Mechanika

Mechanika

Ogólna

Ogólna

Statyka

Statyka

Wykład VI

Wykład VI

Adam F.

Adam F.

Bolt

Bolt

Wykład VI

Wykład VI



Redukcja dowolnego przestrzennego
układu sił



Redukcja dowolnego przestrzennego
układu sił do skrętnika



Redukcja dowolnego przestrzennego
układu sił do dwóch sił skośnych



Redukcja dowolnego przestrzennego
układu sił do siły wypadkowej



Redukcja dowolnego przestrzennego
układu sił do pary sił



Równowaga dowolnego przestrzennego
układu sił

Dowolny przestrzenny układ

Dowolny przestrzenny układ

sił

sił

3

Redukcja dowolnego
przestrzennego
uładu sił

4

Przestrzenny układ sił

Układ sił o dowolnie rozmieszczonych w przestrzeni
liniach działania

5

Przestrzenny układ sił

6

Redukcja pzestrzennego układu
sił



Przestrzenny układ sił działających na ciało
sztywne można zastąpić siłą R przyłożoną
do dowolnie wybranego środka redukcji 0,
równą sumie geometrycznej wszystkich sił
układu, oraz parą sił o momencie M

o

równym sumie geometrycznej momentów
tych sił względem środka redukcji.

R - wektor główny

Mo - moment główny względem środka
redukcji O

7

Wektor główny R i moment główny M

o

przestrzennego układu sił

8

Wektor główny R

9

Moment główny M

o

przestrzennego układu

sił

10

Moment główny M

o

przestrzennego układu

sił

11

Redukcja układu sił do nowego środka

Redukcja układu sił do nowego środka

redukcji

redukcji

O

O

1

1

Zakłada się,że układ n sił, zredukowany
względem środka redukcji O można zredukować
względem innego środka redukcji np. punktu

O

1

12

Redukcja przestrzennego układu sił do

Redukcja przestrzennego układu sił do

nowego środka redukcji

nowego środka redukcji

Zredukowanie układu n sił względem
innego środka redukcji powoduje
jedynie zmianę momentu głównego
układu, nie wywołując zmiany wektora
głównego.

Moment główny względem środka redukcji O

1

wynosi:

M

o1

= M

o

= r

1

x R (6.8)

13

Redukcja przestrzennego układu sił do

Redukcja przestrzennego układu sił do

nowego środka redukcji

nowego środka redukcji

14

Redukcja przestrzennego układu sił do

Redukcja przestrzennego układu sił do

nowego środka redukcji

nowego środka redukcji

Iloczyn skalarny momentu głównego układu
względem dowolnego środka redukcji i
wektora głównego jest stały, ponieważ
wektor główny R nie zależy od wyboru
środka redukcji.

15

Redukcja przestrzennego układu sił do

Redukcja przestrzennego układu sił do

nowego środka redukcji

nowego środka redukcji

Z zależności (6.10) dodatkowo wynika, że
iloczyn M

o

cos



jako wartość rzutu

momentu głównego M

o

na kierunek

wektora głównego jest także wielkością
stałą.
Zatem każdy układ sił ma dwa
niezmienniki (tj. wielkości niezależne od
położenia środka redukcji), którymi są:
wektor główny R oraz rzut momentu
głównego M obliczonego względem
dowolnego środka redukcji O na kierunek
wektora głównego R.

16

Redukcja
dowolnego
przestrzennego
układu sił do
skrętnika

17

Redukcja przestrzennego układu

Redukcja przestrzennego układu

n

n

sił do

sił do

skrętnika

skrętnika

Układ wektora głównego R i momentu głównego Mo,
obliczonego względem środka redukcji O mozna
zredukować

do prostszej postaci.

18

Redukcja przestrzennego układu

Redukcja przestrzennego układu

n

n

sił do

sił do

skrętnika

skrętnika

Moment główny Mo rozkłada się na dwie
składowe:
M’o— zgodną z kierunkiem wektora głównego R
M”o— prostopadłą do tego wektora.
Następnie składową M”o zastę puje się parą sił
(—R, R), leżącą w płaszczyźnie prostopadłej do
M”o przy czym siła (—R) jest przyłożona w
punkcie O.
Linia działania drugiej siły R będzie przechodzić
przez pewien szczególny punkt C, którego
położenie jest opisane promieniem wektorem r,
wynikającym z następującej zależności:

która określa równoważność zastępowania wektora

M”o

parą sił (—R, R).

19

Redukcja przestrzennego układu

Redukcja przestrzennego układu

n

n

sił do

sił do

skrętnika

skrętnika

W wyniku tych przekształceń otrzymuie sie dwie siły (—R,
R) przyłożone w punkcie O, które można usunąć jako
układ równoważący się. Cały układ redukuje się wóczas do
siły R przyłożonej do punktu C oraz składowej momentu
głównego M’o równoległej do R

20

Dowolny przestrzenny układ n sił można
zredukować do dwóch wektorów kolinearnych:
- wektora głównego R
- wektora głównego M’

o

Układ złożony z wektora głównego R i składowej
momentu głównego M’

o

leżącego na linii

działania wektora R nazywamy skrętnikiem

21

Ilustracja osi centralnej układu sił

Ilustracja osi centralnej układu sił

22

Moment główny M

C

względem punktu C

opisanego wektorem r o składowych (-x,-y,-z)
wynosi:

23

Równanie osi centralnej

Równanie osi centralnej

24

Redukcja dowolnego
przestrzennego układu
sił do dwóch sił
skośnych

25

Redukcja dowolnego przestrzennego

Redukcja dowolnego przestrzennego

układu n sił do dwóch skośnych

układu n sił do dwóch skośnych

Przestrzenny układ sił daje się sprowadzić do
dwóch sił wichrowatych ( skośnych), z których
jedna przechodzi przez środek redukcji O.

26

Redukcja dowolnego
przestrzennego układu
sił do pary sił

27

Redukcja przestrzennego układu sił do

Redukcja przestrzennego układu sił do

pary sił

pary sił

28

Redukcja przestrzennego układu sił do

Redukcja przestrzennego układu sił do

pary sił

pary sił

Gdy wektor główny równa sie zeru

Układ redukuje się do pary sił, których moment jest równy
momentowi głównemu układu (M

o

= r x P).

Moment główny nie zależy od wyboru punktu O, gdyż
suma geometryczna momentów sił tworzacych jest stała
dla wszystkich punktów przestrzeni i równa się
momentowi pary.

29

Redukcja dowolnego
przestrzennego układu
sił do siły wypadkowej

30

Redukcja przestrzennego układu sił do siły
wypadkowej

gdy wektor momentu głównego M

o

obliczony względem

dowolnego punktu 0, będzie prostopadły do wektora
głównego R

31

Redukcja przestrzennego układu sił do siły
wypadkowej

•składowa momentu głównego M

o

będzie

równa zeru i układ redukuje się wyłącznie
do wektora głównego R, prze chodzącego
przez punkt C.

•taki układ sił P

i

daje się zredukować

wyłącznie do jednej siły R, która jest
wypadkową układu sił, leżącą na osi
centralnej układu. W tym przypadku oś
centralna staje się linią działania
wypadkowej (rys. b).

32

Redukcja przestrzennego układu sił do siły
wypadkowej

Warunkiem koniecznym i dostatecznym,
aby przestrzenny układ sił P

i

, redukował

się do wypadkowej, jest istnienie różnego
od zera wektora głównego R i
prostopadłość głównego wektora momentu
M

o

względem dowolnie wybranego punktu

O do linii działania wektora głównego R.

Jeżeli moment główny M obliczony
względem punktu 0, jest równy zeru, to
układ sił redukuje się do siły wypadkowej
przechodzącej przez środek redukcji O.

33

Przypadki, które zachodzą przy redukcji

Przypadki, które zachodzą przy redukcji

dowolnego przestrzennego układu sił

dowolnego przestrzennego układu sił

działajacego na ciało sztywne

działajacego na ciało sztywne

34

Równowaga
dowolnego
przestrzennego układu
sił

35

Równowaga dowolnego przestrzennego
układ sił

Przestrzenny układ n sił jest w
równowadze, jeżeli jego suma
geometryczna R jest równa zeru oraz
moment główny M

o

układu względem

dowolnego punktu O jest równy zeru.

Moment główny układu będącego w równowadze
jest równy zeru względem każdego punktu w
przestrzeni.

Układy sił będących w równowadze są ukłądami
równoważnymi.

36

Równania równowagi dowolnego
przestrzennego układu sił

Wektory te będą równe zeru, jeżeli wszystkie ich składowe
będą równe zeru

37

Warunek równowagi:

Przestrzenny układ sił P

i

jest w

równowadze, jeżeli suma rzutów wszystkich
sił na trzy osie jest równa zeru i suma
momentów wszystkich sił względem trzech
osi układu jest równa zeru

38

Jeżeli rozpatruje się równowagę ciała
sztywnego pod działaniem dowolnego
przestrzennego układu sił, to liczba
niewiadomych może być równa sześciu,
gdyż tyle mamy równań do ich
wyznaczenia.

Jeżeli niewiadomych jest więcej niż sześć,
to zadanie jest statycznie niewyznaczalne i
nie można go rozwiązywać przy
zastosowaniu metod statyki ciała
sztywnego.

Z sześciu równań równowagi (6.19)
wynikają szczególne przypadki równań
równowagi prostszych układów sił, które
rozpatrzono poprzednio.

39

Wskazówki metodyczne:

a

) wydzielić ciało sztywne bądź ciała

sztywne, których równowagę
rozpatrujemy,
b) narysować siły czynne i reakcje
więzów, obciążające te ciała,
c) sprawdzić czy układ sił jest
statycznie wyznaczamy i obrać układ
współ rzędnych Oxyz,
d) napisać równania równowagi
według wzorów
e) rozwiązać układ równań zestawiony
w punkcie d) i wyznaczyć wielkości
niewiadome,
f) dokonać sprawdzenia.