Analiza 01

background image

1

background image

2

Analiza matematyczna

sem. II

rok akademicki 1999/2000

dr Mariusz J.Wasilewski

Wykład 1

background image

3

Geometria

analityczna cd.

background image

4

1. Wybrane

powierzchnie stopnia

drugiego

Badaniem i analizą powierzchni

stopnia drugiego, których nazwa

pochodzi od stopnia równania

opisującego taką powierzchnię zajmuje

się

Geometria analityczna

.

1.1. Wstęp

background image

5

Do najważniejszych powierzchni

stopnia drugiego należą

sfera

(

inaczej

powierzchnia kulista

)

,

oraz

tzw.

kwadryki.

Z kolei do ważnych kwadryk należą

stożek obrotowy,

paraboloida

obrotowa

i

walec kołowy,.

background image

6

Sferą nazywamy zbiór punktów

przestrzeni

R

3

mających tę własność,

że odległość każdego z nich od

pewnego punktu

S(a,b,c)

, zwanego

środkiem sfery jest wielkością stałą. Tę

stałą wielkość nazywamy promieniem

sfery i oznaczamy literą

r

. Sferę

oznaczamy symbolicznie

K[S(a,b,c);r>0]

.

1.2. Sfera.

background image

7

(x-a)

2

+ (y-b)

2

+ (z-c)

2

= r

2

. (1)

Niech

P(x,y,z)

będzie dowolnym

punktem sfery

K[S(a,b,c);r>0]

. Z

definicji i wzoru na odległość między

punktami

P

i

S

po podniesieniu

stronami do kwadratu otrzymujemy

równanie normalne sfery

background image

8

Jeżeli w równaniu normalnym sfery

wykonamy wskazane działania

otrzymamy tzw.

rozwinięte równanie

sfery.

Oznaczając

A = -2a, B = -2b, C

= -2c

i D = a

2

+ b

2

+ c

2

- r

2

,

dostajemy

x

2

+ y

2

+ z

2

+ Ax + By + Cz + D = 0, (2)

przy warunku a

2

+ b

2

+ c

2

- D > 0.

background image

9

Jeżeli warunek ten jest spełniony

wówczas równanie (2) przedstawia

sferę

background image

10

Kulą

nazywamy sferę i jej wnętrze.

Kulę zapisujemy nierównościami

background image

11

1.3. Wybrane

kwadryki

Kwadryki są to powierzchnie stopnia

drugiego charakteryzujące się tym, że

przekroje tych powierzchni są

krzywymi stożkowymi (elipsa,

hiperbola, parabola).

background image

12

Badanie i rysowanie kwadryk, opisane

jest szczegółowo książce

„Elementy Algebry i Geometii

Analitycznej” - M.J.Wasilewski i

K.Lisiecki

.

background image

13

z

x

y

x

y

z

x

y

background image

14

z

x

y

z

x

y

z

x

y

background image

15

z

x

y

z

x

y

z

x

y

background image

16

z

x

y

1.4.1. Sfera

(x-a)

2

+ (y-b)

2

+ (z-c)

2

= r

2

. (1)

Kula

background image

17

z

x

y

1.4.2. Stożek obrotowy

x

2

+ y

2

- z

2

= 0.

background image

18

z

x

y

1.4.3. Paraboloida obrotowa

z = x

2

+ y

2

background image

19

z

x

y

1.4.4. Walec kołowy

x

2

+ y

2

= r

2

.

background image

20

Analiza

matematyczna cd.

background image

21

Funkcje wielu zmiennych.

Rachunek różniczkowy funkcji

wielu zmiennych.

background image

22

2. Zbiory punktów na

płaszczyźnie

Nauczyć się z podręcznika :

2.1.

Definicje

:

Zbiór płaski.

Zbiór płaski ograniczony

Otoczenie kołowe punktu P

0

(,x

0

,y

0

)

o promieniu r

background image

23

Sąsiedztwo (otoczenie
pierścieniowe) punktu
P

0

(,x

0

,y

0

) o promieniu r

Punkt wewnętrzny zbioru A

Punkt zewnętrzny zbioru A

Punkt brzegowy zbioru A

Zbiór otwarty

Zbiór spójny

background image

24

Obszar

Punkt skupienia zbioru

Brzeg zbioru

Wnętrze zbioru

Zewnętrze zbioru

Obszar domknięty A* = A Č B

background image

25

Punktem przestrzeni

n

-wymiarowej,

nazywamy ciąg

n

liczb

(x

1

,x

2

,...x

n

)

.

Liczby te nazywamy współrzędnymi

punktu przestrzeni

n

-wymiarowej.

3. Funkcje dwóch i wielu zmiennych.

3.1.

Definicje

background image

26

Jeżeli każdemu punktowi

P(x

1

,x

2

,...x

n

)

przestrzeni

n

-wymiarowej należącemu

do pewnego zbioru

A

przyporządkujemy dokładnie jedną

liczbę

z

, to mówimy, że na zbiorze

A

została określona funkcja

n

-

zmiennych niezależnych

x

1

,x

2

,...x

n

, co

zapisujemy

z = f (x

1

,x

2

,...x

n

) dla (x

1

,x

2

,...x

n

)

A,

lub z = f (P) dla P A.

Zmienną

z

nazywamy

zmienną zależną

.

background image

27

Przy

n = 2

otrzymujemy definicję

funkcji dwu
zmiennych niezależnych

z= f (x,y) dla (x,y) A, lub z = f (P) dla P A

.

Dziedziną funkcji

czyli

obszarem jej

określoności nazywamy zbiór

wszystkich

punktów

P

, dla których

f (P)

ma

sens.

background image

28

Wykresem funkcji dwóch

zmiennych

niezależnych

z = f(x,y)

jest na

ogół pewna

powierzchnia, znajdująca się nad

lub/i pod

obszarem

D

będącym dziedziną

funkcji.

background image

29

Górna półsfera Górny stożek
Paraboloida

obrotowa

z

x

y

z

x

y

z

x

y

A oto przykłady wykresów kilku funkcji.

background image

30

Rozwiązanie

.

Dziedziną jest zbiór

tych punktów

P(x,y),

dla których wzór

określający funkcję ma sens, czyli

Przykład

. Wyznaczyć dziedzinę funkcji

background image

31

Jest to elipsa o półosiach

a=4

i

b=2

i jej wnętrze.

y

x

4

2

background image

32

4. Granica i ciągłość funkcji

dwóch zmiennych

Nauczyć się z podręcznika następujących pojęć:

4.1. Definicja zbieżności ciągu
punktów na
płaszczyźnie .
4.2. Definicja granicy funkcji
Heinego.
4.3. Ciągłość funkcji wielu
zmiennych.
4.4. Własności funkcji ciągłych.

Zapoznać się z przykładami.

background image

33

5. Pochodne cząstkowe

Pochodną cząstkową funkcji wielu

zmiennych

względem

jednej

zmiennej

nazywamy

zwykłą

pochodną tej funkcji przy założeniu,

że wszystkie pozostałe zmienne są

stałe.

5.1.

Definicja pochodnej cząstkowej

background image

34

Wynika stąd, że wszystkie poznane

wcześniej twierdzenia i wzory

rachunku różniczkowego dla funkcji

jednej zmiennej obowiązują również

przy obliczaniu pochodnych

cząstkowych.

background image

35

Aby obliczyć pochodną cząstkową

funkcji dwóch zmiennych

z=f(x,y)

względem zmiennej

x

, należy ustalić

wartość drugiej zmiennej np.

y= y

0

, a

następnie obliczyć pochodną funkcji

z=f(x,y

0

),

jednej zmiennej

x

(jeżeli

istnieje). Z definicji pochodnej funkcji

jednej zmiennej x w punkcie

x=x

0

mamy

background image

36

Podobnie

definiujemy

pochodną

funkcji

z=f(x,y)

względem zmiennej

y

.

Należy

ustalić

wartość

drugiej

zmiennej np.

x=x

0

, a następnie obliczyć

pochodną funkcji

z=f(x

0

,y),

jednej

zmiennej

y

(jeżeli istnieje). Z definicji

pochodnej funkcji jednej zmiennej y w
punkcie

y=y

0

mamy

background image

37

Pochodną cząstkową funkcji

z=f(x,y)

względem zmiennej

x

możemy

oznaczać różnymi symbolami np.

Podobnie oznaczamy pochodne

cząstkowe tej funkcji względem

zmiennej

y

.

background image

38

Rozwiązanie.

f

x

’=2xe

yz

+z

3

+3cos(3x+2y),

f

y

’= x

2

e

yz

z+2cos(3x+2y), f

z

’= x

2

e

yz

y+3xz

2

Wedle tej samej zasady oznaczamy

pochodne cząstkowe funkcji o większej

liczbie zmiennych.

Przykład.

Obliczyć pochodne

cząstkowe rzędu pierwszego funkcji

background image

39

5.2 Interpretacja geometryczna

pochodnej cząstkowej.

Przy obliczaniu pochodnej

cząstkowej względem

x

funkcji

z=f(x,y)

zmienną

y

ustalamy

przyjmując

y=y

0

. Oznacza to, że

obliczamy zwykłą pochodną funkcji

z=f(x,y

0

),

której wykresem jest linia

o równaniach

background image

40

z

x

z = f(x,y)

y

background image

41

z

x

y

x

0

y

0

z = f(x,y)

f

x

’(x

0

,y

0

) = tg

Linia ta jest częścią wspólną wykresu

funkcji

z=f(x,y)

i płaszczyzny

y=y

0

.

background image

42

z

x

y

x

0

z = f(x,y)

f

y

’(x

0

,y

0

) = tg



y

0

background image

43

z

x

y

x

0

y

0

z = f(x,y)

f

x

’(x

0

,y

0

) = tg

f

y

’(x

0

,y

0

) = tg

background image

44

6. Różniczka zupełna

funkcji dwóch zmiennych.

Niech

P

0

(x

0

,y

0

)

będzie punktem

należącym do dziedziny

D

funkcji

z

= f(x,y)

, w którym ma ona pochodne

cząstkowe w

f

x

i

f

y

.

background image

45

Definicja

.

Różniczką funkcji

z =

f(x,y)

punkcie

P

0

(x

0

,y

0

)

dla

przyrostów

dx

i

dy

nazywamy

wyrażenie

background image

46

7. Pochodne i różniczki rzędów

wyższych

Pochodne cząstkowe

są też

funkcjami zmiennych

x

i

y

. Ich

pochodne nazywamy pochodnymi

cząstkowymi rzędu drugiego funkcji

f(x,y)

i oznaczamy je symbolami

background image

47

yx

xx

2

2

2

"

f

"

f

lub

,

x

y

f

y

f

x

,

x

f

x

f

x

background image

48

Pochodne

f”

xy

i

f”

yx

nazywamy

pochodnymi mieszanymi rzędu

drugiego.

Twierdzenie Schwarza

Jeżeli pochodne mieszane

f”

xy

i

f”

yx

istnieją i są w pewnym punkcie

ciągłe,

to są w tym punkcie równe.

background image

49

Ogólnie

pochodnymi cząstkowymi rzędu

n

nazywamy pierwsze pochodne
cząstkowe pochodnych rzędu

n-1

.

różniczką rzędu

n

funkcji

nazywamy różniczkę różniczki

rzędu

n-1

.

background image

50

8. Pochodna w kierunku

Niech

s

oznacza półoś o równaniach

Półoś

s

wychodzi z punktu

P

0

(x

0

,y

0

)

i

tworzy z osiami

Ox

i

Oy

odpowiednio

kąty

i

.

background image

51

Definicja

. Pochodną cząstkową funkcji

z = f(x,y)

w punkcie

P

0

(x

0

,y

0

)

w

kierunku osi

s

nazywamy granicę

prawostronną ilorazu różnicowego o

ile istnieje

background image

52

Twierdzenie

. Jeżeli funkcja

z =

f(x,y)

ma w otoczeniu punktu

P

0

(x

0

,y

0

)

ciągłe pochodne cząstkowe

f/x

i

f/y

to pochodna

f/s

wyraża się wzorem

background image

53

Koniec wykładu


Document Outline


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
ANALIZA 01
Analiza 4 01 (Wyk ad)
ProgCPP Wyklad Analiza 01
analiza - 01.01, Analiza
analiza 01
ANALIZA 01
analiza 01
sciaga analiza20 01 11
Analiza Wyklad 01 Logika id 59757 (2)
2009 01 Analiza powłamaniowa
analiza i ocena pomieszczenia i stanowiska pracy fryzjera 2012 01 arkusz (2)
01 09 ZSO Analiza kosztów zbiórki selektywnej odpadów
01 03 analiza kineamryczna zadanie 03
02-01-11 12 01 41 analiza matematyczna kolokwium 2002-01-16

więcej podobnych podstron