PRAWA DZIAŁAŃ

NA

ZBIORACH

-4 10
4
11 8

Już wiemy, że na zbiorach – a konkretnie na ich

elementach można wykonywać różne działania.

Działania te zapiszemy w postaci praw

matematycznych,

a niektóre z nich udowodnimy.

PODSTAWOWE WŁASNOŚCI DOTYCZĄCE ZBIORÓW:

A ∩ ∅ = ∅

A ∪ ∅ = A

A ∪ A = A
A ∩ A = A

(1)I prawo de Morgana dla zbiorów:

„Dopełnienie sumy dwóch zbiorów A i B jest

iloczynem dopełnień tych zbiorów”

(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’

(2) II prawo de Morgana dla zbiorów:

„Dopełnienie iloczynu dwóch zbiorów A i B jest

sumą dopełnień tych zbiorów”

(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’

PRAWA DZIAŁAŃ:

(3) przemienność sumy zbiorów A i B:

A ∪ B = B ∪ A

(4) łączność sumy zbiorów:

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

(5) przemienność iloczynu zbiorów A i B:

A ∩ B = B ∩ A

(6) łączność iloczynu zbiorów :

(A

∩

B)

∩

C = A

∩

(B

∩

C)

(7) rozdzielność iloczynu zbiorów względem ich
sumy:

A

∩

(B ∪ C) = (A

∩

B) ∪ (A

∩

C)

(8) rozdzielność sumy zbiorów względem ich
iloczynu:

A ∪ (B

∩

C) = (A ∪ B) ∩ (A

∪

C)

Przeprowadźmy dowód wybranych praw:

(1)
Weźmy dowolny element x ∈ R; wtedy:
x ∈

(A ∪ B)’

⇔ ∽[x ∈ (A ∪ B)] ⇔ ∽[x ∈ A

∨

x ∈ B] ⇔

[∽(x ∈ A)] ∧ [∽(x ∈ B)] ⇔ x ∈ A’ ∧ x ∈ B’ ⇔ x ∈

A’ ∩ B’

(A ∪ B)’ = A’

∩

B’

(3)
Weźmy dowolny element x ∈ R; wtedy:
x ∈

(A ∪ B)

⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B ⇔ x ∈ B ∨ x ∈ A ⇔ x ∈

(B ∪

A)

A ∪ B = B ∪ A

(6)
Weźmy dowolny element x ∈ R; wtedy:
x ∈

[(A

∩

B)

∩

C]

⇔ x ∈ (A ∩ B) ∧ x ∈ C ⇔

[x ∈ A ∧ x ∈ B] ∧ x ∈ C ⇔ x ∈ A ∧ [x ∈ B ∧ x
∈ C] ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ (B ∩ C) ⇔ x ∈

[A

∩

(B

∩

C)]

Pozostałe prawa spróbuj sam udowodnić.

[(A

∩

B)

∩

C] = [A

∩

(B

∩

C)]

Zadanie 1.

Zapisz matematycznie zbiory i wypisz elementy
należące do niego.
A – zbiór liczb całkowitych, których wartość
bezwzględna jest mniejsza od 4.
B – zbiór liczb naturalnych, których kwadrat jest
niewiększy od 30.
C – zbiór liczb naturalnych, których liczba 4 jest
dzielnikiem.

ROZWIĄZANIE:

A = { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 }

B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }

C = { 4, 8, 12, 16, ……}

Zadanie 2.

W klasie I jest 40 osób, wśród których:
14 osób lubi matematykę,
6 osób lubi matematykę i język polski,
7 osób lubi język polski i język obcy,
2 osoby – wszystkie trzy przedmioty,
21 osób język polski, reszta tylko język obcy.

Narysuj i uzupełnij graf i odpowiedz:
a) ile osób lubi tylko język obcy,
b) ile osób lubi dokładnie jeden przedmiot,
c) ile osób nie lubi języka obcego,
d) ile osób lubi dokładnie dwa przedmioty.

ROZWIĄZANIE:

Zbiory podpiszmy nazwami przedmiotów.

Z grafu odczytamy rozwiązania i zapiszemy ilość uczniów:

a) 11
b) 29

c) 22

d) 9

język obcy

matematyka

język polski

5

2

4

8

10

11

Zadanie 3.

Narysuj i uzupełnij graf jeżeli:
X = { 1, 2, 3, 4, 9, 10 };
Y = { 1, 2, 3, 6, 7, 8 };
Z = { 1, 2, 5, 6 }
X

∩

Y

∩

Z = { 1, 2 }

X

∩

Y = { 1, 2, 3 }

X

∩

Z = { 1, 2 }

Y

∩

Z = { 1, 2, 6 }

ROZWIĄZANIE

przedstawione będzie na grafie.

(zaczynamy od uzupełnienia części

wspólnej trzech zbiorów, potem części

wspólnej dwóch zbiorów, a na końcu

uzupełniamy zbiory: X, Y i Z)

X

Z

Y

5

9

4

10

7

8

6

3

1


2

Zadanie 4.

Wiedząc, że:
A = { 1, 2, 3, 4, 9, 10 } B = { 1, 2, 3, 6, 7 }
C = { 1, 2, 5, 6 }
wyznacz:
(A

∩

B) \ C (A

∪

B) \ C

A \ (B

∩

C) A \ B

(A \ B)

∩

C B \ (C

∪

A)

ROZWIĄZANIE:

(A

∩

B) \ C = { 1, 2, 3 } \ C = { 3 }

(A ∪ B) \ C = { 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 10 } \ C = { 3, 4, 7, 9,
10 }
A \ (B

∩

C) = A \ { 1, 2, 6 } = { 3, 4, 9, 10 }

A \ B = { 4, 9, 10 }
(A \ B)

∩

C = { 4, 9, 10 }

∩

C = ∅

B \ (C ∪ A) = B \ { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10 } = { 7 }

Zadanie 5.

Ze słów: „Zbiory liczbowe” wybierz samogłoski i
spółgłoski. Wypisz elementy należące do zbiorów:
A – zbiór samogłosek
B – zbiór spółgłosek
Wyznacz zbiory:
A \ B ; B \ A; A ∩ B; A ∪ B

ROZWIĄZANIE:

wypiszmy najpierw elementy zbioru A i B.
A = { e, i, o, y }
B = { b, c, l, r, w, z }
A \ B = { e, i, o, y } = A
B \ A = { b, c, l, r, w, z } = B
A

∩

B = ∅

A ∪ B = { b, c, e, i, l, o, r, w, y, z }

Zadanie 6.

Co będzie częścią wspólną zbiorów A i B jeżeli:
A – zbiór czerwonych bluzeczek
B – zbiór czerwonych spódniczek

ROZWIĄZANIE:

Częścią wspólną tych zbiorów będzie zbiór pusty.
A ∩ B = ∅.

Zadanie 7.

Dane są zbiory:
A – zbiór czworokątów
B – zbiór kwadratów
C – zbiór trójkątów równobocznych
D – zbiór prostokątów
E – zbiór trójkątów
X – zbiór figur płaskich

Narysuj zbiory, podzbiory
do treści zadania.
Wyznacz zbiory:
A’, E’,
A ∩

E, A\ E, D

∩

A,

A ∩ B, E ∩ C

X

E

D

C

B

A

ROZWIĄZANIE
A’ = E
E’ = A
A ∩ E = ∅
A \ E = A
D ∩ A = D
A ∩ B = B
E ∩ C = C