TEMAT 6:

ELEMENTY RÓWNOLEGŁE

I PROSTOPADŁE

http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html
http://osilek.mimuw.edu.pl/index.php?title=CAD_w_grafice_in%C5%BCynierskiej

Twierdzenie 1
Prosta n jest równoległa do płaszczyzny , jeśli

przechodzi przez dowolny punkt N nie leżący na
płaszczyźnie  i jest równoległa do dowolnej prostej m

leżącej na tej płaszczyźnie.

Twierdzenie 2
Dwie płaszczyzny są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy

na jednej z nich leżą dwie przecinające się proste
równoległe do drugiej płaszczyzny.

ELEMENTY RÓWNOLEGŁE

ELEMENTY RÓWNOLEGŁE

Twierdzenie 3
Jeżeli dwie proste są równoległe , to ich odpowiednie

rzuty są równoległe.

ELEMENTY RÓWNOLEGŁE

Twierdzenie 3
Jeżeli dwie proste są równoległe , to ich odpowiednie

rzuty są równoległe.

ELEMENTY RÓWNOLEGŁE

Twierdzenie 3
Jeżeli dwie proste są równoległe , to ich odpowiednie

rzuty są równoległe.

ELEMENTY RÓWNOLEGŁE

Twierdzenie 4
Jeżeli dwie płaszczyzny są równoległe , to ich

odpowiednie ślady są równoległe.

ELEMENTY RÓWNOLEGŁE

Twierdzenie 4
Jeżeli dwie płaszczyzny są równoległe , to ich

odpowiednie ślady są równoległe.

ELEMENTY RÓWNOLEGŁE

Twierdzenie 4
Jeżeli dwie płaszczyzny są równoległe , to ich

odpowiednie ślady są równoległe.

ELEMENTY RÓWNOLEGŁE

Twierdzenie 4
Jeżeli dwie płaszczyzny są równoległe , to ich

odpowiednie ślady są równoległe.

ELEMENTY RÓWNOLEGŁE

Twierdzenie 4
Jeżeli dwie płaszczyzny są równoległe , to ich

odpowiednie ślady są równoległe.

ELEMENTY RÓWNOLEGŁE

1.
Dana jest płaszczyzna  =ab oraz nie leżący na niej punkt K.

Przez punkt K poprowadzić płaszczyznę .

x

1,2

a’’

a’

b’’

b’

K’

K’’

ELEMENTY RÓWNOLEGŁE

2.
Dana jest płaszczyzna (h



,v



) oraz punkt K. Wykreślić rzuty

prostej czołowej c równoległej do płaszczyzny 

przechodzącej przez punkt K.

x

1,2

v



h



K’

K’’

x

1,2

v



h



K’

K’’

ELEMENTY RÓWNOLEGŁE

3.
Dana jest płaszczyzna (h



,v



) oraz rzut pionowy prostej d’’, do

której przynależy punkt A . Wyznaczyć rzut poziomy prostej
d’||.

x

1,2

v



h



A’

A’’

d’’

x

1,2

v



h



A’

A’’

d’’

ELEMENTY RÓWNOLEGŁE

4.
Wykreślić pionowy ślad płaszczyzny  równoległej do prostej AB

mając
zadany jeden ślad płaszczyzny.

ELEMENTY RÓWNOLEGŁE

5.
Przez punkt A poprowadzić płaszczyznę  równoległą do

płaszczyzny .

Wyznaczyć jej ślady.

ELEMENTY RÓWNOLEGŁE

6.
Przez punkt A poprowadzić płaszczyznę  równoległą do odcinków

prostych BC i DE. Wyznaczyć jej ślady.

Twierdzenie 5
Jeżeli prosta jest prostopadła do dwóch nierównoległych
prostych leżących na płaszczyźnie, to prosta jest prostopadła
do drugiej płaszczyzny.

Twierdzenie 6
Dwie płaszczyzny są prostopadłe, jeśli na jednej z nich leży
prosta prostopadła do drugiej płaszczyzny.

ELEMENTY PROSTOPADŁE

Twierdzenie 7
Jeżeli prosta i płaszczyzna są wzajemnie prostopadłe, to
odpowiednie rzuty prostej i ślady płaszczyzny są wzajemnie
prostopadłe.

Twierdzenie 8
Jeżeli przynajmniej jedna z dwu prostych prostopadłych jest
równoległa do rzutni (lub na niej leży), a druga nie jest
prostopadła do tej rzutni, to rzutem prostokątnym takich
dwu prostych są dwie proste prostopadłe.

ELEMENTY PROSTOPADŁE

ELEMENTY PROSTOPADŁE

Prosta prostopadła do płaszczyzny

ELEMENTY PROSTOPADŁE

Prosta prostopadła do płaszczyzny

ELEMENTY PROSTOPADŁE

Prosta prostopadła do płaszczyzny

ELEMENTY PROSTOPADŁE

Prosta prostopadła do płaszczyzny

ELEMENTY PROSTOPADŁE

Prosta prostopadła do płaszczyzny

ELEMENTY PROSTOPADŁE

Prosta prostopadła do płaszczyzny

ELEMENTY PROSTOPADŁE

Prosta prostopadła do płaszczyzny

ELEMENTY PROSTOPADŁE

Płaszczyzna prostopadła do płaszczyzny

ELEMENTY PROSTOPADŁE

Płaszczyzna prostopadła do płaszczyzny

ELEMENTY PROSTOPADŁE

Płaszczyzna prostopadła do płaszczyzny

ELEMENTY PROSTOPADŁE

7.
Dana jest prosta s i punkt K. Wyznaczyć płaszczyznę =cp

prostopadłą do prostej s przechodzącą przez punkt K.

x

1,2

s’

s’’

K’

K’’

x

1,2

s’

s’’

K’

K’’

ELEMENTY PROSTOPADŁE

8.
Dana jest prosta n i płaszczyzna . Przez prostą n poprowadzić

płaszczyznę =nm.

x

1,2

n’

n’’

v



h



x

1,2

n’

n’’

v



h



ELEMENTY PROSTOPADŁE

9.

Dana jest płaszczyzna  określona dwiema prostymi równoległymi

a i b oraz punkt M. Wykreślić rzuty prostej m przechodzącej

przez punkt M.

x

1,2

a’’

a’

b’’

b’

M’

M’’

x

1,2

a’’

a’

b’’

b’

M’

M’’

ELEMENTY PROSTOPADŁE

10.

Dana jest płaszczyzna (h



,v



) oraz rzuty punktu K. Wykreślić

ślady płaszczyzny , do której punkt K przynależy.

x

1,2

v



h



K’

K’’

x

1,2

v



h



K’

K’’

DZIĘKUJĘ...