1

Wykład 2

MECHANIKA TEORETYCZNA

Studia stacjonarne I stopnia – rok akademicki 2011/12

Autor:

Henryk Laskowski

Katedra Podstaw Mechaniki Ośrodków Ciągłych
Instytut Mechaniki Budowli
Wydział Inżynierii Lądowej

Część 1

MACIERZE I WYZNACZNIKI

3

1.1. Definicja macierzy

i,j

a

i

, ... ,m, j

, ... ,n

� �

=

=

� �

1

1

Ciąg dwuwskaźnikowy
skończony

,

,

,n

,

,

,n

m,

m,

m,n

a

a

... a

a

a

... a

...

...

...

...

a

a

... a

�

�

�

�

�

�

=

�

�

�

�

�

�

�

�

A

11

12

1

2 1

2 2

2

1

2

i, m – numer wiersza, liczba wierszy

j, n – numer kolumny, liczba kolumn

4

Macierz zerowa

...
...

... ... ... ...

...

�

�

�

�

�

�

=

=

�

�

�

�

�

�

A

0 0

0

0 0

0

0

0 0

0

Macierz jednostkowa

i,j

...
...

δ

... ... ... ...

...

�

�

�

�

�

�

� �

=

=

=

� � �

�

�

�

�

�

E

1 0

0

0 1

0

1

0 0

1

i,j

gdy i

j

δ

gdy i

j

=

�

=�

�

�

1

0

gdzie:

- symbol Kroneckera

5

i, j

k,l

m p

n q

a

b gdy i k j l

= � =

�

�

=

�

�

=

= � =

�

�

A B

Równość
macierzy

Macierz A jest równa macierzy B gdy obie macierze mają te same
wymiary oraz każdy wyraz macierzy A jest równy wyrazowi macierzy
B o tych samych wskaźnikach

i,j

k,l

p,q

m,n

a

b

� �

=

=� �

� �

� �

A

B

6

Mnożenie macierzy przez liczbę

i,j

i,j

s

s a

s a

� � �

�

� = �

= �

� � �

�

A

Dodawanie i odejmowanie
macierzy

i,j

i,j

i,j

i,j

a

b

a

b

� � � � �

�

+ =

+

=

+

� � � � �

�

A B

i,j

i,j

i,j

i,j

a

b

a

b

� � � � �

�

-

=

-

=

-

� � � � �

�

A B

1.2. Działania na macierzach

7

Mnożenie macierzy przez
macierz

i,j

j,k

m,n

n,p

a

b

� �

� �

=

=

� �

� �

A

B

Dane są macierze:

(liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy
B)

i,k m,p

c

=

=� �

� �

C AB

[

]

k

n

i,k

i

in

ij jk

j

nk

b

c

a

... a

...

a b

b

=

� �

� �

=

�

=

� �

� �

� �

�

1

1

1

gdzie:

i,k

c

- iloczyn i-tego wiersza macierzy A i k-tej kolumny macierzy B

8

Własności działań na
macierzach

1. Mnożenie macierzy przez liczbę jest łączne i rozdzielne względem

dodawania liczb i dodawania macierzy

(

) (

)

r s

r s

� � = � �

A

A

(

)

r s

r

s

+ � = � + �

A

A

A

(

)

s

s

s

� +

= � + �

A B

A

B

2. Dodawanie macierzy jest przemienne i łączne

+ = +

A B B A

(

)

(

)

+ + = + +

A B C A

B C

3. Mnożenie macierzy przez macierz nie jest przemienne

�׹

A B B A

4. Mnożenie macierzy przez macierz jest łączne i rozdzielne

względem dodawania macierzy

(

)

(

)

=

AB C A BC

(

)

F G +H =FG +FH

(

)

G +H K =GK +HK

9

5. Dla każdej macierzy A i macierzy zerowej stosownego wymiaru

zachodzą związki:

=

A0 0

=

A

0

0

6. Dla każdej macierzy A i macierzy jednostkowej stosownego

wymiaru zachodzą związki:

=

AE A

=

EA A

10

Wyznacznik jest to funkcja przyporządkowująca każdej macierzy
kwadratowej M stopnia n wartość (oznaczaną detM), która spełnia
następujące własności:

1. Dla macierzy pierwszego stopnia M = [a]: detM = a

2. Dla macierzy n-tego stopnia M = [a

ij

]

nn

:

( )

n

k j

kj

k,j

k

det

a det

+

=

=

-

�

M

M

1

1

gdzie

i,j

M

jest macierzą n - 1 stopnia powstałą z macierzy M
przez

wykreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny

( )

n

i k

ik

i,k

k

det

a det

+

=

=

-

�

M

M

1

1

(rozwinięcie względem
j-tej kolumny)

(rozwinięcie względem
i-tego wiersza)

1.3. Definicja wyznacznika

Część 2

WPROWADZENIE DO MECHANIKI

12

2.1. Ogólna klasyfikacja

MECHANIKA – dział fizyki poświęcony badaniu ruchów i stanów

równowagi ciał. Obejmuje statykę, kinematykę
i dynamikę

Statyka

– dział mechaniki badający prawa

równowagi

ciał będących pod działaniem sił

Kinematyka – dział mechaniki zajmujący się opisem
ruchu

ciał bez uwzględnienia jego przyczyn oraz
cech fizycznych ciał.

Dynamika

– dział mechaniki badający ruch ciał
materialnych pod wpływem działających
na nie sił

13

MECHANIKA BUDOWLI

Dział mechaniki stosowanej zajmujący się:

– wyznaczaniem sił i przemieszczeń w konstrukcjach budowlanych
pod
wpływem ociążeń,

– określaniem wartości obciążeń bezpiecznych z punktu widzenia
nośności, sztywności i stateczności konstrukcji budowlanych,

– optymalnym kształtowaniem konstrukcji budowlanych.

Obejmuje m. in. teorię ustrojów prętowych (belek, kratownic, ram
itp.) oraz teorię dźwigarów powierzchniowych (płyt, powłok)

14

2.2. Trochę historii

Zasady "naukowego myślenia"

1. Wychodzenie z jak najmniejszej liczby

założeń pierwotnych, które znajduje się
poprzez myślenie indukcyjne.

2. Tworzenie w oparciu o te założenia ścisłej

teorii posługując się myśleniem
dedukcyjnym,

3. Ostateczna weryfikację teorii poprzez

konfrontację wniosków z niej wynikających
z faktami.

Jeden z trzech, obok Platona i Sokratesa
największych filozofów greckich. Stworzył
spójny system filozoficzny, który bardzo silnie
działał na filozofię i naukę europejską.

Arystoteles, rzeźba Lizypa - Luwr

Arystoteles (Ἀριστοτέλης) 384 p.n.e. - 324
p.n.e.)

15

Galileusz (Galileo Galilei) 1564 – 1642

Włoski astronom, astrolog, fizyk i filozof, twórca
podstaw nowożytnej fizyki. Chcąc uczynić
przyro-doznawstwo nauką ścisłą, położył nacisk
na mate-matyczną metodę wyrażania
głoszonych twier-dzeń; uważał, że podstawą
badań przyrodniczych powinny być tylko
właściwości ciał, które można mierzyć i wyrażać
w języku matematycznym. Stosował własną
praktykę badawczą, w której opierał się na
faktach doświadczalnych, stosował w szerokim
zakresie metodę analizy i syntezy oraz dążył do
wprowadzenia metod eksperymen-talnych i
matematycznych w całej fizyce.

Odkrył zjawisko bezwładności. Dzięki doświadczeniom, Galileusz doszedł
do wniosku, że ciało, któremu w wyniku działania innych ciał nadano pewną
prędkość, powinno stale poruszać się ruchem jednostajnym
prostoliniowym. Badał wpływ tarcia na ruch ciał.

Galileo Galilei

16

Isaac Newton 1643 – 1727

Angielski fizyk, matematyk, astronom, filozof,
historyk, badacz Biblii i alchemik. Niezależnie
od Gottfrieda Leibniza przyczynił się do
rozwoju rachunku różniczkowego i całkowego.

Philosophiae Naturalis Principia Mathematica
(Matematyczne podstawy filozofii naturalnej,
bardziej znane dzisiaj jako Principia), zostały
opublikowane w 1687. W dziele tym Newton
ogłosił trzy uniwersalne zasady dynamiki,
które nie zostały ulepszone aż do czasów
Alberta Einsteina. Użył łacińskiego słowa
gravitas (ciężar) do nazwania siły, którą
obecnie znamy pod nazwą grawitacji i
zdefiniował prawo powszechnego ciążenia.

Sir Isaac Newton

17

Stefan Banach

Stefan Banach 1892 – 1945

Polski matematyk, jeden z czołowych przed-
stawicieli lwowskiej szkoły matematycznej.
Ugruntował ostatecznie podstawy niezwykle
istotnej w nowoczesnych zastosowaniach
matematyki analizy funkcjonalnej. Podał jej
fundamentalne twierdzenia, wprowadził jej
terminologię, którą zaakceptowali matematycy
na całym świecie. Był wytrawnym wykładowcą
i autorem ponad 60 prac naukowych a także
wielu podręczników matematycznych dla szkół
średnich.

Autor podręcznika akademickiego pt. Mechanika, t.1 i
2, wydawnictwo: Czytelnik, Spółdzielnia Wydawniczo –
Oświatowa, Kraków 1949 (wydanie 3 w czytelni PK).

18

2.3. Pojęcia podstawowe

Punkt materialny

– model fizyczny ciała, którego jedynymi władnościami

jest masa

i punkt jako położenie w przestrzeni

Ciało sztywne – model fizyczny ciała o masie rozłożonej w pewnej przestrzeni,

której elementy nie mogą się względem siebie przemieszczać.
Punkt materialny jest szczególnym przypadkiem ciała

sztywnego.

Układ materialny

– skończony zbiór punktów materialnych lub ciał

sztywnych

Układ odniesienia

– rzeczywiste lub umowne ciało sztywne, względem

którego

opisuje się ruch ciała sztywnego. Z układem odniesienia jest
związany układ współrzędnych

Ośrodek ciągły – model fizyczny ciała o masie rozłożonej w pewnej przestrzeni,

której elementy mogą się względem siebie przemieszczać.

19

Siła

– wielkoć wektorowa będąca miarą oddziaływań fizycznych pomiędzy

ciałami

powodujących ruch tych ciał lub utrzymujących je w stanie równowagi

a) aby można było mówić o sile muszą być co najmniej dwa ciała
(w koncepcji Einsteina do definicji siły wystarczy jedno ciało)

b) działanie ciał na siebie może być kontaktowe lub na odległość

c) każdej sile „towarzyszy” inna siła (akcja i reakcja - III zasada
dynamiki)

d) drugie prawo Newtona nie jest definicją siły, lecz wiąże ze sobą trzy
wielkości fizyczne: siłę, masę i przyspieszenie zależnością: F = ma,
gdzie: F

–

siła, m – masa, a – przyspieszenie punktu materialnego

Uwagi:

20

Masa

– skalarna wielkość fizyczna będąca miarą bezwładności ciała w jego ruchu

postępowym. Może być określona przez iloraz miary ciężaru do

miary

przyspieszenia ziemskiego

Q

g

0





g

Q

m

df

Pęd punktu materialnego

– wektorowa wielkość fizyczna

charakterysująca ruch

punktu materialnego, wyrażająca się iloczynem jego
masy i prędkości

v

m

p

df





m

v

21

2.4. Aksjomaty mechaniki (1687)

1. Aksjomat bezwładności – istnieją układy
odniesienia, w których, jeżeli na punkt
materialny nie działa żadna siła, to pęd
punktu nie ulega zmianie.

_______

const

p

v

m

p









0

2. Aksjomat ruchu

– istnieją układy

odniesienia, w których, jeżeli na punkt
materialny działa siła, to zmienia jego pęd
według prawa

F

p

t







3. Aksjomat wzajemnego oddziaływania
(prawo akcji i reakcji) – dwa punkty
materialne oddziałują na siebie zawsze siłami
przeciwnymi, działającymi wzdłuż jednej
prostej.