Analiza portfelowa

Pojęcie portfela aktywów

Inwestorzy uwzględniają w swoich decyzjach, dotyczących

określonego horyzontu czasowego, trzy czynniki: zysk,
ryzyko i płynność. Metodą pozwalającą optymalizować
decyzje w tym zakresie, jest analiza portfelowa.

Portfel to zestaw papierów wartościowych, posiadany

przez inwestora.

Posiadanie aktywów w formie różnych walorów sprawia, że

można obniżyć łączne ryzyko inwestycji, czyli można dobrać
składniki portfela w ten sposób, aby całkowite ryzyko
związane z zestawem walorów było niższe niż ryzyko
związane z papierami wartościowymi z osobna.

Jednocześnie inwestor oczekuje określonej stopy zwrotu z

całego posiadanego zestawu walorów.

Stopa zwrotu i ryzyko

Podstawą analizy portfelowej jest stopa zwrotu i

ryzyko. Dochód z posiadania akcji pochodzi z dywidendy
oraz z zysku kapitałowego, który jest różnicą między ceną
sprzedaży a ceną zakupu akcji.

Nie ma pewności, czy takie same stopy zwrotu, dla podobnych

odcinków czasu, będą możliwe do zrealizowania w
przyszłości.

Inwestor wybiera akcje, biorąc pod uwagę średnią stopę

zwrotu z przeszłych okresów; a więc opiera się na
przekonaniu, że stopa zwrotu będzie oscylować wokół
oczekiwanej stopy zwrotu.

Ta ostatnia kategoria jest zmienną losową realizującą się z

określonym prawdopodobieństwem.

Wielu autorów piszących o analizie portfelowej przyjmuje, że

oczekiwana stopa zwrotu ma rozkład normalny, ale jest to
mocne założenie.

Współczynnik beta

Stopy zwrotu obliczone dla wybranego okresu mogą

być podstawą podziału akcji spółek na stabilne i
spekulacyjne oraz przeciętne, czyli te, których
procentowe zmiany stóp zwrotu wahają się podobnie
jak indeks giełdowy (WIG).

Stabilne akcje mają wahania cen (stóp zwrotu) mniejsze niż

wahania WIG, a spekulacyjne – większe niż WIG.

Podstawowym wskaźnikiem, który pozwala na syntetyczną

ocenę stopnia „spekulacyjności” związanego z daną akcją
(lub portfelem akcji) jest współczynnik beta, który wyraża
stosunek ryzyka związanego z daną akcją do ryzyka
związanego z inwestycją w cały indeks giełdowy.

Ryzyko portfela

Ryzyko jest drugą kategorią charakteryzującą zarówno

pojedyncze akcje, jak i złożony z nich portfel.

Ryzyko dotyczy niepewności stopy zwrotu w przyszłości i

związane jest z wieloma czynnikami rynkowymi i
pozarynkowymi.

Ryzyko związane z rynkiem, czyli głównie z tym, że występuje

hossa i bessa, nie da się wyeliminować drogą dywersyfikacji
portfela z rynkowymi akcjami.

Granicą korzyści z dywersyfikacji portfela akcji jest 30

rodzajów akcji (30 spółek), co oznacza, że do tej
granicy, dobieranie akcji do portfela może przynieść
efekty w postaci obniżenia ryzyka, przy zachowanej
stopie zwrotu.

Można natomiast obniżyć łączne ryzyko związane z portfelem

walorów, jeżeli zostaną w nim umieszczone także papiery
wartościowe wierzycielskie – a więc obligacje czy bony
skarbowe.

Do pomiaru ryzyka używa się klasycznych miar

zmienności, jak wariancja, odchylenie standardowe i
współczynnik zmienności.

Miary te są obliczane na podstawie danych z przeszłości i

realizują się z określonym prawdopodobieństwem. Są więc
zmiennymi losowymi.

Inwestor oczekuje ryzyka z inwestycji takiego, jakie

charakteryzowało daną akcję w przeszłości, czyli zakłada,
że ceny akcji będą się wahały w podobnym przedziale
procentowym. Jest to mocne założenie.

Inwestora tworzącego portfel interesuje zależność między

ryzykiem a dochodem. Podstawą do badania takiej
zależności jest wykres korelacyjny - mapa ryzyko-dochód.
Umożliwia on odnalezienie spółek o największej
dochodowości i relatywnie niskim ryzyku.

Przedmiotem zainteresowania inwestorów są akcje

niezdominowane, czyli takie, które mają stopę zwrotu
wyższą niż indeks giełdowy, a ryzyko niższe niż ryzyko dla
całego indeksu giełdowego.

Do analizy powinna zostać włączona korelacja między

stopami zwrotu z aktywów tworzących portfel. Jest to
współczynnik przyjmujący wartości z przedziału < -1, 1>.

Im wyższa wartość bezwzględna tego współczynnika, tym

wyższa zależność między stopami zwrotu badanych akcji.

Inwestor stara się tak dobrać akcje, by łączne ryzyko związane

z całym portfelem minimalizować.

Przeważnie stopy zwrotu z akcji są dodatnio i istotnie

skorelowane z indeksem giełdowym (WIG). Jest to
spowodowane stadnymi reakcjami inwestorów, czyli
psychologicznymi prawami gry na giełdzie.

Inwestor poszukuje takich akcji, których stopy zwrotu nie są

skorelowane dodatnio (co jest raczej trudne) albo
przynajmniej ich korelacja jest możliwie słaba. Robi to przez
wybieranie spółek z różnych branż, w tym bardziej i mniej
wrażliwych na czynniki psychologiczne i koniunkturalne.

Oczekiwana stopa zwrotu portfela

i ryzyko portfela

Chcąc dobrać papiery wartościowe tak, aby

utworzyły odpowiedni dla inwestora zestaw,
należy najpierw określić:

- cel tworzenia portfela, w tym okres, na jaki jest

tworzony (krótki czy długi),

- jak dużo ma być składników (kilka, kilkanaście,

kilkadziesiąt),

- kryteria doboru (duży zysk czy niskie ryzyko),
- kryterium oceny portfela – czyli jaki poziom zysku i

ryzyka łącznie inwestor uzna za
satysfakcjonujący.

Stopa zwrotu z portfela

dwuskładnikowego

R

p

= w

1

* R

1

+ w

2

* R

2

Gdzie:
R

p

– stopa zwrotu portfela

w

1

- udział spółki „1” w portfelu

w

2

– udział spółki „2” w portfelu

R

1

– oczekiwana stopa zwrotu akcji „1”

R

2

– oczekiwana stopa zwrotu akcji „2”

Oczekiwana stopa zwrotu portfela jest średnią ważoną

oczekiwanych stóp zwrotu akcji spółek wchodzących
w skład portfela, przy czym wagami są udziały
spółek w portfelu.

Stopa zwrotu portfela akcji przybiera wartości pomiędzy

najniższą a najwyższą stopą zwrotu z poszczególnych
składników portfela.

Ryzyko portfela dwuskładnikowego

Ryzyko portfela można wyrazić za pomocą wariancji i

odchylenia standardowego .

Dla portfela dwuskładnikowego, wariancja stóp zwrotu wyraża

się wzorem:

S

p

2

= w

1

2

* S

1

2

+ w

2

2

* S

2

2

+ 2

w

1

w

2

S

1

S

2

ρ

12

Gdzie:
S

2

p

– wariancja portfela

s

1

- odchylenie standardowe stopy zwrotu dla składnika „1”

s

2

- odchylenie standardowe stopy zwrotu składnika „2”

ρ

12

– współczynnik korelacji stóp zwrotu dla akcji spółek „1”

oraz „2”

Bardzo istotny jest ostatni składnik równania, czyli

współczynnik korelacji, gdyż może on przybierać wartości
dodatnie lub ujemne i decydować o tym, czy łączne ryzyko
związane z portfelem jest niższe, niż związane z
poszczególnymi składnikami z osobna.

Pożądane są ujemne współczynniki korelacji, a jeśli to

niemożliwe, możliwie niskie, gdyż wtedy cały ostatni
składnik równania jest niski.

Odchylenie standardowe portfela wyraża się wzorem:

Mówi nam, o ile przeciętnie na plus lub na minus odchylają się

przeciętne możliwe stopy zwrotu od oczekiwanej stopy
zwrotu (czyli od średniej z przeszłości). Im wyższe
odchylenie standardowe, tym wyższe ryzyko związane z
inwestycją

2

p

S

Sp

Model portfela dwuskładnikowego

• Harry Markowitz w latach 1950-tych stworzył

teorię portfela, która znalazła szerokie
zastosowanie wśród inwestorów
instytucjonalnych. Opiera się ona na dwóch
podstawowych założeniach:

• rozproszenie stóp zwrotu ma rozkład normalny,
• im wyższy stopień podejmowanego ryzyka, tym

wyższa wartość spodziewanych zysków.

• W praktyce prawie zawsze wzrost oczekiwanej

stopy zwrotu jest mniejszy niż wzrost ryzyka.

Wariancja

Aby wyjaśnić istotę korzyści z tworzenia portfela, można się

posłużyć przykładem portfela dwuskładnikowego.
Rozważymy dwa skrajne przypadki – gdy korelacja stop
zwrotu dla dwóch akcji wynosi 1 oraz -1.

Współczynnik korelacji dla akcji A (pierwszy składnik) i B (drugi

składnik) wynosi 1. Wówczas:





2

2

2

1

1

2

S

w

S

w

S

p





2

2

1

1

S

w

S

w

S

p





Ponieważ wartości w nawiasie są nieujemne, otrzymujemy:

A więc, odchylenie standardowe stopy zwrotu z portfela jest
średnią ważoną ryzyk części składowych portfela.

Portfel dwuskładnikowy złożony

z akcji A i B, o korelacji stóp zwrotu =1

Objaśnienie: A, B – punkty odpowiadające spółkom; odcinek AB – zbiór możliwych portfeli

jakie można utworzyć z akcji tych dwóch spółek. Jeśli zmniejszamy udział akcji A i
zwiększamy udział akcji B, to uzyskujemy wzrost stopy zwrotu i wzrost ryzyka z tego
portfela. Inwestor może się więc „poruszać” po odcinku AB. Nie można w tym
przypadku osiągnąć korzyści w postaci jednoczesnego wzrostu dochodu i spadku
ryzyka.

A

B

R

S

Portfel dwuskładnikowy złożony

z akcji A i B, o korelacji stóp zwrotu = -1

• Współczynnik korelacji stóp zwrotu dla akcji A i B wynosi -1.

Jest to doskonała korelacja ujemna. Wariancja stóp zwrotu
wyraża się wówczas wzorem:

S

2

p

= (w

1

* s

1

– w

2

* s

2

)

2

Czyli:

S

p

= |w

1

* s

1

– w

2

* s

2

|

W tym przypadku, odchylenie standardowe nie jest średnią

ważona odchyleń standardowych stóp zwrotu składników
portfela. Możliwy jest taki portfel, dla którego ryzyko równe
jest zero, a mianowicie dla następujących udziałów
składników:

W

1

= s

2

/ (s

1

+ s

2

) oraz w

2

= s

1

/ (s

1

+ s

2

)

R

S

C

A

B

D

Portfel złożony z akcji A
i B, o korelacji stóp
zwrotu = -1. Łamana
ACDB przedstawia zbiór
portfeli możliwych do
ułożenia z akcji A i B.
Portfel C charakteryzuje
się zerowym ryzykiem i
ma skład według wyżej
podanych wzorów.
Portfele leżące na
odcinku AC są gorsze
niż portfele na odcinku
CD, gdyż stopa zwrotu
jest niższa przy tym
samym ryzyku.
 

Portfele wieloskładnikowe

• W praktyce tworzy się portfele

wieloskładnikowe. Analiza portfelowa
podchodzi do nich jak do „syntetycznej spółki”,
czyli za jej pomocą wyznacza się stopę zwrotu i
ryzyko związane z całością inwestycji.

• Stopa zwrotu portfela jest średnią ważoną

stóp zwrotu jego składników, zaś ryzyko
zależy od odchyleń standardowych
poszczególnych składników portfela oraz od
korelacji ich stóp zwrotu.

• Im niższa korelacja, tym lepszy efekt w

postaci obniżonego ryzyka w porównaniu do
poszczególnych akcji.

Korzyści i ograniczenia z

dywersyfikacji portfela

• Dywersyfikacja portfela przynosi korzyści, ale

nie każdy rodzaj ryzyka można zmniejszyć tym
sposobem.

• Ryzyko rynkowe, związane z czynnikami typu

zmiany stóp procentowych, ogólna
koniunktura, podatki, ceny surowców itp., nie
da się wyeliminować.

• Inwestor może pozbyć się jedynie ryzyka

specyficznego, związanego z daną akcją.

• Według Markowitza, nabywając 30

rodzajów akcji, eliminujemy ryzyko
specyficzne - taki portfel jest bardzo
zbliżony do rynkowego.

A

B

C

D

X

T

U

R

S

A,B,C,D – portfele jedno-
składnikowe. Cała figura
oznacza zbiór zwszystkich
możliwych portfeli złożonych z
czterech akcji. Inwestor wybiera
jeden z portfeli, które są
położone na brzegu XD. Każdy
portfel położony we wnętrzu
figury, na jej dolnym brzegu lub
na brzegu AX jest gorszy, gdyż
przy tym samym ryzyku i z tych
samych akcji można otrzymać
portfel o wyższej stopie zwrotu.

A

B

C

D

X

M

R

S

Portfel czterech akcji
przedstawia figura XMD – jej
brzegi i wnętrze; F to punkt
odpowiadający instrumentom
wolnym od ryzyka. Dołączając
je do portfela, inwestor
otrzymuje możliwość wybrania
któregoś z portfeli na odcinku
FM, które składają się zarówno
z akcji, jak i instrumentów
wolnych od ryzyka, a nie jest
zdominowany.

F

Portfele wieloskładnikowe

• punkt A (portfel jednoskładnikowy zawierający tylko akcje

A) reprezentuje najniższe ryzyko;

• punkt D (zawiera tylko akcje D) – najwyższe ryzyko;
• punkt X – portfel o najniższym prawdopodobieństwie straty;
• punkt M – portfel rynkowy;
• odcinek FM – inwestor jest po części kredytodawcą;
• półprosta na prawo od M – inwestor jest po części

kredytobiorcą;

• krzywa XM – portfele zachowawcze (większy przyrost R niż

S w miarę przesuwania się od punktu X w stronę M);

• krzywa XD – portfele agresywne (większy przyrost S niż R w

miarę przesuwania się w prawo).

• punkt F – portfel wolny od ryzyka.

Model jednowskaźnikowy Sharpe’a

i współczynnik beta

Model Sharpe’a wyrażony jest wzorem:

R = α + βR

M

+ ε

Gdzie:

R – stopa zwrotu akcji spółki,
R

M

– stopa zwrotu wskaźnika rynku (indeksu

giełdowego),

α – wyraz wolny równania,
β – współczynnik beta,
ε – składnik losowy.

•  

• Równanie to może być wyznaczone dla

dowolnej akcji i dla dowolnego portfela na
rynku akcji. Nazywane jest linią
charakterystyczną akcji.

• Obie stopy zwrotu występujące w równaniu są

rzeczywiste, czyli obliczone na podstawie
danych z przyjętego do analizy okresu.
Wskaźnikiem rynku jest stopa zwrotu portfela
rynkowego. Składnik losowy równania uznaje
się za nieistotny w porównaniu z czynnikiem
rynkowym i pomija się go w obliczeniach.

•  Podstawową rolę w interpretacji

wskaźnika Sharpe’a odgrywa
współczynnik beta. Wskazuje on, o ile
jednostek (punktów procentowych) w
przybliżeniu wzrośnie stopa zwrotu akcji,
gdy stopa zwrotu wskaźnika rynku
wzrośnie o jednostkę (jeden punkt
procentowy).

Interpretacja współczynnika beta:

•β > 1 : stopa zwrotu danej akcji silnie reaguje na zmiany

zachodzące na rynku, wzrasta ona (lub spada) o więcej procent, niż
wzrasta (spada) stopa zwrotu z całego rynku; np. dla β = 2 , WIG
wzrasta o 1% to stopa zwrotu z danej akcji wzrasta o 2%; podobnie
jest ze spadkiem. Takie akcje warto posiadać w okresie hossy, a w
czasie bessy lepiej ich nie mieć. Są one agresywne.

•0 < β <1 : stopa zwrotu akcji wzrasta (spada) o mniej niż

wzrasta (spada) stopa zwrotu z całego rynku; np. dla β = 0,5 , WIG
wzrasta o 1% to stopa zwrotu z danej akcji wzrasta o 0,5%; podobnie
jest ze spadkiem. Takie akcje można posiadać w okresie bessy, a w
czasie hossy nie opłaca się ich mieć. Są one defensywne.

•β = 1 : stopa zwrotu akcji wzrasta (spada) o tą sama wielkość

procentową, co stopa zwrotu dla całego rynku. Akcja jest
„przeciętna”.

•β = 0 : stopa zwrotu akcji nie zmienia się, gdy zmienia się

stopa zwrotu rynku. Taką charakterystykę mają instrumenty wolne od
ryzyka (bony skarbowe).

•β < 0 : zmiany stopy zwrotu danej akcji mają przeciwny

kierunek do stopy zwrotu z całego rynku. W praktyce prawie się ich
nie spotyka. Ich posiadanie byłoby korzystne w czasie bessy.

Powyższe interpretacje dotyczą także portfeli papierów

wartościowych.

Linia charakterystyczna akcji wyraża zależność między

stopą zwrotu akcji a stopą zwrotu rynku. Nie jest to zależność
przyczynowo – skutkowa, a jedynie współwystępowanie
zjawisk.

Współczynnik beta wyraża się wzorem:

2

cov

M

m

s





Gdzie:

cov

M

- kowariancja stopy zwrotu akcji i stopy zwrotu

wskaźnika rynku,

s

M

– odchylenie standardowe stopy zwrotu akcji

(podniesione do kwadratu oznacza wariancję).

M

M

s

s







i

n

i

i

p

w











1

Inny wzór na współczynnik beta:

Gdzie:
ρ

M

- współczynnik korelacji stopy zwrotu akcji i stopy zwrotu wskaźnika rynku,

s – odchylenie standardowe stopy zwrotu akcji.
Dla portfela akcji wyznacza się współczynnik beta w taki sam sposób, jak dla

pojedynczej akcji,

jedynie podstawia się do wzoru stopę zwrotu portfela, zamiast akcji. Współczynnik

beta portfela obliczyć można jako średni ważony współczynnik beta składników portfela,
czyli według wzoru:

β

p

– współczynnik beta portfela,

n – liczba spółek w portfelu,
w

i

– udział akcji i-tej spółki w portfelu,

β

i

– współczynnik beta akcji i-tej spółki.

W praktyce dane do oszacowania linii charakterystycznej danej akcji to dane historyczne.

Do porównywania i oceny portfeli (funduszy inwestycyjnych) używa się

wskaźników

opartych na współczynniku beta portfeli (funduszy). Przykładowo, wskaźnik

Sharpe’a

wyznaczany jest według wzoru:

s

R

R

Sh

f





Gdzie:
Sh – miernik Sharpe’a,
R – przeciętna stopa zwrotu portfela w danym okresie,
R

f

– przeciętna wartość stopy zwrotu wolnej od ryzyka w danym okresie,

S – odchylenie stopy zwrotu portfela w rozpatrywanym okresie.

Im wyższa wartość tego wskaźnika, tym lepszy portfel (fundusz). Licznik wyraża

bowiem nadwyżkę stopy zwrotu ponad tą, którą można uzyskać bez ryzyka, a mianownik
– ryzyko, jakie charakteryzuje portfel.

Istnieją także inne wskaźniki służące ocenie portfeli – miernik Treynora (w

mianowniku ma betę portfela, pozostałe elementy tak jak we wskaźniku Sharpe’a) i
miernik Jensena (różnica między stopą zwrotu portfela a pewną przeciętną stopą
zwrotu dla rynku).

Aby ocenić portfel jako efektywny, mierniki te powinny przybierać wartości dodatnie

i możliwie wysokie. Wskaźniki te są używane do oceny efektywności portfeli funduszy
inwestycyjnych i innych inwestorów instytucjonalnych.