Statystyka

- Opisowa analiza zjawisk
masowych

Opracowanie na podstawie :
„Statystyka” Mieczysław Sobczyk”

Magdalena Kaźmierczak
Anna Dobraś
Aneta Kaptur
Magda Przybył
Ewa Janowska
Andrzej Wowk

Opisowa analiza struktury zjawisk
masowych

1.Typy rozkładów empirycznych jednej zmiennej.



Rozkładem empirycznym zmiennej nazywamy
przyporządkowanie kolejnym wartościom zmiennej (x

1

),

odpowiadających im liczebności (n

1

). Rozkład odzwierciedla więc

strukturę badanej zbiorowości z punktu widzenia określonej
cechy.



Rozkłady empiryczne są ustalane na podstawie konkretnych
obserwacji, a umiejętność odróżniania różnych ich typów jest
nieodzownym warunkiem prawidłowej analizy statystycznej. Od
ich rodzaju zależy bowiem dobór odpowiednich charakterystyk
służących do opisu zbiorowości.

Opisowa analiza struktury zjawisk
masowych



Najczęściej spotykane rodzaje rozkładów empirycznych
przedstawia następujący rysunek:



Rozkład, którego krzywa liczebności (dla cechy ciągłej) lub
diagram (dla cechy skokowej) ma jedno maksimum, nazywa się
rozkładem jednomodalnym. Wśród rozkładów jednomodalnych
można wyróżnić rozkłady symetryczne, umiarkowanie asymetryczne
i skrajnej asymetryczne. W rozkładzie symetrycznym
jednomodalnym liczebności odpowiadające wartościom zmiennej
rozkładają się symetrycznie w wokół liczebności największej.



Rozkładem symetrycznym o jednym maksimum jest rozkład
normalny. Rozkład ten ma szczególnie duże znaczenie w statystyce
matematycznej, gdyż wiele cech różnych zbiorowości charakteryzuje
się takim właśnie rozkładem (np. wzrost lub długość stopy). Należy
podkreślić, że rozkład normalny jest rozkładem symetrycznym o
ściśle określonej kurtozie, tzn. koncentracji wartości zmiennej
wokół średniej arytmetycznej. Każdy rozkład normalny jest więc
rozkładem symetrycznym, ale nie każdy rozkład symetryczny jest
rozkładem normalnym. Na przykład rozkłady: platokurtyczny
(spłaszczony) i leptokurtyczny (wysmukły) są rozkładami
symetrycznymi, ale nie normalnymi.



Rozkłady empiryczne o charakterze symetrycznym występują
rzadko. Często spotykamy się z rozkładami zbliżonymi do
rozkładu symetrycznego (asymetrycznymi). Rozkłady
asymetryczne mogą być umiarkowanie asymetryczne i skrajnie
asymetryczne, a te z kolei prawoskośne i lewoskośne.



W rozkładach asymetrycznych liczebności mogą skupiać się
wokół niskich bądź wysokich wartości cechy. W pierwszym
przypadku mamy do czynienia z rozkładem asymetrii
prawostronnej (prawoskośnym), a w drugim zaś o
asymetrii lewostronnej (lewoskośnym). Tak więc w
rozkładach prawoskośnych dużo jednostek posiada stosunkowo
niskie wartości cechy, a niewiele jednostek ma wysokie
wartości. W rozkładach lewoskośnych stosunkowo niewiele jest
jednostek posiadających niskie wartości cechy, natomiast
licznie reprezentowane są jednostki o wysokich wartościach
cechy.



Rozkłady, w których prawie wszystkie jednostki mają niskie
bądź wysokie wartości cechy, nazywamy rozkładami skrajnie
asymetrycznymi. Są one rozkładami jednostronnymi
względem wartości cechy o maksymalnej liczebności. Niektóre
cechy statystyczne mogą mieć rozkład będący niejako
kompozycją dwóch rozkładów asymetrycznych. Określa się je
mianem rozkładów U lub rozkładów siodłowych.
Występują również rozkłady o wyraźnie zarysowanych dwóch
punktach skupienia obserwacji. Noszą one nazwę rozkładów
bimodalnych. Rozkłady mające więcej niż dwa maksima
lokalne nazywamy wielomodalnymi.



Rozkłady symetryczne i umiarkowanie asymetryczne
charakteryzują zbiorowości jednorodne ze względu na
badaną cechę. Natomiast rozkłady skrajnie asymetryczne,
wielomodalne i siodłowe dotyczą zbiorowości, w których
wartości cechy są znacznie zróżnicowane.



Przykłady podstawowych typów rozkładów empirycznych
dla cech ciągłych i skokowych przedstawia rysunek. Na osi
odciętych dokładne są wartości badanej zmiennej, a na osi
rzędnych – odpowiadające im liczebności lub części
względne.



Częstość względna jest stosunkiem liczebności jednostek
posiadających określony wariant cechy do ogólnej
liczebności.

Opisowe charakterystyki
rozkładów

W teorii statystyki wypracowano wiele charakterystyk opisowych,

za pomocą których można przeprowadzić analizę struktury zjawisk
masowych, czyli analizę właściwości różnych rozkładów. Do
charakterystyk najczęściej wykorzystywanych przy opisie struktury
zbiorowości należą:



1) miary średnie (zwane też miarami poziomu wartości
zmiennej, miarami położenia lub przeciętnymi) służące do
określenia tej wartości zmiennej opisanej przez rozkład, wokół
której skupiają się wszystkie pozostałe wartości zmiennej,



2) miary rozproszenia (zmienności, zróżnicowania, dyspersji)
służące do badania stopnia zróżnicowania wartości zmiennej,



3) miary asymetrii (skośności) służące do badania kierunku
zróżnicowania wartości zmiennej,

Opisowa charakterystyki
rozkładów



4) miary koncentracji służące do badania stopnia
nierównomierności rozkładu ogólnej sumy wartości zmiennej
pomiędzy poszczególne jednostki zbiorowości lub do analizy
stopnia skupienia poszczególnych jednostek wokół średniej.



Charakterystyki opisowe są bardziej syntetycznymi formami
opisu rozkładów niż forma graficzna czy tabelaryczna.
Pozwalają one w sposób syntetyczny określić właściwości
badanych rozkładów i dokonać porównania różnych
zbiorowości. Można wyróżnić dwa typy porównań:



1) porównanie dwóch różnych zbiorowości, ale pod
względem tej samej cechy badania (np. ocena z egzaminu
studentów i studentek);



2) porównanie dotyczące jednej zbiorowości, ale pod
względem dwóch różnych cech (np. struktura zarobków osób
względem wieku).

Miary średnie



Miary średnie dzieli się na dwie grupy: średnie klasyczne i
pozycyjne. Do średnich klasycznych należą: średnia
arytmetyczna, średnia harmoniczna oraz średnia geometryczna.
Najczęściej wykorzystywanymi średnimi pozycyjnymi są:
dominanta (modalna, wartość najczęstsza) o raz
kwantyle. Wśród kwantyli wyróżniamy z kolei kwartyle
(dzielące zbiorowość na cztery części), kwintyle (na pięć
części), decyle (na dziesięć części) oraz centyle, zwane też
percentylami (na sto części).



Średnie klasyczne są obliczane na podstawie wszystkich
wartości szeregu. Średnie pozycyjne są wartościami
konkretnych wyrazów szeregu (pozycji) wyróżniających się pod
pewnym względem. Obie grupy średnich nawzajem się
uzupełniają. Każda z nich opisuje bowiem poziom wartości
zmiennej z innego punktu widzenia. Są jednak sytuacje, w
których układ informacji liczbowych nie pozwala na obliczanie
danej średniej.

Miary średnie



Średnia arytmetyczna, jest sumą wartości zmiennej
wszystkich jednostek badanej zbiorowości podzieloną przez
liczbę tych jednostek.
Wzór:



gdzie:



Średnia ta nazywa się średnią arytmetyczną nieważoną
(prostą, zwykłą).

N

x

N

x

x

x

x

n

i

i

n















1

2

1

...

Miary średnie



Jeżeli warianty zmiennej występują z różną częstotliwością, to
oblicza się średnią arytmetyczną ważoną. Wagami są liczebności
odpowiadające poszczególnym wariantom. Z tego rodzaju sytuacją
mamy do czynienia w szeregach rozdzielczych punktowych i
przedziałowych. Wzór na obliczenie średniej arytmetycznej z
szeregów rozdzielczych punktowych ma następującą postać:



gdzie n

i

(i=1,2,...k) oznacza liczebność jednostek odpowiadającą

poszczególnym wariantom zmiennej, a jest sumą tych liczebności.

N

n

x

N

n

x

n

x

n

x

x

k

i

i

i

k

k















1

2

2

1

1

...

Miary średnie



W szeregach rozdzielczych przedziałowych wartości
zmiennej w każdej klasie nie są jednoznacznie określone,
ale mieszczą się w pewnym przedziale. W celu obliczenia
średniej arytmetycznej w przypadku tego rodzaju szeregów
należy uprzednio wyznaczyć środki przedziałów. Środki
przedziałów otrzymuje się jako średnią arytmetyczną
dolnej i górnej granicy każdej klasy. Wzór na średnią
arytmetyczną z szeregu rozdzielczego przedziałowego
jest następujący:

N

n

x

N

n

x

n

x

n

x

x

k

i

i

i

o

k

k

o

o

o















1

2

2

1

1

...

Miary średnie



Jeżeli zamiast liczebności absolutnych wykorzystywane są w
obliczeniach procentowe wskaźniki struktury, to wzór na
średnią arytmetyczną przyjmuje postać:

100

1







k

i

i

i

o

w

x

x

Miary średnie



Zdarzają się sytuacje, że znamy średnie arytmetyczne dla
pewnych grup na tej podstawie chcemy obliczyć średnią
arytmetyczną dla wszystkich grup łącznie.
Wykorzystujemy wówczas następujący wzór:



Gdzie x jest średnią ze średnich; x

i

- średnia arytmetyczną

i-tej grupy; n

i

- liczebnością i-tej grupy; N - sumą

liczebności grup.

N

n

x

x

k

i

i

i

o







1

1

x