, ze
względu na dokładność obliczeń, będzie taki trójkąt, w którym
wysokość i podstawa są równe. W celu kontroli obliczenia
należy wykonać dwukrotnie, Przy drugim obliczeniu należy
wielobok podzielić na inne figury

Obliczanie powierzchni

Obliczanie powierzchni

Metoda graficzno-analityczna obliczania powierzchni
W niektórych przypadkach, a mianowicie przy obliczaniu

powierzchni wąskich i wydłużonych działek, boki krótkie
mierzymy w terenie, odcinki długie określamy graficznie z
mapy. Powierzchnia obliczona na podstawie tak pozyskanych
danych będzie znacznie dokładniejsza, niż gdybyśmy
wszystkie miary określili graficznie z mapy. Dokładność
graficznego wyznaczania długości wynosi około 0,2 mm na
mapie. Jeżeli mapa jest w skali l :2000, to dokładność wynosi
0,4 m w terenie. W wypadku skali mapy l :5000 wynosi ona w
terenie l m. Dokładność ta jest taka sama zarówno dla
odcinków krótkich, jak i długich. Jeżeli działka ma 20 m
szerokości i 200 m długości, to błąd 0,4 m przy określaniu jej
szerokości spowoduje 80 m

2

błędu powierzchni tej działki.

Natomiast błąd 0,4 m przy określaniu jej długości spowoduje
tylko
8 m

2

błędu jej powierzchni. Widzimy więc, że błąd krótkich

wymiarów działek jest bardziej szkodliwy dla dokładności
powierzchni niż błąd odcinków długich.

Obliczanie powierzchni

Po pierwszym obliczeniu powierzchni wykonuje się podział na
inne trójkąty i oblicza powierzchnię powtórnie. Za wynik
ostateczny przyjmuje się średnią arytmetyczną.

Obliczanie powierzchni

Mechaniczne wyznaczanie powierzchni
Przyrządy do pomiaru powierzchni figur ograniczonych

prostymi lub krzywymi liniami nazywamy planimetrami.
Istnieje kilka typów planimetrów. Najbardziej powszechny jest
planimetr biegunowy kompensacyjny.

Planimetr składa się z dwóch ramion: biegunowego i

wodzącego, połączonych ze sobą przegubowo. Ramię wodzące
przesuwa się w pochwie, przez co jego długość może się
zmieniać. Z jednej strony zakończone jest ostrzem wodzącym
oraz podpórką, z drugiej ma kółko zwane całkującym z
licznikiem obrotów oraz kółko podpórkowe. Ramię biegunowe
zakończone jest z jednej strony ciężarkiem z igłą u spodu -
biegunem, z drugiej poprzez przegub połączone jest z
ramieniem wodzącym. Na boku kółka całkującego naniesiony
jest podział na 100 części, służący do określania wielkości
obrotu kółka. Do dokładnego odczytu na podziale służy
umieszczony obok kółka noniusz.

Obliczanie powierzchni

Pełne obroty kółka całkującego rejestruje licznik obrotów w
postaci poziomej tarczy. Całkowity odczyt jest liczbą
cztcrocyfrową. Pierwszą cyfrę odczytujemy z tarczy, dwie
następne z kółka, czwartą zaś z noniusza. Pomiar powierzchni
planimetrem wykonujemy w sposób następujący. Ustawiamy
biegun planimetru nieruchomo, po czym za pomocą wodzika
oprowadzamy mierzony obiekt dookoła, ściśle po linii jego
konturu. Przy oprowadzaniu figury danego obiektu kółko
całkujące częściowo toczy się po papierze, częściowo zaś ślizga
się, co jest zależne od kierunku poruszania się kółka całkującego
po papierze. Powierzchnia mierzonej figury jest funkcją liczby
obrotów wykonanych przez kółko całkujące przy oprowadzaniu
wodzikiem po linii konturu mierzonej figury.

Obliczanie powierzchni

Pomiary wysokościowe

Do pomiarów wysokościowych należą czynności związane z
ustalaniem wysokości albo różnic wysokości punktów
znajdujących się na powierzchni Ziemi. Do pomiarów
sytuacyjno-wysokościowych zaliczamy takie, które umożliwiają
jednoczesne wyznaczenie położenia i wysokości punktów
terenowych, Jeżeli wyobrazimy sobie teoretyczną powierzchnię
mórz i oceanów przedłużoną pod lądem, to poszczególne punkty
globu ziemskiego będą położone w różnych odległościach od tej
powierzchni.
Teoretyczną powierzchnia mórz i oceanów nazywamy
poziomem względnym lub poziomem bezwzględnego zera.
a odległość punktów od tej powierzchni- ich wysokościami
bezwzględnymi.
Wysokość danego punktu jest to odległość tego punktu od
poziomu

bezwzględnego,

mierzona

w

linii

pionu

przechodzącego przez ten punkt. Liczbę wyrażającą
wysokość nazywamy rzędną H danego punktu.

Pomiary wysokościowe

Na niewielkich obszarach, szczególnie tam, gdzie nawiązanie do
punktów o znanej wysokości względnej wymaga dużego nakładu
pracy, można wyznaczać wysokości względne Wysokości te
odnosi się do dowolnej powierzchni odniesienia, obranej tak, aby
nie otrzymywać wysokości ujemnych. Wysokości względne
nazywane są też lokalnymi. Dla obszaru państwa polskiego
przyjęło za poziom bezwzględny - średni poziom Morza
Bałtyckiego w Kronsztadzie w Zatoce Fińskiej. O wysokościach
wyznaczanych od tego poziomu mówimy, że są w układzie
państwowym. Wysokości poszczególnych punktów określamy
przez pomiar różnic wysokości. Pomiar tych różnic nazywamy
niwelacja. Różnice wysokości można mierzyć kilkoma metodami.
Wyróżniamy następujące rodzaje niwelacji: barometryczną,
trygonometryczną,
geometryczną i niwelację metodą GPS.

Pomiary

wysokościowe

Pomiary wysokościowe

Niwelacja barometryczna polega na określaniu różnic
wysokości między punktami, na podstawie pomiaru ciśnienia
atmosferycznego w tych punktach. Dokładność niwelacji
barometrycznej

wynosi

około

2-3

m.

Niwelację

barometryczną stosuje się do określania przybliżonych
wysokości punktów w terenach górskich, przy dużych
różnicach wysokości. Dokładność jej w tych wypadkach jest
wystarczająca.

W

pracach

związanych

z

inżynierią

środowiska niwelacja barometryczną nie ma zastosowania.

Niwelacja trygonometryczna polega na określeniu różnicy
wysokości dH jako przyprostokątnej trójkąta prostokątnego,
w którym zmierzono kąt ostry  naprzeciwko tej

przyprostokątnej oraz jeden z boków przyległych do kąta -
przeciwprostokątną d' lub przyprostokątną d (rys.).
Obliczenie dH odbywa się przez realizację zależności
trygonometrycznych zachodzących w trójkącie
prostokątnym.

Pomiary wysokościowe

Niwelacja geometryczna polega na wyznaczaniu różnicy
wysokości między dwoma sąsiednimi punktami terenowymi
za pomocą celowania wzdłuż poziomej linii - osi celowej do
pionowo ustawionych na tych punktach łat niwelacyjnych
(rys.).

Na

łatach

odczytuje

się odcinki od terenu do linii celowania – w i p. Różnica
wysokości punktów 1 i 2 wynosi:

2

1

1

2

2

1

dH

H

H

p

w

dH













Dodając

do

wysokości

punktu l obliczoną różnicę,
otrzymujemy

wysokość

punktu 2,

Pomiary wysokościowe

Poziome

poło

ż

enie

osi

celowej

w

trakcie

pomiaru

jest dla niwelacji geometrycznej warunkiem zasadniczym.
Zachowanie tego warunku sprawia,

ż

e niwelacja geometryczna

jest niezwykle prosta, a jednocześnie bardzo dokładna w
porównaniu z innymi metodami pomiarów niwelacyjnych.

Niwelacja metoda GPS. Przy pomiarach GPS uzyskujemy 3

współrzędne punktu w układzie globalnym WGS'84. Pozwala to
wyliczyć wysokość danego punktu, pod warunkiem że znamy
położenie względem siebie geoidy i elipsoidy WGS'84.
Powierzchnie tych figur nie są do siebie równoległe, Zadanie
można rozwiązać wykonując pomiary GPS na kilku punktach o
znanych wysokościach nad geoidą. Punkty te powinny
znajdować się na obwodzie obszaru przewidzianego do
wykonywania pomiarów wysokościowych GPS. Na tej
podstawie można obliczyć odstęp między geoidą i elipsoidą w
innych punktach położonych na tym obszarze. Przy
wykonywaniu pomiarów GPS sposobem RTK, w terenie
otwartym można uzyskać dokładność wyznaczanych wysokości
punktów w granicach ±(2-3 cm). Jest to całkowicie
wystarczające do niwelacji powierzchniowej terenu.