Estymacja parametrów

 Parametry rozkładu normalnego zwykle

nie są znane. Na podstawie serii

pomiarów możemy je oszacować:

jest oszacowaniem dla wartości

oczekiwanej

jest oszacowaniem

odchylenia

standardowego









n

i

i

x

n

x

1

1





2

1

1

1











n

i

i

x

x

n

s



Standardowy rozkład

normalny

 Jeśli X ma rozkład normalny o parametrach

i to:

ma rozkład normalny o parametrach

zwany standardowym rozkładem normalnym.

 









X

u

0





1





Standardowy rozkład

normalny

x

f(x)

stndardowy

rozkład Gaussa

punkt przegięcia

0

1 1

Suma i różnica

rozkładów

 Jeżeli X ma rozkład o parametrach

i oraz Y ma rozkład o
parametrach i to parametry
rozkładu ich sumy są następujące:

 Podobnie, dla różnicy X-Y:

x



x



y



y



2

2

y

x

y

x

























2

2

y

x

y

x

























Suma i różnica

rozkładów

 Kształt rozkładu sumy lub różnicy

jest zwykle inny od kształtu
składników. Są jednak wyjątki, np.
rozkład normalny lub

 Suma lub różnica dwóch zmiennych

o rozkładzie normalnym też ma
rozkład normalny.

2



Galeria rozkładów

ciągłych

-4

-2

0

2

4

0.

0

0.

1

0.

2

0.

3

0.

4

Rozklad t-Studenta

t

f(t

)

30 st. swob.

3 st. swob.

1 st. swob

normalny

0

5

10

15

20

0.

0

0.

1

0.

2

0.

3

0.

4

Rozklad chi-kwadrat

chi^2

f(c

hi

^2

)

10 st. swob.

3 st. swob.

1 st. swob

normalny

0

5

10

15

20

0.

00

0.

05

0.

10

0.

15

x

f(x

)

eksponencjalny

log-normalny

logistyczny

normalny

Estymacja. Przedziały

ufności.

 Umiemy, korzystając z funkcji gęstości

rozkładu, obliczać prawdopodobieństwo

znalezienia zmiennej losowej w

zadanym przedziale:

 Często musimy rozwiązywać zadanie

odwrotne: Mamy z góry zadane

prawdopodobieństwo P, a szukamy

odpowiednich a i b.





 









b

a

dx

x

f

b

X

a

P

 Zadanie to nie jest jednoznaczne.
 Przykład: P=0,9=90%. a,b - ?
 P nazywamy poziomem ufności i

często zapisujemy w postaci ,
gdyż zwykle jest nieco mniejsze od
100% (najczęściej 95%, wtedy
)





1

%

5





Wybór przedziału ufności

x

f x

( )

b

b

b

a

a

( =- )

a Ą

5%

5%

8%

10%

2%

Wybór przedziału ufności

 W praktyce stosujemy:



symetryczny (dwustronny) wybór
przedziału (równe
prawdopodobieństwa po obu stronach)



jednostronny wybór granicy przedziału



prawostronny



lewostronny

)

(





a

)

(





b

Fraktyle

x



f x

( )



 

1

Fraktyle (percentyle)

 Liczbę , taką że

nazywamy fraktylem rozkładu
prawdopodobieństwa zmiennej X.

 x

0,5

nazywamy medianą, x

0,75

pierwszym, a x

0,25

– trzecim

kwartylem.



x











 x

X

P

Fraktyle i wybór

przedziału.

x



/2

x

1 - /2



f x

( )

Symetryczny wybór

przedziału

 Przy symetrycznym wyborze

przedziału mamy .

 Jeśli funkcja gęstości jest parzysta

(symetryczna względem zera) to:

więc

 Rozkłady: standardowy normalny i t-

Studenta są parzyste.

2

2

1

,





x

b

x

a







2

2

,





x

b

x

a







2

2

1





x

x







Symetryczny przedział

dla stand. rozkładu

normalnego.

u

u

2,5%

-u

2,5%

f( )

u

0

95%

Przedziały ufności

 Załóżmy, że X podlega rozkładowi

normalnemu.

 Wiemy, że

 W takim razie













n

N

X





,

~

 

1

,

0

~N

n

X

u









Przedziały ufności





























1

2

2

u

u

u

P

















































1

2

2

u

n

X

u

P

Przedziały ufności

 Rozwiązując te nierówności tak, aby w

środku pozostało otrzymamy:

 Z prawdopodobieństwem

(zwanym poziomem ufności)
wyznaczony prze-dział zawiera
wartość oczekiwaną .







































1

2

2

u

n

X

u

n

X

P





1



Przedziały ufności

 Na przeszkodzie praktycznemu

stosowaniu tego wzoru stoi
nieznajomość .

 Czy popełnimy duży błąd zastępując

jego estymatą s ?





Przedziały ufności

 Gosset badał rozkład zmiennej losowej

 Rozkład ten różni się trochę od rozkładu

normalnego. Nazywa się rozkładem t-Stu-
denta. Dokładny jego kształt określa liczba
r = n-1, zwana liczbą stopni swobody.

n

s

X

t







Przedziały ufności

 Rozumowanie bardzo podobne do

poprzedniego, prowadzi do wzoru:

 dla r > 30 różnica między t i u jest

znikoma

































1

2

2

t

n

s

X

t

n

s

X

P

Rozkład estymatora s

2

 Jeśli X ma rozkład normalny, to

ma rozkład zwany rozkładem

(chi-kwadrat).

 Kształt tego rozkładu zależy do

liczby stopni swobody r = n – 1.





1

2

2



n

s



2



Przedział ufności

wariancji.

 Z powyższego wynika, że przedział

ufności wariancji dany jest wzorem:

 Przedział ufności dla odchylenia

standar-dowego otrzymamy
pierwiastkując strony tej nierówności.









1

1

2

2

2

2

2

2

1

2











n

s

n

s











Statystyka opisowa

Statystyka opisowa

 Pełna wiedza o ciągłym rozkładzie

prawdopodobieństwa zawarta jest w
jego funkcji gęstości.

 Często jednak chcemy wyodrębnić

pewne cechy rozkładu, jak np. jego
symetrię. Podajemy wtedy
parametry charakterystyczne, takie
jak lub .





Momenty

 Momenty zwykłe rzędu k:

 Momenty centralne rzędu k:

 

dx

x

f

x

a

k

k













  

dx

x

f

x

m

k

k















Momenty

 Wartość oczekiwana to pierwszy

moment zwykły:

 Wariancja to drugi moment centralny:

 Inne parametry rozkładu definiowane

przy pomocy momentów to skośność i
kurtoza.

1

a





2

2

m





Skośność i kurtoza

 nazywamy skośnością lub współ-
czynnikiem asymetrii.
 nazywamy kurtozą. Kurtoza
rozkładu normalnego jest
równa 3.
 Nazwa ‘kurtoza’ często stosowana jest

do nadwyżki kurtozy ponad 3, tj.

4

4

2

2

4



m

m

m



3

2

2

4



m

m

3

3



m

Kurtoza

 Kurtoza większa od 3 (0) wskazuje,

że rozkład jest bardziej płaski
(platykurtyczny) od normalnego.

 Rozkład o mniejszej kurtozie niż

normalny (ostrzejszy) nazywa się
leptokurtycznym.

Moda

 Moda (lub modalna), to wartość x dla

której funkcja gęstości f(x) osiąga
maksimum.

 Jeśli jest kilka maksimów lokalnych

rozkład nazywamy wielomodalnym.

 Dla rozkładu normalnego moda, mediana

i watość oczekiwana są sobie równe.

Estymacja parametrów

opisowych

 Należy pamiętać, że prawdziwe

wartości wymienionych parametrów
pozostają zazwyczaj nieznane
(podobnie jak sama funkcja gęstości
rozkładu).

 Wielkości wyznaczane na podstawie

próby są tylko ich oszacowaniami
(estymatami).