TESTY ZGODNOŚCI - TEST 

2

Testy zgodności

służą weryfikacji

hipotez dotyczących typu rozkładu (bez

określania jego parametrów).

 

Test 

2

pozwala zweryfikować hipotezę,

że dystrybuanta F(x) rozkładu (np.

uzyskanych wyników) należy do klasy

dystrybuant będących przedmiotem

weryfikacji.

 
 

 

 

TESTY ZGODNOŚCI - TEST 

2

Zasady postępowania:
1.   

Funkcją testową jest statystyka 

2

2.    Minimalna liczba przedziałów
klasowych c = 5
(tzn. rozstęp, czyli obszar zmienności w
próbie,
dzielony jest na min. 5 przedziałów).
Szerokości przedziałów prawostronnie
domkniętych
nie muszą być równe.
3.    Minimalna liczebność przedziału m = 8
(oznacza to, że próba musi wynosić min.
n = 40)

4.    Porównać wyznaczoną wartość 

2

z

wartością
krytyczną 



2

(z tablic dla

prawostronnego obszaru
krytycznego);
jeśli 

2

< 



2

nie ma podstaw do

odrzucenia hipotezy,
natomiast jeśli 

2

 



2

hipotezę należy

odrzucić.

 
 

 

 

Funkcja testowa
 
 

m

i

- liczba wyników w i-tym przedziale

klasowym
n – całkowita liczba wyników
p

i

– prawdopodobieństwo teoretyczne

uzyskania wyniku z
i-tego przedziału klasowego
c – liczba przedziałów klasowych

TESTY ZGODNOŚCI - TEST 

2



i=1

(m

i

- np

i

)

2

np

i



c

2

 
 

 

 

TESTY ZGODNOŚCI - TEST 

2

Prawdopodobieństwa teoretyczne p

i

dla

poszczególnych przedziałów klasowych (np.
dla rozkładu normalnego) oblicza się z
różnic dystrybuanty dla prawej i lewej
granicy przedziału klasowego wg.
zależności:
 
P

i

= F(u

i

) – F(

i-1

)

 
gdzie u

i

są wartościami zmiennej losowej

standaryzowanej.
 
Ostatni przedział klasowy (odpowiadający
największym wartościom u

i

) nie jest

prawostronnie domknięty
(rozszerzamy go do x

c

= , czyli dla F(x

c

) =

1).

 
 

 

 

TESTY ZGODNOŚCI - TEST 

2

Kolejność postępowania:

 1.    Sformułować hipotezę

 2.    Dobrać poziom istotności

 3.    Podzielić próbę na przedziały
klasowe

 4.    Obliczyć parametry rozkładu

 5.    Obliczyć prawdopodobieństwa p

i

 6.    Obliczyć funkcje testową 

2

 7.    Odczytać wartości krytyczne 



2

 8.    Zweryfikować hipotezę i podać
wniosek końcowy.
 

 
 

 

 

TESTY ZGODNOŚCI - TEST 

2

Przykład:

W tabeli podane są uporządkowane
wyniki pomiaru w przedziałach
klasowych.

Na poziomie istotności 0,05
zweryfikować hipotezę, że próba
pochodzi z rozkładu normalnego.

Wyznaczone parametry rozkładu
wynoszą:
x = 10,1; Sx=0,78

 
 

 

 

 
 

x

i

n

i

(x

i-1

,x

i

>

n

i

u

i

F(u

i

)

p

i

np

i

(m

i

-

np

i

)

2

/np

i

8,0-8.6

3

- - 9.2

9

-
1,1
5

0,12
5

0,12
5

16,25

3,23

8,6-9,2

6

9,2-9,8

36

9,2- 9,8

36

-
0,3
8

0,35
2

0,22
7

29,51

1,43

9,8-10,4

44

9,8-
10,4

44

0,3
8

0,64
8

0,29
6

38,48

0,79

10,4-11,0

21

10,4-
11,0

21

1,1
5

0,87
5

0,22
7

29,51

2,45

11,0-11,6

15

11,0-
11,6

15

1,9
2

0,97
3

0,09
8

12,74

0,40

11,6-12,2

4

11,6- 

5

 

1,00
0

0,02
7

3,52

0,63

12,2-12,8

1



130

 

130

 

 

 

130,0
0

8,94

Liczba stopni swobody wynosi k=6-2=4
 Wartość krytyczna odczytana z tablic wynosi 



2

=9,49

TESTY ZGODNOŚCI - TEST 

2

 
 

 

 

TESTY ZGODNOŚCI - TEST 

2

Wynik:





2

= 8,94

Ponieważ 



2

=9,49>8,94=

2

, nie ma

podstaw do odrzucenia hipotezy, że
próba pochodzi z rozkładu normalnego.

 
 

 

 

TESTY ZGODNOŚCI - TEST 

2

POWTÓRZENIE

Sprawdzenie,

czy uzyskany rozkład jest

zgodny z rozkładem teoretycznym
(oczekiwanym)?

Procedura:

Załóżmy, że uzyskane wyniki pomiaru
pewnej wielkości fizycznej wynoszą: x

1

,

x

2

,...x

n

.

Hipoteza:

zakładamy, że wyniki powinny podlegać
rozkładowi naturalnemu.

 
 

 

 

TESTY ZGODNOŚCI - TEST 

2

1. Z uzyskanych wyników

obliczamy



x i



.

2.

Dzielimy rozstęp zmierzonych wartości na

przedziały

(liczba przedziałów k )

 
3.

Wyznaczamy liczbę stopni swobody d.

Liczba stopni swobody odpowiada liczbie

danych pochodzących z pomiaru
pomniejszonej o liczbę parametrów (liczba
więzów) c oszacowanych na ich podstawie
i wykorzystywanych w obliczeniach

(danymi są liczby pomiarów w każdym

przedziale, stąd liczba danych pomiarowych
wynosi k):

  d = k - c
W rozkładzie Gaussa musimy obliczyć x

oraz



,

a więc ogółem mamy 2 więzy.

 
 

 

 

TESTY ZGODNOŚCI - TEST 

2

 

4.    

Budujemy tabelę

zawierającą:

numer przedziału i,
jego zakres od... do..., przypadającą
każdemu
przedziałowi liczbę zdarzeń O

i

oraz

wyznaczoną z
założonego rozkładu oczekiwaną
liczbę zdarzeń E

i

.

 
  5.

Obliczamy wartość



2

lub wartość zredukowaną



r

2

 



2

=



[(m

i

- n p

i

)

2

/n p

i

] ,



2

=



[(O

i

-

E

i

)

2

/E

i

]

,

 



r

2

=



2

/d

 
 

 
 

 

 

TESTY ZGODNOŚCI - TEST 

2

  6. Wartość zredukowana



r

2

 

 



r

2

=



2

/d

 

Zredukowany test uwzględnia liczbę stopni

swobody

i pozwala na oszacowanie zgrubne,

a więc jeśli wynik będzie wynosił 1 lub mniej

niż 1,

to nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy,

jeśli przewyższa 1 to prawdopodobieństwo,

że założony rozkład jest prawdziwy

staje się coraz mniejsze.