1

OGÓLNOTECHNICZNE

PODSTAWY

BIOTECHNOLOGII Z

GRAFIKĄ INŻYNIERSKĄ

Wykład IV

Mechanika techniczna

Podstawowe zasady rachunku

wektorowego

Elementy statyki

2

Podstawowe pojęcia i

definicje mechaniki

technicznej

Kolejne tematy naszego wykładu
tzn. statyka i wytrzymałość
materiałów należą do dziedziny
fizyki tzw. mechaniki
technicznej.
Ogólny podział mechaniki
technicznej można przedstawić za
pomocą następującego shematu:

3

Klasyfikacja (podział)

mechaniki technicznej

Mechanika

techniczna

Mechanika ogólna

Wytrzymałość

materiałów

Kinematyka

Dynamika

Statyka

Kinetyka

4

Definicje dziedzin tworzących

mechanikę techniczną

Mechanika ogólna –

zwana również mechaniką

teoretyczną zajmuje się ustalaniem ogólnych praw ruchu i

równowagi wyidealizowanych ciał materialnych takich jak

punkt materialny i ciało doskonale sztywne.

Wytrzymałość materiałów –

jest nauką

stosowaną zajmującą się badaniem zjawisk

występujących w ciałach rzeczywistych (odkształcalnych).

Głównym jej zadaniem jest określenie wytrzymałości i

sztywności danej konstrukcji lub elementu maszyny czyli

ogólnie mówiąc odporności na zniszczenie.

Kinematyka –

zajmuje się ilościowym badaniem

ruchu ciał, pomijając czynniki fizyczne wywołujące ten

ruch. Kinematykę można określić jako geometrię ruchu w

czasie.

5

Definicje dziedzin tworzących

mechanikę techniczną (c.d.)

Dynamika –

rozpatruje zachowanie się ciał

materialnych w zależności od działających na nie
sił.

Statyka –

rozpatruje zachowanie się ciał

materialnych w zależności od działających sił w
przypadku gdy siły te są zrównoważone. Ciało
poddane działaniu sił w takim przypadku na ogół
pozostaje w spoczynku, stąd nazwa.

Kinetyka –

rozpatruje prawa ruchu ciał

materialnych.

6

Definicje podstawowych pojęć

mechanicznych

(przypomnienie z

fizyki)

Przestrzeń –

matematyczny opis miejsca w którym

odbywają się wszystkie zjawiska fizyczne. Dla celów

mechaniki technicznej wykorzystuje się pojęcie tzw.

przestrzeni euklidesowej mającej 3 wymiary. Położenie w

takiej przestrzeni jest określane najczęściej za pomocą tzw.

kartezjańskiego układu współrzędnych prostopadłych x,y,z.

Masa –

jest to miara ilości materii zawartej w ciele.

Jednocześnie jest to miara bezwładności ciała. Jednostką

masy w układzie SI jest kilogram (kg). Masę oznacz się

literą m. Masa jest dodatnią wielkością skalarną.

Siła –

jest to miara wzajemnego oddziaływania ciał,

przejawiająca się wyprowadzaniem ich ze stanu spoczynku,

zmianą ich ruchu lub utrzymaniem ich w stanie równowagi.

Ponieważ siła jest wielkością wektorową dlatego teraz omówimy
elementarne zasady tzw. rachunku wektorowego.

7

Definicja wektora

(na płaszczyźnie lub w przestrzeni 3 –

wymiarowej)

Wektorem

Wektorem

nazywamy pewną wielkość,

nazywamy pewną wielkość,

która jest określona za pomocą:

która jest określona za pomocą:

1)

1)

Nieujemnej liczby nazywanej

Nieujemnej liczby nazywanej

długością

długością

wektora

wektora

2)

2)

Kierunku

Kierunku

działania określonego za

działania określonego za

pomocą pewnej prostej leżącej na

pomocą pewnej prostej leżącej na

płaszczyźnie lub w przestrzeni

płaszczyźnie lub w przestrzeni

3)

3)

Zwrotu

Zwrotu

wyróżniającego początek i

wyróżniającego początek i

koniec wektora

koniec wektora

8

Geometryczna interpretacja

wektora

(na płaszczyźnie lub w przestrzeni 3 –

wymiarowej)

Tradycyjnie wektor jest obrazowany za pomocą odcinka
prostej ze strzałką:

Długość wektora jest identyfikowana z długością odcinka AB.
Cecha ta jest też czasami nazywana modułem wektora

9

Rodzaje wektorów

Rozróżnia się trzy rodzaje wektorów:

1. Wektory związane z punktem (zaczepione) –

wektory, dla których określenia oprócz trzech
podstawowych cech podaje się dodatkowo punkt
zaczepienia (punkt początkowy odcinka).

2. Wektory ślizgające się (związane z prostą) –

wektory dla których określenia oprócz trzech
podstawowych cech określa się dodatkowo prostą, na
której leży wektor.

3. Wektory swobodne – wektory posiadające tylko trzy

podstawowe cechy.

Zasadniczo rachunek wektorowy dotyczy wektorów swobodnych.
Określenie wektora jako związanego lub ślizgającego się zawęża
obszar jego zastosowania do konkretnej sytuacji. Przykładowo siły
działające na ciało doskonale sztywne są wektorami ślizgającymi się.

10

Rodzaje wektorów

Wektor zaczepiony (związany z punktem)

Wektor ślizgający się (związany z prostą)

Rodzaje wektorów

x

y

z

a

a

Wektor swobodny

12

Wzajemne relacje wektorów

swobodnych

Dwa wektory swobodne mogą być:

•

równoległe – gdy mają ten sam kierunek działania

•

równe – gdy mają taką samą długość, zwrot i
kierunek działania

•

przeciwne –

gdy mają taką samą długość i są

równoległe ale ich zwroty są przeciwne

•

równoważne – gdy są równe i mają tą samą linię
działania

•

prostopadłe – gdy ich linie działania tworzą kąt 90
stopni

13

Wzajemne relacje wektorów

swobodnych

a, b, c – wektory równoległe
a, b – wektory przeciwne (a=-b)

a, c i b, c – wektory równe (a=c, b=c)
a, b – wektory równoważne

14

Wzajemne relacje wektorów

swobodnych

a, b – wektory prostopadłe

a

b

15

Wektory szczególne

Wektor, którego długość wynosi 0 nazywamy wektorem zerowym.
Wektor zerowy można utożsamić z dowolnym punktem w przestrzeni.

Wektor, którego długość wynosi 1 nazywamy wersorem.
Szczególnie użyteczne są tzw. wersory podstawowe, których
kierunki są określone za pomocą osi układu kartezjańskiego x,y,z
tradycyjnie oznaczane za pomocą liter i, j, k.

|i|= |j|= |k|=1

16

Algebraiczny zapis wektorów

Wersory podstawowe i, j, k służą do tzw. algebraicznego zapisu
wektorów. Można wykazać, że dowolny wektor swobodny a jest
pewną kombinacją
liniową wersorów podstawowych:

Współrzędne wektora
a

x

,a

y

,a

z

są to liczby rzeczywiste.
Dla
uproszczenia zapisu, w
ujęciu
algebraicznym wektor
zapisuje się jako układ 3
liczb rzeczywistych:

a=[a

x

,a

y

,a

z

]

-∞<a

x

<+∞

-∞<a

y

<+∞

-∞<a

z

<+∞

17

Algebraiczny zapis wektorów

2

2

2

z

y

x

a

a

a

a







Znajomość współrzędnych wektora pozwala na obliczenie jego
długości
i wyznaczenie kierunku za pomocą prostych wzorów wynikających
z prawa Pitagorasa i elementarnych zależności
trygonometrycznych:

a

a

x



)

cos(



a

a

y



)

cos(



a

a

z



)

cos(



18

Działania na wektorach

Z algebraicznego punktu widzenia wektory tworzą tzw. przestrzeń
liniową.
Jest to matematyczny obiekt, w którym najważniejsze są dwa
działania:

• dodawanie (i odejmowanie) elementów

• mnożenie elementów przez liczbę skalarną
Omówimy teraz krótko te działania. W zależności od interpretacji
wektora
działania mogą mieć charakter geometryczny lub algebraiczny

Dodawanie i odejmowanie

Odejmowaniem wektorów nazywamy dodawanie wektora
przeciwnego

a – b = a + (- b)

Istnieją dwie geometryczne metody dodawania (odejmowania)
wektorów.
Są to: metoda równoległoboku i metoda wieloboku.

Metoda wieloboku ma tę zaletę, że pozwala w przejrzysty sposób
dodawać kilka wektorów.

19

Geometryczne dodawanie

wektorów

Metoda równoległoboku:

a

b

O

K

c=a+b

20

Geometryczne dodawanie

wektorów

Metoda wieloboku:

a

b

O

K

c=a+b

21

Geometryczne dodawanie

wektorów

Metoda wieloboku zastosowana do wielu wektorów

a) n wektorów przed dodaniem
b) wielobok wektorów

K

22

Algebraiczne dodawanie

wektorów

Algebraiczne dodawanie (odejmowanie) wektorów jest bardzo proste
i polega na dodawaniu (odejmowaniu) odpowiednich współrzędnych.

a ±b = [a

x

,a

y

,a

z

] ± [b

x

,b

y

,b

z

] = c

c = [c

x

,c

y

,c

z

] = [a

x

±b

x

,a

y

±

b

y

,a

z

±b

z

]

23

Mnożenie wektorów przez liczbę

Drugim elementarnym działaniem na wektorach jest mnożenie
wektora przez liczbę skalarną. Działanie to w interpretacji
geometrycznej polega na zachowaniu kierunku wektora i odpowiedniej
zmianie jego długości. Długość wektora wynikowego jest iloczynem
długości wektora wyjściowego i danej liczby skalarnej.
Jeżeli chodzi o zwrot to zależy on od znaku liczby. Dla liczb dodatnich
zwrot nie ulega zmianie, natomiast dla liczb ujemnych zwrot zamienia
się na przeciwny.

W interpretacji algebraicznej mnożenia wektora przez liczbę również
jest bardzo proste i polega na pomnożeniu wszystkich składowych
przez daną liczbę skalarną.

]

,

,

[

]

,

,

[

z

y

x

z

y

x

a

a

a

a

a

a

a















24

Mnożenie wektorów przez siebie

Iloczyn skalarny

)

cos(

)

,

(



b

a

b

a

b

a

s





 

W rachunku wektorowym oprócz dodawania i mnożenia przez liczbę
możliwe jest mnożenie dwu wektorów przez siebie. Istnieją dwa
zasadniczo różne sposoby takiego mnożenia definiowane za pomocą
tzw. iloczynu skalarnego oraz iloczynu wektorowego.
Najpierw omówimy iloczyn skalarny. Definicja iloczynu skalarnego zależy
od interpretacji wektorów. Wynik mnożenia nie zależy oczywiście
od interpretacji i zawsze jest liczbą skalarną (może być liczbą
ujemną !). Iloczyn skalarny w interpretacji geometrycznej jest
określony wzorem:

gdzie



jest to kąt między wektorami a i b

a

b

α

25

Mnożenie wektorów przez siebie

Iloczyn skalarny

Geometrycznie iloczyn skalarny można zinterpretować jako iloczyn
długości jednego wektora przez rzut drugiego wektora na linię
działania (kierunek) pierwszego wektora.

W interpretacji algebraicznej iloczyn skalarny dwu wektorów jest określony
za pomocą wzoru

z

z

y

y

x

x

z

y

x

z

y

x

b

a

b

a

b

a

b

b

b

a

a

a

b

a









]

,

,

[

]

,

,

[





26

Własności iloczynu skalarnego

Iloczyn skalarny ma szereg własności. Jest on m.in.:

• przemienny tzn. (a,b)=(b,a)

• rozdzielny względem dodawania tzn. ((a + b),c)=(a,c)+(b,c)

• łączny ze względu na mnożenie przez liczbę β tzn. β(a,b)=(βa,b)=(a,βb)

Wartość iloczynu skalarnego dwu wektorów pozwala na określenie
kąta
między tymi wektorami. Odpowiedni wzór wynika z porównania
wzorów
definicyjnych w interpretacji algebraicznej i geometrycznej.

2

2

2

2

2

2

)

cos(

z

y

x

z

y

x

z

z

y

y

x

x

b

b

b

a

a

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a





















27

Własności iloczynu skalarnego

Iloczyny skalarne wektorów równoległych i prostopadłych spełniają
następujące własności:

• iloczyn skalarny dwóch zgodnych wektorów równoległych jest równy
iloczynowi ich długości tzn. (a,b)= |a||b| gdyż cos(0)=1

• iloczyn skalarny dwóch przeciwnych wektorów równoległych jest równy
ujemnemu iloczynowi ich długości (a,b)= -|a||b| gdyż cos(π)=-1

• iloczyn skalarny dwóch równych wektorów (a = b) jest równy
kwadratowi długości wektora a tzn. (a,a)=|a|

2

•

iloczyn skalarny dwóch wektorów prostopadłych jest równy zero

gdyż cos(π/2)=cos(90°)=0

Ponieważ wersory podstawowe i, j, k są prostopadłe więc spełniają
one zależności:
(i,i) = (j,j) =

(k,k) = 1

(i,j) = (j,k) = (k,i) = 0

28

Mnożenie wektorów przez siebie

Iloczyn wektorowy

b

a

w





Drugim rodzajem mnożenia wektorów przez siebie jest tzw.
iloczyn wektorowy. Wynik tego mnożenia nie zależy od interpretacji
i zawsze jest wektorem. Iloczyn wektorowy w interpretacji
geometrycznej jest określony za pomocą trzech reguł definiujących
długość, kierunek i zwrot wyniku. Oznaczmy ten wynik literą w.
Symbolicznie iloczyn wektorowy najczęściej oznacza się krzyżykiem:

1° Długość iloczynu wektorowego określona jest za pomocą wzoru:

)

sin(



b

a

b

a

w







gdzie



jest kątem między wektorami a i b

2° Kierunek iloczynu wektorowego jest zawsze prostopadły do
płaszczyzny, w której leżą dane wektory a i b.

3° Zwrot iloczynu wektorowego jest określony za
pomocą
tzw. reguły korkociągu lub reguły prawej
dłoni.

29

Iloczyn wektorowy

Iloczyn wektorowy inaczej niż iloczyn skalarny nie jest operacją
przemienną tzn. wynik zależy od kolejności mnożenia. Jest to
operacja antyprzemienna tzn.:

a

b

b

a









30

Iloczyn wektorowy

Ze wzoru określającego długość iloczynu wektorowego wynika
geometryczna interpretacja tej długości jako pola równoległoboku
utworzonego przez wektory a i b.

a

b

a x b

b

a

a

b

31

Iloczyn wektorowy

]

,

,

[

]

,

,

[

]

,

,

[

x

y

y

x

x

z

z

x

y

z

z

y

z

y

x

z

y

x

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

b

b

a

a

a

b

a















W ujęciu algebraicznym iloczyn wektorowy określany jest za pomocą
nieco bardziej skomplikowanego wzoru:

Używając wersorów podstawowych i, j, k można ten wzór
zapisać
postaci wyznacznikowej:

z

y

x

z

y

x

b

b

b

a

a

a

k

j

i

b

a





32

Definicje idealnych obiektów

statyki

Punkt materialny – jest to ciało o

wymiarach znikomo małych w

porównaniu z wielkością rozpatrywanego

obszaru. Ciało takie traktowane jest jako

punkt geometryczny, w którym skupiona

jest cała jego masa.
Ciało doskonale sztywne – jest to

takie ciało stałe, którego punkty nie

zmieniają wzajemnych odległości pod

wpływem działających sił.

33

To byłoby na dzisiaj tyle.

Dziękuję bardzo Państwu za uwagę.