FIZYKA dla

studentów

POLIGRAFII

Wykład 8

Prawo powszechnego

ciążenia

R

=

3

84

0

00

k

m

r = 6400 km

60

6400

384000





r

R

T = 27,3 dnia =
2,36·10

6

s

s

m

T

r

v

1022

2







2

2

2

0027

,

0

384000

1022

s

m

m

s

m

r

v

a



















2

60

3600

0027

,

0

81

,

9







a

g

Prawo powszechnego

ciążenia

Siła grawitacji między punktami materialnymi lub
jednorodnymi kulami:

Prawo powszechnego

ciążenia

12

F

d



12

r

1

dV

2

dV

1



2



Natężenie pola

grawitacyjnego

M

Praca sił grawitacyjnych







r

Energia potencjalna sił

grawitacyjnych

U

A

U

B

Const =
0





r

cons
t

U

Potencjał pola

grawitacyjnego

Potencjał

- praca wykonana przez siły

grawitacji przy przemieszczeniu punktu
materialnego o jednostkowej masie z danego
punktu pola do nieskończoności



energia

potencjalna masy jednostkowej

.

Powierzchnie ekwipotencjalne

 

r

GM

r

V





Potencjał pola

grawitacyjnego

 

r

GM

r

V





Wektor natężenia pola grawitacyjnego jest prostopadły do
powierzchni ekwipotencjalnej i jest skierowany od
powierzchni o potencjale wyższym do powierzchni o
potencjale niższym.

Zasada równoważności

Masa grawitacyjna Ziemi

Masa grawitacyjna ciała

Masa bezwładna ciała

Przyspieszenie ziemskie
jednakowe dla każdego
ciała.

Stosunek stały

b

g

m

m

Zasada równoważności

Można tak dobrać stałą grawitacji, aby:

Zjawisk wywołanych działaniem

sił

grawitacji

nie można w skali lokalnej

odróżnić od zjawisk wywołanych
działaniem

sił bezwładności

Ogólna teoria względności

Równoważność siły grawitacji i siły
bezwładności w układzie nieinercjalnym

•Pole grawitacyjne równoważne
zakrzywieniu czasoprzestrzeni

Przestrzeń i czas dotąd uważane za
pasywną scenę zdarzeń w istocie tworzą
czasoprzestrzeń, która jest dynamicznym
uczestnikiem wszystkich procesów.

Ogólna Teoria Względności

Geometria Wszechświata

•Geometria płaska

model: dwuwymiarowa
płaszczyzna

Suma kątów w
trójkącie równa jest
180

0

Linie równoległe nie
przecinają się

Geometria Wszechświata

•Geometria
sferyczna

model: powierzchnia
kuli - krzywizna
dodatnia

Suma kątów w
trójkącie równa jest
większa niż 180

0

Linie równoległe
przecinają się
(przykład:południki)

Geometria Wszechświata

•Geometria
hiperboliczna

model: powierzchnia
siodłowa- krzywizna ujemna

Suma kątów w
trójkącie jest mniejsza
niż 180

0

Linie równoległe
rozchodzą się

... i dodatniej

Dr. Stanisław Bajtlik demonstruje powierzchnię o krzywiźnie ujemnej

Zakrzywienie czasoprzestrzeni oznacza, że
najkrótszą linią łącząca dwa punkty jest linia
krzywa – światło w pobliżu dużej masy nie
porusza się po prostej!

Doświadczalne potwierdzenie Ogólnej Teorii
Względności:

W 1919 r. zaobserwowano w czasie zaćmienia Słońca
ugięcie promieni świetlnych biegnących od odległej
gwiazdy.

Gwiazd
a



Słońce

Obserwator

Pozorne położenie
gwiazdy

Ruch pod wpływem sił

centralnych

Siła zależna tylko od odległości

Moment siły centralnej równy zeru:

0







F

r

M







0



M

dt

L

d





Z II zasady dynamiki dla ruchu obrotowego:

wynika, że

moment pędu jest stały

:

const

L 



Ruch pod wpływem sił

centralnych

Pod wpływem

siły centralnej

ciała poruszają

się po tzw.

krzywych stożkowych

: elipsie,

paraboli lub hiperboli.

Słońc
e

Prawa Keplera

- pole trójkąta

S

d



- prędkość polowa

r

d

r

Prawa Keplera

L

m





2

1





Stałe pola zakreślane w jednakowych
odcinkach czasu przez promień wodzący
poruszającego się punktu.

Stała prędkość polowa

Stały moment pędu



Ruchy ciał w polu grawitacyjnym zachodzą
zawsze

w jednej płaszczyźnie

wyznaczonej

przez wektor wodzący ciała (wyprowadzony z
centrum pola) i wektor pędu z jakim ciało
wkracza do pola.

Prawa Keplera

Zasada zachowania momentu pędu.

Układ słoneczny

Prawa Keplera

m

r

2

2

4





Siła grawitacji jest siłą dośrodkową

M

m

T – okres obiegu planety

Dla dwóch planet:

Prawa Keplera

1. Planety poruszają się po torach

eliptycznych. Słońce znajduje się w jednym
z ognisk elipsy.

2. Promień wodzący planety zakreśla w tych

samych przedziałach czasu te same pola.

3. Stosunek kwadratów czasów obiegu planet

wokół Słońca równy jest stosunkowi
trzecich potęg  dużych półosi. 

3 prawa Keplera:

Pierwsza prędkość

kosmiczna

Siła przyciągania
grawitacyjnego jest
równoważona przez siłę
odśrodkową:

Pierwsza prędkość

kosmiczna

Pierwszą prędkością kosmiczną

nazywamy 

najmniejszą możliwą prędkość jaką musi mieć
punkt materialny krążący wokół Ziemi na
orbicie bliskiej promieniowi Ziemi.

Druga prędkość kosmiczna

r

GM

v 

1

Druga prędkość kosmiczna

-

najmniejszą prędkość, która
umożliwia punktowi materialnego
pokonanie siły grawitacji ziemskiej i
oddalenie się w przestrzeń
kosmiczną.

gdzie

M

– masa Ziemi,

R

– odległość

od Ziemi

Trzecia prędkość kosmiczna

Trzecia prędkość kosmiczna

- najmniejszą

prędkość, która umożliwia punktowi
materialnego pokonanie siły grawitacji Słońca
i opuszczenie układu słonecznego.

R

GM

v

S

2

3



gdzie M

S

– masa Słońca, R –

odległość od Słońca

dr

r

dV



Siła grawitacji wewnątrz

jednorodnej kuli

Całą masę Ziemi dzielimy na 2

części:

1. Leżącą bliżej środka Ziemi niż

ciało

2. Leżącą dalej od środka Ziemi

Masa Ziemi zawarta w
elemencie dV :

Więc siła grawitacji od masy w
elemencie dV działająca na
ciało:

Siły od przeciwległych elementów
równoważą się.





dr

r

dr

r

dV

dM

2

2

2























2

2

2

2

r

dr

r

Gm

dF

r

m

dM

G

dF













Siła grawitacji wewnątrz

jednorodnej kuli

Efektywna siła grawitacji pochodzi tylko od
masy leżącej bliżej środka Ziemi niż ciało.

3

4

)

(

3

2

2

x

x

m

G

x

m

x

M

G

F























x

k

x

m

G

F



















3

4



Ruch ciała wrzuconego do tunelu
przechodzącego przez środek Ziemi – drgania
harmoniczne.

x

 

2

2

R

R

GmM

R

mv



Siła odśrodkowa
równoważy siłę
grawitacji.

R

R

GM

v

)

(



Prędkość gwiazd na
peryferiach galaktyki
powinna maleć, gdy rośnie R

Rotacja galaktyk –

ciemna

materia?

Prędkość gwiazdy w odległości R o d środka:

Rotacja galaktyk –

ciemna

materia?

Galaktyki wirują szybciej
niż pozwalają na to
prawa dynamiki i
grawitacji

Muszą zawierać
więcej materii niż
widać!

Prawa dynamiki

Newtona

Obserwowana

zależność

Galaktykę otacza sferyczne halo o rozmiarach
znacznie większych niż rozmiary galaktyki.

Ciemna materia

Galaktyka

Gromady kuliste
otaczające
galaktykę

Ciemna materia

Poszukiwania ciemnej materii w dużo większej skali
– pomiary prędkości galaktyk w gromadach.

Ponad 60 lat temu Fritz
Zwicky badał
przesunięcia
dopplerowskie galaktyk
tworzących gromadę w
Warkoczu Bereniki.

Całkowita masa gromady
okazała się kilkaset razy
większa niż suma mas
galaktyk oszacowana na
podstawie znajomości
jasności i mas
pojedyńczych gwiazd.

Ciemna materia

Pomiary prowadzone w ostatnich 30 latach pokazują,
że wiele galaktyk ma olbrzymie, masywne halo
zbudowane z ciemnej materii.

Dodatkowe potwierdzenie tej hipotezy otrzymano
badając ruch dwóch położonych blisko siebie
galaktyk wokół wspólnego środka masy.

Droga Mleczna i Wielka Mgławica w Andromedzie
zbliżają się do siebie z prędkością względną 270
km/s – masy muszą być dużo większe niż suma mas
gwiazd.

Masa ciemnej materii wydaje się być 5 –
10 razy większa niż materii widzialnej.

Niezależne potwierdzenie dużych mas gromad
galaktyk uzyskuje się dzięki zjawisku soczewkowania
grawitacyjnego, tj. ugięcia promieni świetlnych przez
pole grawitacyjne. Ze względu na duże masy gromad,
efekt ten jest stosunkowo łatwo i często obserwowany.
Jednocześnie, wskutek ogniskowania wiązki światła
wzmocnieniu ulega obserwowana jasność bardzo
odległych galaktyk i kwazarów.

Soczewkowanie grawitacyjne

Soczewkowanie grawitacyjne

Gromada galaktyk A2218 zniekształca obrazy
odległych galaktyk. Na pierwszym planie widać
jasne galaktyki z gromady; cienkie świetliste łuki
są wydłużonymi i zakrzywionymi koncentrycznie
wokół środka masy obrazami galaktyk tła.
Rozmieszczenie i kształt łuków pozwalają
wyznaczyć rozkład masy tej gromady. Fot.
HST/NASA.

Zaginanie promieni świetlnych galaktyki spiralnej przez pole
grawitacyjne gromady galaktyk Cl0024+1654. Znajdujące się na
pierwszym planie żółtawe galaktyki gromady uginają promienie
świetlne niebieskiej galaktyki spiralnej. W wyniku tego powstało
pięć oddzielnych obrazów tej galaktyki: jeden blisko środka
zdjęcia, a pozostałe cztery - rozmieszczone w przybliżeniu wzdłuż
okręgu "na godzinach" 4, 8, 9 i 10. Gromada Cl0024+1654
znajduje się w gwiazdozbiorze Ryb, w odległości około 1500
megaparseków (Mpc); galaktyka spiralna - mniej więcej dwa razy
dalej. Fot. HST/NASA.

Soczewkowanie

grawitacyjne

Ciemna materia

Inne sposoby badania wpływu grawitacji:

Satelita

ROSAT

RO

entgen

SA

telite

W 1992 roku Satelita ROSAT
zbadał promieniowanie
rentgenowskie emitowane z grupy
trzech galaktyk (NGC2300) w
gwiazdozbiorze Cefeusza

Grupa jest zanurzona w obszarze emitującym
promieniowanie rentgenowskie, mającym średnicę
ponad miliona lat świetlnych – energia tego
promieniowania jest 10 miliardów razy większa niż
energia wysyłana ze Słońca w postaci światła
widzialnego.

Ciemna materia

1. Promieniowanie rengenowskie jest emitowane przez

gorący gaz.

2. Natężenie i częstość promieniowania

rentgenowskiego mówi o tym, ile jest tego gazu i
jaką ma temperaturę.

3. Można obliczyć, jaką masę musi zawierać gromada

galaktyk, aby gaz nie rozproszył się w przestrzeni.

4. Należy oszacować całkowitą masę zawartą w

świecących gwiazdach.

Porównanie mas otrzymanych w 3 i 4 kroku
prowadzi do wniosku, że większość masy w
gromadzie NGC2300 to ciemna materia

50 razy więcej ciemnej materii niż

widzialnej!

Ciemna materia

Czym jest ciemna materia?

Wiemy czym nie jest: nie składa się z

barionów

i

leptonów

.

•Obserwacje w 1994 r. wykonane przez
Kosmiczny Teleskop Hubble’a wykluczyły słabo
świecące czerwone karły.

•Kolejny kandydat – ciemne mniejsze ciała jak:
planety, komety, planetoidy (

MACHO – MA

ssive

C

ompact

H

alo

O

bject) również nie może

stanowić głównego składnika ciemnej materii .

Ciemna materia

Czym jest ciemna materia?

Nieznane do tej pory cząstki:

struny kosmiczne,

cząstki supersymetryczne, monopole magnetyczne
i wiele innych.

Neutrina i antyneutrina

- cząstki o masach

niewiele większych od zera – Wszechświat zawiera
około miliarda razy więcej neutrin niż protonów
czy neutronów –

neutrina stanowią nie więcej niż

połowę ciemnej materii.

Poszukiwania tych cząstek niezwykle trudne, bo
oddziałują ze zwykłą materią tylko grawitacyjnie
i słabo.

Ciemna materia

Ciemnej materii poszukuje się także w
laboratoriach.

Podziemne laboratorium pod tamą Oroville w
Kaliforni – poszukiwania

WIMP

(

W

eacly

I

nteracting

M

assive

P

articles)

WIMP –hipotetyczne cząstki o masie 10 – 100
GeV.

Przypuszcza się, że w każdej sekundzie 100 000
wimpów przechodzi przez każdy cm

2

Ziemi, w

tym również przez nasze ciała.