1

ELEKTROTECHNIKA II

prof. dr hab. inż. T. Niedziela

2

Układy trójfazowe

3

Literatura

1. Bolkowski S.: Elektrotechnika. Wydawnictwo

Szkolne i Pedagogiczne Spółka Akcyjna, Warszawa

1993.
2. Bolkowski S.: Elektrotechnika teoretyczna, Tom 1,

Teoria obwodów elektrycznych. Wydawnictwo

Naukowo – Techniczne, Warszawa 1986.
3. Goźlińska E. Maszyny elektryczne. Wydawnictwo

Szkolne i Pedagogiczne Spółka Akcyjna, Warszawa

1995r.
4. Lucyk C. Zasady energoelektryki. Oficyna

Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa

2000.
5. Lucyk C. Elektrotechnika podstawowa, Warszawa

2006. –

http://www.it.pw.edu.pl

/-clucyk

4

Wstęp



Energia elektryczna

przy napięciu i prądzie

zmiennym

lepiej nadaje się do przesyłania na duże

odległości niż energia elektryczna przy napięciu i
prądzie zmiennym.



Zatem wytwarzanie, przesyłanie i rozdzielanie energii
elektrycznej aktualnie jest dokonywane przy użyciu
urządzeń prądu zmiennego.



Spośród wszystkich stosowanych w elektrotechnice
przebiegów zmiennych najbardziej rozpowszechnione
są

przebiegi o zmienności sinusoidalnej

w czasie.

5

5

5

Podstawowe pojęcia

Układ wielofazowy

to zbiór obwodów

elektrycznych, w których działają napięcia
źródłowe sinusoidalnie zmienne o jednakowej
częstotliwości, przesunięte względem siebie w
fazie i wytwarzane w jednym źródle energii
zwanym

prądnicą

lub

generatorem

wielofazowym.

Poszczególne obwody prądnicy wielofazowej
nazywamy

obwodami fazowymi

-

fazami

(według normy PN-90/E-01242 oznaczeniami

(według normy PN-90/E-01242 oznaczeniami

faz są

faz są

L

1

, L

2

, L

2

i

N

)

)

.

.

Początki uzwojeń kolejnych faz prądnicy
oznaczamy

U1, V1, W1

, a końce faz

U2, V2, W2

.

6

6

6

W prądnicy trójfazowej rozróżniamy

STATOR

(nazywany

stojanem) – w którym są

umieszczone uzwojenia, oraz

ROTOR

(wirnik)

pełniący rolę magneśnicy i wirujący ze stałą
prędkością kątową.

Zasada działania prądnicy

polega na

polega na

przecinaniu

trzech,

przesuniętych

przecinaniu

trzech,

przesuniętych

przestrzennie o kąt 2π/3, uzwojeń przez stały

przestrzennie o kąt 2π/3, uzwojeń przez stały

strumień magnetyczny wytworzony w wirniku.

strumień magnetyczny wytworzony w wirniku.

Do

wytwarzania

napięć

w

układzie

trójfazowym służą

prądnice trójfazowe

(generatory) .

7

W każdym

uzwojeniu fazowym indukuje się

napięcie źródłowe e sinusoidalnie zmienne

, przy

czym ze względu na symetrię układu i przesunięcie
przestrzenne uzwojeń o ten sam kąt, w fazach
indukują się napięcia o jednakowych amplitudach, o
tej samej częstotliwościach i przesunięte względem
siebie o 1/3 okresu. Równania chwilowe napięć
źródłowych wytwarzanych w prądnicy trójfazowej
mają postać:

8

sin

A

m

e

E

t

w

=

2

sin

3

B

m

e

E

t

p

w

�

�

=

-

�

�

�

�

2

sin

3

C

m

e

E

t

p

w

�

�

=

+

�

�

�

�

9

Równania napięć źródłowych

Równania napięć źródłowych

(napięć

(napięć

fazowych)

fazowych)

wytwarzanych w prądnicy

trójfazowej, można przedstawić również

w

w

postaci zespolonej

postaci zespolonej

Napięcie źródłowe fazy B

Napięcie źródłowe fazy B

opóźnia się o kąt

2π/3 względem napięcia źródłowego fazy A,
natomiast

napięcie źródłowe fazy C

opóźnia

się

o

kąt

2π/3

względem

napięcia

źródłowego fazy B, a wyprzedza o 2π/3
napięcie źródłowe fazy A.

A

E

E

=

2

3

j

B

E

Ee

p

-

=

2

3

j

C

E

Ee

p

=

10

3

2

л

3

2

3

2

л

A

E

C

E

B

E

a)



Układ napięć będziemy nazywać układem

symetrycznym zgodnym (rys. 2a), gdy przy
(zaznaczonym na rys. 2a) dodatnim kierunku
wirowania, następstwo faz jest zgodne, przez
co rozumiemy następstwo A, B, C. Rys 2.

11

Układ napięć nazywamy układem symetrycznym
przeciwnym, gdy przy (zaznaczonym na rys. 2b)
dodatnim kierunku wirowania, następstwo faz jest
przeciwne w stosunku do przyjętego za zgodne, czyli
A

,

C, B.

Rys 2

3

2

л

3

2

3

2

л

A

E

B

E

C

E

b)

A

E

C

E

c)



12

Układ trójfazowy

został po raz pierwszy

zastosowany w 1889 r. Ważnym osiągnięciem było
wówczas opracowanie urządzeń do wytwarzania i
przetwarzania energii prądu trójfazowego.

Zostały

zbudowane,

oprócz

prądnicy

trójfazowej

,

transformator trójfazowy

oraz

silnik indukcyjny trójfazowy

.

Silnik trójfazowy

okazał się najtańszym i bardzo

wygodnym przetwornikiem energii elektrycznej w
mechaniczną.

Również

przesyłanie energii elektrycznej

za

pomocą linii trójfazowych jest zarówno ze względów
technicznych jak i ekonomicznych aktualnie
niezastąpione.

13

Klasyfikacja układów

Klasyfikacja układów

trójfazowych

trójfazowych

Układ trójfazowy jest symetryczny,

jeśli

prądnica trójfazowa symetryczna jest połączona z
odbiornikiem złożonym z

trzech identycznych

impedancji

zespolonych

.

Fazy

prądnicy

oraz

impedancje

odbiornika

można kojarzyć w gwiazdę lub w trójkąt.

Prądnica

jest połączona w

gwiazdę

,

jeśli końce

uzwojeń

U2, V2, W2

trzech faz są ze sobą

połączone we wspólny punkt oznaczonym literą

N

,

a

początki uzwojeń

U1, V1, W1

tworzą zaciski

prądnicy.

14

Z punktu widzenia

sposobu połączenia

źródła i odbiornika

można wyróżnić pięć

różnych układów podstawowych:

- układ trójfazowy gwiazda - gwiazda
trójprzewodowy,

- układ trójfazowy gwiazda - gwiazda
czteroprzewodowy,

-układ trójfazowy trójkąt – trójkąt,

-układ trójfazowy trójkąt –gwiazda,

-układ trójfazowy gwiazda – trójkąt.

15

Wspólny punkt trzech faz przy skojarzeniu w gwiazdę
nazywamy

punktem zerowym lub punktem

neutralnym

.

Jeśli są połączone w gwiazdę fazy zarówno źródła, jak i
odbiornika, to ponadto mogą być ze sobą połączone
punkty zerowe.

Przewód łączący punkty zerowe źródła i odbiornika
nazywamy

przewodem zerowym lub przewodem

neutralnym

.

Pozostałe trzy przewody nazywamy

przewodami fazowymi

.

16

W układzie gwiazdowym napięcia

pomiędzy

punktem zerowym i końcem uzwojenia fazy

lub

między przewodem zerowym, a jednym z przewodów
fazowych nazywamy

napięciem fazowym

Napięcie

pomiędzy końcami faz

źródła lub

odbiornika

,

a także napięcie pomiędzy

przewodami fazowymi

nazywamy

napięciem

międzyfazowym

Prąd płynący w przewodzie fazowym nazywamy

prądem przewodowym

17

W układzie gwiazda—gwiazda
czteroprzewodowym prąd płynący w
przewodzie zerowym (neutralnym) nazywamy

prądem zerowym

lub neutralnym i

oznaczamy I

0

lub I

N

.

W układzie trójkątowym prąd płynący w
fazie źródła lub odbiornika nazywamy
prądem fazowym.

18

Odbiornik

Odbiornik

można skojarzyć w gwiazdę łącząc jedne

można skojarzyć w gwiazdę łącząc jedne

końcówki impedancji (

końcówki impedancji (

Z

Z

A

A

,

,

Z

Z

B

B

,

,

Z

Z

C

C

)

)

we wspólny punkt,

we wspólny punkt,

a trzy pozostałe końcówki wyprowadzając na

a trzy pozostałe końcówki wyprowadzając na

zewnątrz.

zewnątrz.

Układ trójfazowy gwiazda – gwiazda

Układ trójfazowy gwiazda – gwiazda

trójprzewodowy

trójprzewodowy

19

Napięcia fazowe źródłowe

oznacza się jako

(E

A

,E

B

,E

C

),

impedancje fazowe odbiornikowe

(Z

A

,Z

B

,Z

C

),

napięcia fazowe odbiornikowe

(U

A

,U

B

,U

C

),

napięcia

międzyfazowe

(U

AB

,U

BC

,U

CA

),

prądy przewodowe

(I

A

,I

B

,I

C

).

20

Jeśli połączymy bezimpedancyjnie lub przez
pewną impedancję punkty neutralne źródła i
odbiornika, to otrzymamy

układ trójfazowy

gwiazda

–

gwiazda czteroprzewodowy.

21

22

Prądnica może być połączona w trójkąt

jeśli koniec

pierwszej fazy połączymy z początkiem drugiej, koniec
drugiej fazy z początkiem trzeciej, a koniec trzeciej fazy
z początkiem z początkiem pierwszej.

Odbiornik też

można połączyć w trójkąt

.

Jeżeli źródło jest połączone w

Jeżeli źródło jest połączone w

trójkąt, a odbiornik również w trójkąt, to mamy

trójkąt, a odbiornik również w trójkąt, to mamy

układ

układ

trójfazowy trójkąt – trójkąt.

trójfazowy trójkąt – trójkąt.

23

Jeżeli źródło jest połączone w trójkąt, a odbiornik w

Jeżeli źródło jest połączone w trójkąt, a odbiornik w

gwiazdę, to mamy

gwiazdę, to mamy

układ trójfazowy trójkąt –

układ trójfazowy trójkąt –

gwiazda

gwiazda

.

.

24

Jeśli źródło jest połączone w gwiazdę, a odbiornik w

Jeśli źródło jest połączone w gwiazdę, a odbiornik w

trójkąt, to mamy

trójkąt, to mamy

układ trójfazowy gwiazda –

układ trójfazowy gwiazda –

trójkąt

trójkąt

.

.

25

W układzie gwiazdowym

W układzie gwiazdowym

napięcie występujące

napięcie występujące

między punktem neutralnym prądnicy i końcem

między punktem neutralnym prądnicy i końcem

uzwojenia fazy

uzwojenia fazy

nazywamy napięciem fazowym

nazywamy napięciem fazowym

źródła

źródła

(

(

E

E

A

A

,

,

E

E

B

B

,

,

E

E

C

C

). Analogicznie dla odbiornika

). Analogicznie dla odbiornika

określamy

określamy

napięcie fazowe odbiornika

napięcie fazowe odbiornika

(

(

U

U

A

A

,

,

U

U

B

B

,

,

U

U

C

C

).

).

Napięcia międzyfazowe

Napięcia międzyfazowe

(

(

U

U

AB

AB

,

,

U

U

BC

BC

,

,

U

U

CA

CA

) lub

) lub

liniowe

liniowe

– napięcie występujące między kolejnymi parami

– napięcie występujące między kolejnymi parami

zacisków prądnicy lub odbiornika, czyli

zacisków prądnicy lub odbiornika, czyli

napięcia

napięcia

między przewodami fazowymi.

między przewodami fazowymi.

Prądy przewodowe

Prądy przewodowe

(

(

I

I

A

A

,

,

I

I

B

B

,

,

I

I

C

C

) – prądy płynące w

) – prądy płynące w

przewodach fazowych.

przewodach fazowych.

Prądy fazowe

Prądy fazowe

(

(

I

I

AB

AB

,

,

I

I

BC

BC

,

,

I

I

CA

CA

,) – prądy płynące w

,) – prądy płynące w

fazach odbiornika trójkątowego.

fazach odbiornika trójkątowego.

26

UKŁADY

UKŁADY

TRÓJFAZOWE

TRÓJFAZOWE

SYMETRYCZNE

SYMETRYCZNE

27

A.

A.

Połączenie odbiornika w gwiazdę

Połączenie odbiornika w gwiazdę

Układ trójfazowy jest symetryczny,

jeśli prądnica

trójfazowa symetryczna jest połączona z odbiornikiem
symetrycznym (tzn. złożonym z

trzech identycznych

impedancji

zespolonych

(

(

Z

Z

A =

A =

Z

Z

B =

B =

Z

Z

C

C

)

).

Z punktu widzenia sposobu połączenia źródła i odbiornika

Z punktu widzenia sposobu połączenia źródła i odbiornika

( jak już powiedziano) możemy wyróżnić

( jak już powiedziano) możemy wyróżnić

pięć różnych

pięć różnych

układów podstawowych

układów podstawowych

.

.

Jednak

Jednak

dla obliczeń

dla obliczeń

zasadnicze znaczenie ma sposób

zasadnicze znaczenie ma sposób

połączenia odbiornika. Podłączenie źródła jest tu mniej

połączenia odbiornika. Podłączenie źródła jest tu mniej

istotne, ponieważ przeważnie odbiorniki są dołączone do sieci

istotne, ponieważ przeważnie odbiorniki są dołączone do sieci

systemu, w którym punkt neutralny transformatora

systemu, w którym punkt neutralny transformatora

trójfazowego, w zależności od sposobu jego połączenia, może

trójfazowego, w zależności od sposobu jego połączenia, może

być uziemiony lub izolowany.

być uziemiony lub izolowany.

28

Układ trójfazowy czteroprzewodowy, do

Układ trójfazowy czteroprzewodowy, do

którego dołączono odbiornik połączony w

którego dołączono odbiornik połączony w

gwiazdę z uziemionym punktem neutralnym

gwiazdę z uziemionym punktem neutralnym

29

Ten sam układ

Ten sam układ

(układ trójfazowy symetryczny z

(układ trójfazowy symetryczny z

odbiornikiem połączonym w gwiazdę)

odbiornikiem połączonym w gwiazdę)

może być

może być

przedstawiony następująco. Dorysowanie źródła ułatwia

przedstawiony następująco. Dorysowanie źródła ułatwia

zrozumienie zależności występujących w tym układzie.

zrozumienie zależności występujących w tym układzie.

30

Obliczenie układu

Obliczenie układu

polega na

polega na

wyznaczeniu

wyznaczeniu

prądów przewodowych i fazowych, napięć

prądów przewodowych i fazowych, napięć

fazowych odbiornika oraz mocy czynnej,

fazowych odbiornika oraz mocy czynnej,

biernej i pozornej pobieranej przez odbiornik

biernej i pozornej pobieranej przez odbiornik

.

.

Dla uproszczenia załóżmy ze faza początkowa
napięcia źródłowego (fazy A) jest równa zeru

.

Napięcia fazowe źródła (

Napięcia fazowe źródła (

E

E

A,

A,

E

E

B

B

,

,

E

E

C

C

)

)

przedstawimy w

przedstawimy w

postaci zespolonej:

postaci zespolonej:

A

E

E

=

2

3

1

3

2

2

j

B

A

A

E

E e

E

j

p

-

�

�

-

=

=

- -

�

�

�

�

�

�

2

3

1

3

2

2

j

C

A

A

E

E e

E

j

p

�

�

-

=

=

- +

�

�

�

�

�

�

31

gdyż:

gdyż:

2

2

3

3

1

3

1

3

;

2

2

2

2

j

j

e

j

e

j

p

p

-

=- -

=- +

Z powyższych zależności (po dodaniu stronami)

Z powyższych zależności (po dodaniu stronami)

wynika, że:

wynika, że:

0

A

B

C

E

E

E

+

+

=

W układzie trójfazowym symetrycznym
gwiazda-gwiazda

potencjał

punktu

neutralnego

(N)

źródła

jest

równy

potencjałowi punktu neutralnego odbiornika
(N’).

32

W takim razie jeżeli

W takim razie jeżeli

w uk

w ukł

adzie trójfazowym symetrycznym gwiazda-gwiazda

adzie trójfazowym symetrycznym gwiazda-gwiazda

potencja

potencjał punktu neutralnego źródła jest równy potencjałowi punktu neutralnego odbiornika , to

E

A

= U

A

E

B

= U

B

E

C

= U

C

zatem

stwierdzamy, że w układzie trójfazowym symetrycznym

przy połączeniu odbiornika w gwiazdę:

Suma wartości skutecznych zespolonych napięć fazowych odbiornika jest równa zeru.

0

A

B

C

U

U

U

+

+

=

33

0

A

B

C

U

U

U

+

+

=

Wobec równości potencjałów punktów neutralnych N i
N’ można te punkty zewrzeć,

zatem prądy fazowe

odbiornikowe:

A

A

A

B

B

B

C

C

C

E

U

I

Z

Z

E

U

I

Z

Z

E

U

I

Z

Z

=

=

=

=

=

=

34

Ponieważ impedancja każdej fazy odbiornika wynosi:

Ponieważ impedancja każdej fazy odbiornika wynosi:

j

Z Ze

R jX

j

=

= +

zatem

zatem

prądy

prądy

fazowe

fazowe

:

:

2

2

3

3

2

2

3

3

j

j

A

A

A

j

j

j

B

B

A

j

j

j

C

C

A

E

I

e

I e

Z

E

I

e

e

I e

Z

E

I

e e

I e

Z

j

j

p

p

j

j

p

p

j

j

-

-

�

�

-

+

-

�

�

-

�

�

�

�

+

�

�

-

�

�

=

=

=

=

=

=

35

a

moduły prądów przewodowych (I

A

, I

B

, I

C

) są

odpowiednio:

A

A

B

C

p

E

I

I

I

I

Z

= = =

=

Wniosek

Wniosek

.

.

Moduły prądów we wszystkich fazach są

Moduły prądów we wszystkich fazach są

jednakowe

jednakowe

,

,

ponadto

wartości

skuteczne

ponadto

wartości

skuteczne

zespolone:

zespolone:

2

3

1

3

2

2

j

B

A

A

I

I e

I

j

p

-

�

�

-

=

=

- -

�

�

�

�

�

�

2

3

1

3

2

2

j

C

A

A

I

I e

I

j

p

�

�

=

=

- +

�

�

�

�

�

�

36

Zatem:

Zatem:

0

A

B

C

I

I

I

+ + =

Wniosek.

Suma wartości skutecznych zespolonych
prądów przewodowych jest równa zeru.

Stąd wynika, że w układzie symetrycznym

prąd w przewodzie neutralnym jest równy
zeru.

Napięcie międzyfazowe

jest różnicą napięć

fazowych,

przy

czym

działania

należy

przeprowadzać na wartościach skutecznych
zespolonych.

37

Zatem:

Zatem:

AB

A

B

BC

B

C

CA

C

A

U

U

U

U

U

U

U

U

U

=

-

=

-

=

-

Modu

Moduł

y napięć międzyfazowych są sobie

y napięć międzyfazowych są sobie

równe

równe

:

:

AB

BC

CA

p

U

U

U

U

=

=

=

a

suma wartości skutecznych zespolonych

napięć międzyfazowych jest równa zeru,

czyli:

0

AB

BC

CA

U

U

U

+

+

=

38

Na kolejnym rysunku zobrazujemy wyniki

naszych obliczeń w postaci wykresu
wektorowego napięć i prądów dla układu
trójfazowego symetrycznego przy
podłączeniu odbiornika w gwiazdę

39

Wykres wektorowy napięć i prądów dla

Wykres wektorowy napięć i prądów dla

uk

ukł

adu trójfazowego symetrycznego przy

adu trójfazowego symetrycznego przy

po

poł

ączeniu odbiornika w gwiazdę

ączeniu odbiornika w gwiazdę

40

Na wykresie wektorowym przedstawiliśmy

Na wykresie wektorowym przedstawiliśmy

napięcia

fazowe

napięcia

fazowe

(

(

U

U

A

A

,

,

U

U

B

B

,

,

U

U

C

C

)

)

,

,

międzyfazowe

międzyfazowe

(

(

U

U

AB

AB

,

,

U

U

BC

BC

,

,

U

U

CA

CA

)

)

oraz prądy

oraz prądy

przewodowe, które są równe prądom

przewodowe, które są równe prądom

fazowym odbiornika

fazowym odbiornika

(

(

I

I

A

A

,

,

I

I

B

B

,

,

I

I

C

C

) przy

) przy

po

po

łączeniu

impedancji

fazowych

w

gwiazdę

.

.

Ponieważ

Ponieważ

trzy

wektory

napięć

trzy

wektory

napięć

międzyfazowych

międzyfazowych

(

(

U

U

AB

AB

,

,

U

U

BC

BC

,

,

U

U

CA

CA

)

)

tworzą

tworzą

trójkąt

trójkąt

, zatem ich suma jest równa zeru.

, zatem ich suma jest równa zeru.

41

Z zależności dla trójkąta równoramiennego o

Z zależności dla trójkąta równoramiennego o

bokach

bokach

U

U

A

,

,

U

U

B

B

,

,

U

U

AB

AB

i o kątach 2π/3, π/6 i π/6

i o kątach 2π/3, π/6 i π/6

wynika że

wynika że

moduł napięcia

moduł napięcia

międzyfazowego U

międzyfazowego U

AB

AB

= U

= U

p

p

jest pierwiastek

jest pierwiastek

z 3 razy większy od modułu napięcia

z 3 razy większy od modułu napięcia

fazowego U

fazowego U

f

f

,

,

czyli:

czyli:

3

f

Up

U

=

42

Z zależności tej wynika, że w sieci o napięciu

Z zależności tej wynika, że w sieci o napięciu

fazowym U

fazowym U

f

f

= 220V, napięcie międzyfazowe:

= 220V, napięcie międzyfazowe:

3 220 380

P

U

V

=

�

=

Moc czynną P pobraną przez odbiornik

Moc czynną P pobraną przez odbiornik

trójfazowy symetryczny

trójfazowy symetryczny

możemy obliczyć

możemy obliczyć

jako potrójną wartość (3P

jako potrójną wartość (3P

f

f

) mocy pobieranej

) mocy pobieranej

przez jedną fazę odbiornika:

przez jedną fazę odbiornika:

2

P

ff

ff

U I cos

RI

j

=

=

przy czym R, jest rezystancją jednej fazy odbiornika.

przy czym R, jest rezystancją jednej fazy odbiornika.

43

Zatem moc czynna

Zatem moc czynna

pobierana przez

pobierana przez

odbiornik

odbiornik

trójfazowy symetryczny

trójfazowy symetryczny

:

:

2

3P

3

ff

ff

P

U I cos

RI

j

=

=

=

Po podstawieniu otrzymujemy ,

Po podstawieniu otrzymujemy ,

moc czynną

moc czynną

P

P

jako:

jako:

3

cos

3

cos

3

p p

p p

P

U I

U I

j

j

=

=

Wzór ten jest najczęściej stosowany do

Wzór ten jest najczęściej stosowany do

obliczania mocy czynnej P pobieranej przez

obliczania mocy czynnej P pobieranej przez

odbiornik

trójfazowy

symetryczny,

gdyż

odbiornik

trójfazowy

symetryczny,

gdyż

uzależnia moc od wartości związanych z

uzależnia moc od wartości związanych z

parametrami sieci zasilającej odbiornik (

parametrami sieci zasilającej odbiornik (

U

U

p

p

oraz

oraz

I

I

p

p

).

).

44

Podobnie

Podobnie

moc bierną Q

moc bierną Q

obliczamy jako potrójną

obliczamy jako potrójną

wartość mocy biernej pobieranej przez jedną

wartość mocy biernej pobieranej przez jedną

fazę. Przy czym X jest reaktancją jednej fazy

fazę. Przy czym X jest reaktancją jednej fazy

odbiornika.

odbiornika.

2

3

sin

3

ff

f

Q

U I

XI

j

=

=

Po podstawieniu otrzymujemy

Po podstawieniu otrzymujemy

wzór na moc

wzór na moc

bierną pobieraną przez odbiornik

bierną pobieraną przez odbiornik

trójfazowy symetryczny

trójfazowy symetryczny

:

:

3

sin

p p

Q

U I

j

=

Moc pozorna:

Moc pozorna:

2

2

3

p p

S

P

Q

S

U I

=

+

=

Zatem

Zatem

moc pozorna

moc pozorna

:

:

45

Na kolejnym rysunku zilustrujemy

układ

trójfazowy symetryczny

, w którym

odbiornik połączono w trójkąt,

natomiast

źródło w gwiazdę.

Punktem wyjścia do naszych obliczeń

prądów

fazowych, napięć fazowych oraz mocy

czynnej, biernej i pozornej odbiornika

są

napięcia międzyfazowe.

Gdyby źródło było połączone np. w trójkąt,

Gdyby źródło było połączone np. w trójkąt,

wówczas napięcia międzyfazowe są

wówczas napięcia międzyfazowe są

jednocześnie napięciami fazowymi źródła

jednocześnie napięciami fazowymi źródła

.

.

Połączenie odbiornika w trójkąt

46

B.

B.

Połączenie odbiornika w trójkąt

Połączenie odbiornika w trójkąt

Uk

Ukł

ad trójfazowy symetryczny z odbiornikiem

ad trójfazowy symetryczny z odbiornikiem

po

poł

ączonym w trójkąt

ączonym w trójkąt

47

Wyznaczone za pomocą powyższych równań

Wyznaczone za pomocą powyższych równań

napięcia międzyfazowe tworzą układ

napięcia międzyfazowe tworzą układ

trójfazowy symetryczny napięć

trójfazowy symetryczny napięć

,

,

przy czym

przy czym

po założeniu, że faza początkowa napięcia

po założeniu, że faza początkowa napięcia

międzyfazowego

międzyfazowego

U

U

AB

AB

jest

równa

zeru

jest

równa

zeru

otrzymamy:

otrzymamy:

AB

A

B

BC

B

C

CA

C

A

U

E

E

U

E

E

U

E

E

=

-

=

-

=

-

48

Z powyższych zależności wynika, że wektory napięć

fazowych (U

AB,

U

BC

,

U

CA

) odbiornika tworzą gwiazdę

symetryczną gdzie ich suma jest równa zero.

2

3

2

3

1

3

2

2

1

3

2

2

AB

AB

j

BC

AB

AB

j

CA

AB

AB

U

U

U

U e

U

j

U

U e

U

j

p

p

-

=

�

�

=

=

- -

�

�

�

�

�

�

�

�

=

=

- +

�

�

�

�

�

�

49

0

AB

BC

CA

U

U

U

+

+

=

a moduły tych napięć (napięć

międzyfazowych) są jednakowe

(U

AB

= U

BC

= U

CA

= U

f

)

50

j

j

AB

AB

AB

AB

U

U

I

e

I e

Z

Z

j

j

-

-

=

=

=

Prądy fazowe odbiornika (

Prądy fazowe odbiornika (

I

I

AB

AB

, I

BC

, I

CA

)

)

możemy wyznaczyć z prawa Ohma dla wartości

możemy wyznaczyć z prawa Ohma dla wartości

skutecznych zespolonych:

skutecznych zespolonych:

j

Z Ze

R jX

j

=

= +

Obliczone

napięcia międzyfazowe występują na

zaciskach odbiornika

, którego

impedancja każdej

fazy

wynosi:

51

2

2

3

3

2

2

3

3

j

j

j

BC

AB

BC

AB

j

j

j

CA

AB

CA

AB

U

U

I

e

e

I e

Z

Z

U

U

I

e e

I e

Z

Z

p

p

j

j

p

p

j

j

�

�

-

+

-

�

�

-

�

�

�

�

+

�

�

-

�

�

=

=

=

=

=

=

Powyższe

wyrażenia wskazują, że

wektory

prądów
fazowych odbiornika tworzą gwiazdę
symetryczna ale opóźnioną o kąt

φ

w stosunku

do gwiazdy napięć fazowych.

52

AB

AB

BC

CA

f

U

I

I

I

I

Z

=

=

=

=

Przy czym:

Stwierdzamy więc, moduły prądów fazowych

Stwierdzamy więc, moduły prądów fazowych

płynących w gałęziach odbiornika

płynących w gałęziach odbiornika

po

po

ł

ł

ączonego w trójkąt są jednakowe i równe

ączonego w trójkąt są jednakowe i równe

prądowi fazowemu I

prądowi fazowemu I

f

f

.

.

53

2

3

2

3

1

3

2

2

1

3

2

2

j

BC

AB

AB

j

CA

AB

AB

I

I e

I

j

I

I e

I

j

p

p

-

�

�

-

=

=

- -

�

�

�

�

�

�

�

�

=

=

- +

�

�

�

�

�

�

Wniosek.

Suma

wartości

skutecznych

zespolonych prądów fazowych jest równa
zeru.

Prądy przewodowe

obliczamy jako różnicę

odpowiednich

prądów fazowych

.

Korzystając z

prawa

Kirchhoffa

dla

kolejnych

węzłów

otrzymujemy:

Zatem:

Zatem:

0

AB

BC

CA

I

I

I

+

+

=

54

A

AB

CA

B

BC

AB

C

CA

BA

I

I

I

I

I

I

I

I

I

=

-

=

-

=

-

A

B

C

P

I

I

I

I

= = =

0

A

B

C

I

I

I

+ + =

Moduły prądów przewodowych są sobie
równe,

tzn:

a

suma

ich

wartości

skutecznych

zespolonych jest równa zeru,

czyli:

55

Obliczenia

przedstawimy

na

wykresie

wektorowym.

Wykreślamy trzy wektory napięć

międzyfazowych

(faza początkowa U

AB

jest

równa zeru).

Prąd fazowy

w każdej fazie jest opóźniony

względem napięcia fazowego o kąt φ.

Wektory prądów fazowych

( I

AB

, I

BC

, I

CA

)

tworzą

gwiazdę symetryczną.

Wektor prądu przewodowego

opóźnia się

względem wektora prądu fazowego o 30

0

.

56

Wykres wektorowy prądów i napięć dla układu

trójfazowego symetrycznego przy połączeniu

odbiornika w trójkąt

57

Ponieważ

trzy

wektory

prądów

Ponieważ

trzy

wektory

prądów

przewodowych

przewodowych

(

(

I

I

A

A

,

,

I

I

B

B

,

,

I

I

C

C

)

)

tworzą trójkąt,

tworzą trójkąt,

zatem ich suma jest równa zeru

zatem ich suma jest równa zeru

,

,

co jest

co jest

zgodne z obliczeniami. Z zależności trójkąta

zgodne z obliczeniami. Z zależności trójkąta

równoramiennego i kątów wynika, że

równoramiennego i kątów wynika, że

moduł

moduł

prądu przewodowego (I

prądu przewodowego (I

A

A

=I

=I

B

B

=I

=I

C

C

=I

=I

p

p

)

)

jest

jest

pierwiastek z trzech razy większy od modułu

pierwiastek z trzech razy większy od modułu

prądu fazowego

prądu fazowego

(I

(I

AB

AB

=I

=I

BC

BC

=I

=I

CA

CA

=I

=I

f

f

)

)

.

.

3

f

Ip

I

=

Dla odbiornika połączonego w trójkąt

, moc

pobieraną przez odbiornik trójfazowy symetryczny
połączony w trójkąt obliczamy jako potrójną wartość
mocy pobieranej przez jedną fazę a zatem

moc

czynna P

:

2

3P

3

3

ff

ff

P

U I cos

RI

j

=

=

=

58

Przy czym R jest rezystancją jednej fazy

Przy czym R jest rezystancją jednej fazy

odbiornika.

odbiornika.

Po podstawieniu I

Po podstawieniu I

f

f

=I

=I

p

p

/3

/3

1/2

1/2

oraz U

oraz U

p

p

=U

=U

f

f

moc

moc

czynna P jest równa

czynna P jest równa

:

:

3

cos

3

cos

3

p p

p p

P

U I

U I

j

j

=

=

Podobnie

moc bierną

Q

obliczymy jako

potrójną wartość mocy biernej, pobieranej przez
jedną fazę.

2

3

sin

3

ff

f

Q

U I

XI

j

=

=

Po uwzględnieniu zależności na

I

I

f

f

oraz U

oraz U

f

f

,

moc

pozorna S

:

3

p p

S

U I

=

59

WNIOSKI:

WNIOSKI:

1. Niezależnie od sposobu połączenia faz

1. Niezależnie od sposobu połączenia faz

odbiornika trójfazowego symetrycznego,

odbiornika trójfazowego symetrycznego,

odpowiednio

odpowiednio

moc czynną, bierną i pozorną

moc czynną, bierną i pozorną

obliczamy z tych samych wzorów

obliczamy z tych samych wzorów

.

.

2.

Do

obliczania

mocy

odbiornika

2.

Do

obliczania

mocy

odbiornika

trójfazowego symetrycznego po

trójfazowego symetrycznego poł

ączonego

ączonego

w gwiazdę i trójkąt jest potrzebna

w gwiazdę i trójkąt jest potrzebna

znajomość napięcia międzyfazowego, prądu

znajomość napięcia międzyfazowego, prądu

przewodowego i kata fazowego odbiornika.

przewodowego i kata fazowego odbiornika.

3. Suma prądów fazowych i napięć fazowych

3. Suma prądów fazowych i napięć fazowych

odbiornika trójfazowego symetrycznego

odbiornika trójfazowego symetrycznego

po

poł

ączonego zarówno w gwiazdę i trójkąt

ączonego zarówno w gwiazdę i trójkąt

jest równa zero.

jest równa zero.

60

DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ

DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ

61

Źródła:

Źródła:

„

„

Elektrotechnika” – Bolkowski

Elektrotechnika” – Bolkowski

Równania matematyczne napisano w programie:

Równania matematyczne napisano w programie:

MathType 5.0

MathType 5.0

Schematy układów elektrycznych w nakładce

Schematy układów elektrycznych w nakładce

programu MS Word.

programu MS Word.