C 02

1

Zadanie 2.1

Równanie powierzchni stałej fazy:

4

A

0.1 e

m

j

y

x

H

i

p

b

�

�

-

+

�

�

�

�

� �

=

� �

� �

r

r

a) wyznaczyć równanie powierzchni stałej fazy;
b) w oparciu o wyprowadzone równanie, wyznaczyć
prędkość
przemieszczania się powierzchni stałej fazy (prędkość
fazowa);
c) obliczyć prędkość grupową i porównać z wynikiem
otrzymanym
w punkcie (b)

Dany jest wektor natężenia
pola magnetycznego:

const [rd]

4

t

y

p

w b

-

+ =

Ad. a

Ad. b

1

1

1

1

(

)

(

)

const

4

4

t

y

t

t

y

y

p

p

w

b

w

b

-

+ =

+D -

+D + =

0

t

y

w

b

= D - D

t

y

w

b

D = D

m

s

f

y

v

t

w

b

D

� �

= =

� �

D � �

prędkość fazowa

C 02

2

Zadanie 2.1 (2)

Ad. c

Prędkość grupowa:

m

s

g

v

w

b

� � �

=

� �

� � �

const

4

t

y

p

w b

-

+ =

const

4

y
t

t

p

w

b

-

+

=

+

Z równania powierzchni stałej fazy:

wyznaczamy pulsację

Obliczamy prędkość grupową:

g

f

y

v

v

t

w

b

�

=

= =

�

C 02

3

Zadanie 2.2

2

k r

x y az

b

-

�=-

- +

r r

Dany jest wektor natężenia pola elektrycznego fali rozchodzącej się
w próżni:

Znajdź współczynnik fazy β, częstotliwość fali oraz
wyrażenie opisujące wektor natężenia pola magnetycznego
.

(

)

2

V

(

2

2 )e

m

j

x y az

x

y

z

E

i

i

i

-

- +

� �

= +

+

� �

� �

r

r

r

r

H

r

2

1

x

y

z

a

k

i

i

i

b

b

b

=

+

-

r

r

r

r

2

4 1

1

a

k

b

+ +

=

=

r

2

5 a

b =

+

0

k E

� =

r r

2

1

(

2

2 ) 0

x

y

z

x

y

z

a

i

i

i

i

i

i

b

b

b

�

�

+

-

� +

+

=

�

�

�

�

r

r

r

r

r

r

2

a =

C 02

4

Zadanie 2.2 (2)

2

rd

5

3

m

a

b =

+ =

Współczynnik fazy:

8

m

3 10

s

f

v

w

b

= = �

Prędkość fazowa fali w próżni:

Częstotliwość fali:

900

MHz 143.2 MHz

2

2

2

f

v

f

b

w

p

p

p

=

=

=

=

( 2

2 )

( 2

2 )

0

0

1 2 1

2

1

A

e

(2

2

)e

3 3

3

120

m

1 2

2

x

y

z

j

x y z

j

x y z

x

y

z

i

i

i

k E

H

i

i

i

Z

Z

p

-

- +

-

- +

�

� �

=

=

-

=

-

+

� �

� �

r

r

r

r r

r

r

r r

2

1

2

3

3

3

x

y

z

k

i

i

i

=

+

-

r

r

r

r

(

)

2

2

V

(

2

2 )e

m

j

x y

z

x

y

z

E

i

i

i

-

- +

� �

= +

+

� �

� �

r

r

r

r

C 02

5

Zadanie 2.3

1

(

)

2

k r

x y

b

-

�=

+

r r

Dana jest amplituda zespolona wektora natężenia pola
magnetycznego:

Czy dany wektor opisuje natężenie pola magnetycznego
fali płaskiej?
Jeżeli tak, to wyznaczyć wektor natężenia pola
elektrycznego przyjmując, że fala rozchodzi się w próżni.
Określić również częstotliwość fali.

(

)

1

2

A

(

)e

m

j

x y

x

y

H

i

i

+

� �

= -

� �

� �

r

r r

1

1

2

2

x

y

k

i

i

=-

-

r

r

r

rd

1

m

b =

k H

� =

r r

0

=

(

)

1

2

1

(

) (

)e

2

j

x y

x

y

x

y

i

i

i

i

+

- -

� -

r r

r r

opisuje natężenie
pola magnetycznego
fali płaskiej

H

r

C 02

6

Zadanie 2.3 (2)

8

m

3 10

s

f

v

w

b

= = �

Prędkość fazowa fali w próżni:

Częstotliwość fali:

300

MHz 47.75 MHz

2

2

2

f

v

f

b

w

p

p

p

=

=

=

=

1

1

(

)

(

)

0

2

2

0

120

V

1

1 0 e

( 2 )e

m

2

2

1

1 0

x

y

z

j

x y

j

x y

z

i

i

i

Z

E Z H k

i

p

+

+

� �

=

� =

-

=

-

=

� �

� �

-

-

r

r

r

r

r

r

r

Wektor natężenia pola elektrycznego fali:

Współczynnik fazy:

rd

1

m

b =

1

(

)

2

V

120 2 e

m

j

x y

z

i

p

+

� �

=-

� �

� �

r

C 02

7

Zadanie 2.4

Fala płaska o częstotliwości f = 6 GHz rozchodzi się w dielektryku.
Wektor natężenia pola magnetycznego fali wynosi:

S( , ).

r t

r r

( , ),E( , )

E r t

r t

r

r

r

r

H( , )

r t

r r

Określić:
a) współczynnik a;
a) względną przenikalność elektryczną ε

w

dielektryka;

b) wektor natężenia pola magnetycznego:
c) wektory natężenia pola elektrycznego:
d) wektor Poyntinga:

(

)

(

)

[

]

A

( )

0.05 exp

40

.

m

x

y

H r

ai

i

j

x z

p

� �

=

+

-

+

� �

� �

r

r

r

r

C 02

8

Zadanie 2.4 (2)

Dane:

6 GHz

f =

• Współczynnik fazy:

• Wektor pola magnetycznego:

• Kierunek rozchodzenia się fali:

rd

40 2

m

b

p

=

• Względna przenikalność elektryczna:

2

0

2

w

b

e

b

� �

=

=

� �

� �

1

A

( )

exp

40 2

20

m

2

2

y

x

z

H r

i

j

p

�

�

�

� � �

=

-

+

�

�

�

� � �

� �

�

�

�

�

r

r

r

(

)

1

1

1

2

2

2

x

z

x

z

k

i

i

i

i

=

+ =

+

r

r r

r

r

(

)

(

)

[

]

A

( )

0.05 exp

40

.

m

x

y

H r

ai

i

j

x z

p

� �

=

+

-

+

� �

� �

r

r

r

r

0

2

rd

[GHz] 40

0.3

m

f

p

b

p

=

=

• Współczynnik fazy w próżni:

0

1

A

20

m

H

� �

=

� �

� �

• Prostopadłość pola do kierunku rozchodzenia się:

(

)

(

)

1

0.05

0

2

x

z

x

y

i

i

ai

i

+

+

=

r r

r

r

( ) 0

k H r

�

=

r r r

0

a =

C 02

9

Zadanie 2.4 (3)

• Wektor rzeczywisty natężenia pola magnetycznego:

E ZH k

=

�

r

r

r

• Wektor natężenia pola magnetycznego:

1

1

1

1

2

2

2

2

0

0

0

1

0

1

1

0

2

2

x

y

z

j

x

z

j

x

z

y

i

i

i

E ZH e

i

k ZH e

b

b

�

�

�

�

-

+

-

+

�

�

�

�

�

�

�

�

=

� =

r

r

r

r

r

r

(

)

[

]

1

A

H( , )

cos

40

20

m

y

r t

i

t

x z

w

p

� �

=

-

+

� �

� �

r

r

r

• Impedancja właściwa ośrodka:

0

120

[ ]

2

w

Z

Z

p

e

=

=

W

(

)

(

)

1

1

40

2

2

6

1

1

V

3

m

2

2

2

j

x

z

j

x z

x

z

x

z

E

i

i e

i

i e

b

p

p

p

�

�

-

+

�

�

-

+

�

�

�

�

� �

=

-

=

-

�

�

� �

� �

�

�

r

r

r

r

r

0

0

6

V

m

2

E

ZH

p � �

=

=

� �

� �

C 02

10

Zadanie 2.4 (4)

• Wektor Poyntinga:

(

)

(

)

[

]

V

E( , ) 3

cos

40

m

x

z

r t

i

i

t

x z

p

w

p

=

-

-

+

r

r

r

r

(

)

(

)

[

]

V

( ) 3

exp

40

m

x

z

E r

i

i

j

x z

p

p

� �

=

-

-

+

� �

� �

r

r

r

r

(

)

(

)

[

]

2

0

0

2

2

1

1

1

1

S E H

cos

2

2

2

2

3

W

cos

40

20

m

x

z

x

z

E H

i

i

t

x

z

i

i

t

x z

w

b

p

w

p

�

�

�

�

�

�

= � =

+

-

+

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

� �

=

+

-

+

� �

� �

r

r

r

r

r

r

r

1

1

0

2

2

0

1

0

x

y

z

i

i

i

-

=

r

r

r

(

)

[

]

2

0

0

S E H

cos

40

E H

t

x z

w

p

= � =

-

+

r

r

r

C 02

11

Zadanie 2.5

Wyznaczyć wektora natężenia pola elektrycznego
i magnetycznego fali płaskiej rozchodzącej się w
próżni w kierunku

wiedząc, że wektor leży w płaszczyźnie
0xz.

1

3

2

2

x

z

k

i

i

=

+

r

r

r

0

k E

� =

r r

H

r

E

r

E

r

1

3

2

2

0

0

V

(

)e

m

j

x

z

x x

z z

E

E i

E i

b

�

�

-

+

�

�

�

�

� �

=

+

� �

� �

r

r

r

0

0

1

3

0

2

2

x

z

E

E

+

=

0

0

3

x

z

E

E

=-

Przyjmując, że

0

0

0

x

z

E

E

=

=

=

r

zapiszemy:

1

3

2

2

0

V

(

3

)e

2

m

j

x

z

x

z

E

E

i

i

b

�

�

-

+

�

�

�

�

� �

=

-

+

� �

� �

r

r r

C 02

12

Zadanie 2.5 (2)

8

m

3 10

s

f

v

w

b

= = �

Prędkość fazowa fali w próżni:

Impedancja właściwa próżni:

0

120

Z

p

=

W

1

3

2

2

0

0

0

1

3

0

e

2

2

2

3 0

1

x

y

z

j

x

z

i

i

i

E

k E

H

Z

Z

b

�

�

-

+

�

�

�

�

�

=

=

=

-

r

r

r

r r

r

1

3

2

2

x

z

k

i

i

=

+

r

r

r

1

3

2

2

0

V

(

3

)e

2

m

j

x

z

x

z

E

E

i

i

b

�

�

-

+

�

�

�

�

� �

=

-

+

� �

� �

r

r r

1

3

2

2

0

A

e

120

m

j

x

z

y

E

i

b

p

�

�

-

+

�

�

�

�

� �

=-

� �

� �

r

C 02

13

Zadanie 2.6

Pole magnetyczne w próżni wyraża się zależnością:

Obliczyć wektor pola elektrycznego .

0

0

A

H

cos cos

m

y

i H

t

z

w

b

=

r

r

Jakie zjawisko opisują wektory i i jakie są cechy tego zjawiska?

E

r

Obliczyć wektor Poyntinga .

S( , )

z t

r

E

r

H

r

C 02

14

Zadanie 2.6 (2)

• Obliczyć wektor pola elektrycznego bezpośrednio z równań
Maxwella:

0

E

H=

t

e

�

Ѵ

�

r

r

(

)

0

1

E

H dt

e

=

Ѵ

�

r

r

0

0

0

cos cos

0

x

y

z

i

i

i

x

y

z

H

t

z

w

b

�

�

�

=

�

�

�

r

r

r

H

Ѵ

=

r

0

0

0

cos sin

x

i

H

t

z

b

w

b

r

(

)

0

1

E

H dt

e

=

Ѵ

=

�

r

r

0

0

0

0

1

sin

cos d

x

i

H

z

t t

b

b

w

e

=

�

r

0

0

0

0

sin

sin

x

i

H

z

t

b

b

w

we

r

0

0

b

we

=

0

0

0

E

sin

sin

x

i Z H

z

t

b

w

=

r

r

0 0

0

w me

we

=

0

0

m
e

=

0

Z =120

p W

C 02

15

Zadanie 2.6 (3)

• Obliczyć wektor Poyntinga

S E H=

= �

r r r

0

0

0

0

0

sin sin

0

0

0

cos cos

0

x

y

z

i

i

i

Z H

t

z

H

t

z

w

b

w

b

=

r

r

r

2

0

0

0

0

sin cos sin

cos

z

i Z H

t

t

z

z

w

w

b

b =

r

2

0

0

0

sin2 sin2

4

z

Z H

i

t

z

w

b

r

C 02

16

Zadanie 2.6 (4)

0

0

0

E

sin

sin

x

i Z H

z

t

b

w

=

r

r

• Obliczyć wektor pola elektrycznego nie korzystając z równań
Maxwella

0

0

H

cos cos

y

i H

t

z

w

b

=

r

r

(

)

(

)

[

]

0

0

0

1

cos cos

cos

cos

2

t

z

t

z

t

z

w

b

w b

w

b

=

-

+

+

(

)

0

0

1

H

cos

2

y

i

H

t

z

w b

-

=

+

r

r

+

H H

H

-

=

+

r

r

r

(

)

+

0

0

1

H

cos

2

y

i

H

t

z

w b

=

-

r

r

+

+

0

E

H

z

Z

i

=

�

r

r

r

( )

0

E

H

z

Z

i

-

-

=

�-

r

r

r

(

)

+

0

0

0

1

E

cos

2

x

i

Z H

t

z

w b

=

-

r

r

(

)

0

0

0

1

E

cos

2

x

i

Z H

t

z

w

b

-

=-

+

r

r

(

)

(

)

[

]

0

0

0

1

cos

cos

sin sin

2

t

z

t

z

t

z

w b

w

b

w

b

-

-

+

=

C 02

17

Zadanie 2.6 (5)

• Wyznaczyć wektor Poyntinga

+

S

E

H

+

+

=

� =

r

r

r

(

)

(

)

[

]

0

0

0

1

cos

cos

sin sin

2

t

z

t

z

t

z

w b

w

b

w

b

-

-

+

=

S

E

H

-

-

-

=

� =

r

r

r

S S S

+

-

= +

r r

r

(

)

(

)

[

]

0

0

0

1

cos

cos

cos cos

2

t

z

t

z

t

z

w b

w

b

w

b

-

+

+

=

(

)

(

)

2

2

2

0

0

0

0

1

cos

cos

4

z

i

Z H

t

z

t

z

w

b

w

b

=

-

-

+

�

�

�

�

r

(

)

(

)

2

2

0

0

0

0

1

cos

cos

cos cos

sin sin

4

t

z

t

z

t

z

t

z

w b

w

b

w

b

w

b

�

�

-

-

+

=

�

�

2

0

0

0

0

S

sin cos sin

cos

z

i Z H

t

t

z

z

w

w

b

b

=

=

r r

2

0

0

0

sin2 sin2

4

z

Z H

i

t

z

w

b

r

(

)

2

2

0

0

0

1

cos

4

z

i

Z H

t

z

w b

-

r

(

)

2

2

0

0

0

1

cos

4

z

i Z H

t

z

w b

-

+

r

C 02

18

Zadanie 2.7

W ośrodku stratnym o znanej impedancji Z = |Z|e

jφ

rozchodzi się

fala o znanym zespolonym wektorze natężenia pola elektrycznego:

(

)

(

)

0

0

V

( )

exp

2 exp

.

m

x

y

E r

i E

z

ji E

z

g

g

� �

=

-

+

-

� �

� �

r

r

r

r

Obliczyć:
a) chwilową i średnią wartość powierzchniowej gęstości mocy;
b) chwilową i średnią gęstość energii elektrycznej.

gdzie: jest znane.

j

g a

b

= +

C 02

19

Zadanie 2.7 (2)

1

H

n E

Z

=

�

r

r

r

Zespolony wektor natężenia pola magnetycznego:

2

0

0

e e

2

e e

j

z

z

j z

z

y

x

E

E

H i

i

Z

Z

p

b

a

b

a

�

�

-

�

�

-

-

-

�

�

=

-

=

r

r

r

1

z

i

E

Z

=

�

r

r

(

)

2

0

e

e

2e

j

z

z

j

z

y

x

E

i

i

Z

p

b j

a

b j

�

�

-

-

�

�

-

-

-

�

�

�

�

-

�

�

�

�

r

r

0

0

E

e

cos(

)

2 e

sin(

)

z

z

x

y

i E

t

z

i E

t

z

a

a

w

b

w

b

-

-

=

-

-

-

r

r

r

Wektory rzeczywiste pól:

0

0

H

2

e sin(

)

e

cos(

)

z

z

x

y

E

E

i

t

z

i

t

z

Z

Z

a

a

w

b

j

w

b

j

-

-

=

-

-

+

-

-

r

r

r

C 02

20

Zadanie 2.7 (3)

Wektor Poyntinga:

S E H

= � =

r

r

r

0

0

0

0

e

cos(

)

2 e

sin(

)

0

2

e

sin(

)

e

cos(

) 0

x

y

z

z

z

z

z

i

i

i

E

t

z

E

t

z

E

E

t

z

t

z

Z

Z

a

a

a

a

w

b

w

b

w

b

j

w

b

j

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

r

r

r

2

2

0

2

2

0

e

cos(

)cos(

)

4

e

sin(

)sin(

)

z

z

z

z

E

i

t

z

t

z

Z

E

i

t

z

t

z

Z

a

a

w

b

w

b

j

w

b

w

b

j

-

-

=

-

-

-

+

-

-

-

r

r

Chwilowa wartość powierzchniowej gęstości mocy:

[

]

2

2

0

e

cos(

)cos(

) 4sin(

)sin(

)

z

E

t

z

t

z

t

z

t

z

Z

a

w

b

w

b

j

w

b

w

b

j

-

-

-

-

+

-

-

-

S =

r

C 02

21

Zadanie 2.7 (4)

Zespolony wektor Poyntinga:

S E H

*

= �

=

r

r

r

(

)

2

0

0

0

0

2

e e

2 e e

0

2

e e

e e

0

x

y

z

j

z

z

j z

z

j

z

z

z j

z

i

i

i

E

E

E

E

Z

Z

p

b

a

b

a

p

b j

a

a

b j

�

�

-

�

�

-

-

-

�

�

�

�

+ +

�

�

-

-

+

�

�

r

r

r

2

2

0

5

e

e

z j

z

E

i

Z

a

j

-

=

r

Średnia wartość powierzchniowej gęstości mocy:

{ }

{

}

1

1

S

Re

Re

2

2

S

E H

*

=

=

�

=

r

r

r

r

2

2

0

5

e

cos

2

z

E

Z

a

j

-

C 02

22

Zadanie 2.8

Dany jest wektor natężenia pola elektrycznego fali płaskiej
rozchodzącej się w stratnym, niemagnetycznym ośrodku:

9

V

E( , ) 200e

cos 2 10

.

12

m

z

x

z t

i

t

z

a

p

p

b

-

�

� � �

=

-

+

�

� � �

� �

�

�

r

r

Wiedząc, że impedancja ośrodka wynosi Z = 100exp(j30°) Ω,
wyznaczyć wektor natężenia pola magnetycznego.
Obliczyć ile razy zmaleje natężenie pola magnetycznego
na dystansie jednej długości fali (wyznaczyć α oraz β).

Pulsacja fali:

9

rd

2 10

s

w

p

=

Częstotliwość fali:

1 GHz

f =

Zespolony wektor natężenia pola elektrycznego:

12

V

( ) 200e

e

m

j

z

z

x

E z

i

p

b

a

�

�

-

-

�

�

-

�

�

� �

=

� �

� �

r

r

C 02

23

Zadanie 2.8 (2)

Zespolony wektor natężenia pola magnetycznego:

12

6

200

e

0 0 1

100e

1 0 0

x

y

z

z

j

z

z

j

i

i

i

i E

e

H

Z

p

a

b

p

�

�

-

-

-

�

�

�

�

�

=

=

=

r r

r

r

r

r

12

A

2e e

m

j

z

z

y

i

p

b

a

�

�

-

+

�

�

-

�

�

� �

� �

� �

r

Rzeczywisty wektor natężenia pola magnetycznego:

A

H 2e

cos

12

m

z

y

i

t

z

a

p

w b

-

�

� � �

=

-

+

�

� � �

�

� � �

r

r

Pulsacja fali:

9

rd

2 10

s

w

p

=

Częstotliwość fali:

1 GHz

f =

Zespolony wektor natężenia pola elektrycznego:

12

V

( ) 200e

e

m

j

z

z

x

E z

i

p

b

a

�

�

-

-

�

�

-

�

�

� �

=

� �

� �

r

r

C 02

24

Zadanie 2.8 (3)

0

Z

m

e

=

0

j

g

w me

=

0

Z

j

g

wm

=

9

rd

2 10

s

w

p

=

7

0

H

4 10

m

m

p

-

=

2

2

2

2

0

3

2

6

8 10 e

8 e

10 e

j

j

j

j

Z

p

p

p

wm

p

g

p

=

=

=

(

)

2

4

1

3

j

g

p

=

+

2

Np

4

m

a

p

=

2

rd

4

3

m

b

p

=

Długość fali:

2

1

m

2

3

p

l

b

p

=

=

( )

(0)e

E

E

al

l

-

=

2

1

2

4

2

3

3

(0)

e

e

e

( )

E

E

p

p

al

p

l

=

=

=