Testy istotności w analizie

korelacji

Współczynnik korelacji Pearsona
 <-1,1>.



 













































































n

i

i

n

i

i

n

i

i

i

n

i

n

i

i

i

n

i

i

i

y

y

n

x

x

n

y

x

y

x

n

y

y

x

x

y

y

x

x

r

1

2

2

1

2

2

1

1

1

2

2

1

1

1

1

r = 0 – współzależność nie występuje, brak korelacji

0  r  0,3 – słaby stopień współzależności
0,3  r  0,5 – średni stopień współzależności, 0,2 – 0,4 wyraźna , ale niska

korelacja

0,5  r  0,7 – znaczny stopień współzależności . 0,4 – 0,7 umiarkowana

korelacja

0,7  r  0,9 – wysoki stopień współzależności, 0,7 – 0,9 znacząca korelacja
r  0,9 – bardzo wysoki stopień współzależności, >0,9 bardzo silna korelacja

r = 1 – współzależność całkowita (ścisłość) tzn. zależność funkcyjna między
rozważanymi cechami.

Korelacyjne wykresy

rozrzutu

korelacja liniowa dodatnia r
> 0

x

y

x

y

korelacja liniowa ujemna r
< 0

x

y

x

y

brak korelacji r =
0

korelacja krzywoliniowa r
= 0

excell

KOWARIANCJA













































dxdy

y

x

f

m

y

m

x

p

m

y

m

x

Y

X

i

j

ij

)

,

(

)

)(

(

)

)(

(

)

,

cov(

01

10

01

10

Współczynnik korelacji

Y

X

Y

X

Y

D

X

D

Y

X













)

,

cov(

)

(

)

(

)

,

cov(

2

2

02

20

11







1

1









Rozkład współczynnika

korelacji



 













































































n

i

i

n

i

i

n

i

i

i

n

i

n

i

i

i

n

i

i

i

y

y

n

x

x

n

y

x

y

x

n

y

y

x

x

y

y

x

x

r

1

2

2

1

2

2

1

1

1

2

2

1

1

1

1

2

1

1

ln

2

1







r

Z























3

1

,

)

1

(

2

1

1

ln

2

1

n

n

N







Statysty
ka

ma rozkład

3

)

1

(

2

1

1

ln

2

1

1

1

ln

2

1

0

0

0































n

n

r

r

U







ma rozkład
N(0,1)

0

1

0

0

:

:













H

H

Testowanie hipotezy:

 

[y

01

, y

11

)

 

[y

0 2

, y

1 2

)

 

 

[y

0 l

, y

1l

)

 

[x

01

, x

11

)

[x

02

, x

12

)

[x

03

, x

13

)

.
.
.

[x

0k

, x

1k

)

 

n

11

n

21

n

31

 

 

 

n

k1

 

n

1 2

n

2 2

n

3 2

 

 

 

n

k 2

 

 

n

1 l

n

2 l

n

3 l

 

 

 

n

k l

 

Tablica korelacyjna

Bardzo często testuje się hipotezę o

niezależności stochastycznej zmiennych

losowych, tzn.

0

:

0

:

1

0









H

H















t

t

t

Q

t

t

P

n

r

r

t















:

2

1

2

ma rozkład t-Studenta o
n-2 stopniach swobody

Przykład
1.
Pewnej populacji mającej dwuwymiarowy rozkład normalny
wylosowano 12 elementową próbę prostą. Oblicz
prawdopodobieństwo zdarzenia:

a)    gdy



= 0;

b)   gdy



= 0.4.

********************************************************
a)

2

1

2







n

r

r

t









205915

.

0

99

.

0

32

.

0

01

.

0

1

10

3

.

0

1

2

01

.

0

1

10

1

.

0

3

.

0

1

.

0

10

2







































t

P

r

n

r

P

r

P

 „=1-ROZKŁAD.T(0.32,10,1)” = 0.622223

„=1-ROZKŁAD.T(0.99,10,1)” = 0.823278

********************************************************
b)

r

r

Z







1

1

ln

2

1























3

1

,

)

1

(

2

1

1

ln

2

1

n

n

N







3

)

1

(

2

1

1

ln

2

1

1

1

ln

2

1

0

0

0































n

n

r

r

U















194404

.

0

39

.

0

02

.

1

11

2

4

.

0

6

.

0

4

.

1

ln

2

1

7

.

0

3

.

1

ln

2

1

3

)

1

(

2

1

1

ln

2

1

1

1

ln

2

1

9

11

2

4

.

0

6

.

0

4

.

1

ln

2

1

9

.

0

1

.

1

ln

2

1

3

.

0

1

3

.

0

1

ln

2

1

1

1

ln

2

1

1

.

0

1

1

.

0

1

ln

2

1

3

.

0

1

.

0



































































































































U

P

n

n

r

r

P

r

r

P

r

P







„=ROZKŁAD.NORMALNY.S(-
0.39)”=0.348268
„=ROZKŁAD.NORMALNY.S(-
1.02)”=0.153864