Analiza przemieszczeń punktów
reprezentujących badany obiekt







































































































































































z

yz

zx

yz

y

xy

zx

xy

x

T

yz

zx

yz

xy

zx

xy

T

T

zo

yo

xo

T

z

y

x

dz

dy

dx

0

0

0

dz

dy

dx

u

u

u

u

u

u

Występująca we wzorze ostatnia macierz zawierająca parametry
odkształceń ε i γ nosi nazwę tensora odkształceń

Jeżeli składowe obrotu są funkcjami położenia punktu to składowe
te tworzą pole elementarnych obrotów



 



y

x

z

zx

yz

xy

,

,

,

,















Pochodne cząstkowe wektorowego pola obrotów przyjmą postać:

 



































































































































zz

yz

xz

zy

yy

xy

zx

yx

xx

z

z

x

z

y

x

x

x

x

z

z

z

y

y

y

x

x

x

Wielkości:

dz

d

z

dy

d

y

dx

d

x

z

z

zz

y

y

yy

x

x

xx











































Wyrażają stosunek przyrostu składowej obrotu do długości
odcinka na której ten przyrost nastąpił

Dlatego też składowe Θ

xx

, Θ

yy

, Θ

zz

nazywa się

jednostkowymi skręceniami

Jeżeli np. Θ

xx

będzie dodatnie, to skręcenie następuje w płaszczyźnie

y, z w kierunku od osi y do osi z.

Geometryczna interpretacja pochodnych różnowskaźnikowych
np. Θ

xy

dy

d

y

x

x

xy















Zależność wyraża stosunek przyrostu składowej obrotu elementów
położonych w płaszczyźnie obrotu (x, y) na linii współrzędnych y
do długości odcinka dy, na którym ten przyrost nastąpił.
Składowa ta określa jednostkowe ugięcie

Ugięcie wypadkowe dla punktów uszeregowanych wzdłuż linii
współrzędnych y wyraża się wzorem

2
zy

2
xy

y











2

yz

2
xz

z











2
zx

2

yx

x











Analogicznie wzdłuż linii x i z:

x

x

x

u









z

z

z

u









y

y

y

u









yx

xy

x

y

y

u

x

u

2

1































zy

yz

y

z

z

u

y

u

2

1































zx

xz

z

x

x

u

z

u

2

1































xy

x

y

y

u

x

u

2

1



























yz

y

z

z

u

y

u

2

1



























xz

z

x

x

u

z

u

2

1



























Odkształcenia linioweOdkształcenia postaciowe Składowe obrotu

Jednostkowe skręceniaJednostkowe ugięcia

2
zy

2
xy

y











2

yz

2
xz

z











2
zx

2

yx

x











dz

d

z

dy

d

y

dx

d

x

z

z

zz

y

y

yy

x

x

xx











































Zakładając, że składowe wektorowego pola przemieszczeń
reprezentowane są przez funkcje liniowe

z

c

y

c

x

c

c

u

z

b

y

b

x

b

b

u

z

a

y

a

x

a

a

u

3

2

1

0

z

3

2

1

0

y

3

2

1

0

x

























Składowe wektora translacji obiektu wyznacza się poprzez
wydzielenie ze współrzędnych wektorowego pola przemieszczeń
wartości niezależnych od położenia punktu





o

o

o

o

c

,

b

,

a

u 

Składowe odkształcenia wyznaczamy za pomocą wzorów:

1

x

x

a

x

u











3

z

z

c

z

u











2

y

y

b

y

u











)

a

b

(

2

1

y

u

x

u

2

1

2

1

x

y

yx

xy







































3

2

y

z

zy

yz

b

c

2

1

z

u

y

u

2

1



































)

c

a

(

2

1

x

u

z

u

2

1

1

3

z

x

zx

xz



































Składowe obrotu wyznaczamy ze wzorów:





2

1

x

y

xy

a

b

2

1

y

u

x

u

2

1



































3

2

y

z

yz

b

c

2

1

z

u

y

u

2

1



































1

3

z

x

xz

c

a

2

1

x

u

z

u

2

1





























