Ruch

falowy

Równanie fali płaskiej

Drgania harmoniczne punktu materialnego odbywające się wokół
położenia równowagi można opisać podając zależność wychylenia od
czasu:

0

sin

A

t

y

w

=

Umownie przyjmujemy, że zaburzenie  = 0 odpowiada chwili przyjętej za

początek rachuby czasu (t = 0).
Niech zaburzenie (stan drgania) przesuwa się w przestrzeni np. w kierunku
osi z.

Wówczas cząstka znajdująca się w punkcie o współrzędnej z  0 będzie

opóźniona w drganiach względem cząstki znajdującej się w punkcie 0 (z = 0)
– źródła fali. Opóźnienie jest proporcjonalne do odległości „z” od źródła fali.
Załóżmy, że stan drgań przesuwa się ruchem jednostajnym z prędkością V.

Do punktu B’, odległego od źródła fali (punktu 0) o z’, zaburzenie dociera z
opóźnieniem



= z’ / v

 = 0;  = 0; t = 0;

0

0

'

sin[ (

)]

'

'

sin[ (

)]

A

t

z

A

t

v

y

w

t

y

w

=

-

=

-

2

T

p

w =

0

'

'

sin[2 (

)]

t

z

A

T Tv

y

p

=

-

0

''

''

sin[2 (

)]

t

z

A

T Tv

y

p

=

-

Wychylenie ’ punktu B’, z położenia równowagi wyraża się wzorem:

T – okres drgań

wychylenie punktu B’

wychylenie punktu B”

Jaki warunek musi spełnić odległość (z” - z’) aby punkty B’ i B” były
najbliższymi punktami w których w każdej chwili wychylenia od
położenia równowagi są identyczne ?

Z okresowości funkcji sinus wynika, że

’ = ” jeśli argumenty pod

znakiem „sin” będą się różniły o całkowitą wielokrotność 2.

'

"

2 (

) 2 (

) 2

t

z

t

z

T vT

T vT

p

p

p

-

-

-

=

stąd

z” – z’ = vT

odległość tę

nazywamy długością

fali 

v T

l = �

"

"

1

z z

vT

-

=

Długość fali równa się drodze, jaką zaburzenie przebywa w czasie
jednego okresu drgania źródła.

Ogólnie:

0

0

2

2

sin(

)

2

sin(

)

t

z

A

T

z

A

t

p

p

y

l

p

y

w

l

=

-

=

-

2

k

p

l

=

0

sin(

)

A

wt kz

y =

-

równanie fali płaskiej, harmonicznej

gdzie:

 – wychylenie z położenia równowagi cząstki znajdującej

się w

odległości „z” od źródła fali, po czasie t
ω – pulsacja źródła fali
A

0

– amplituda drgań źródła fali

– liczba falowa

Fale płaskie:

powierzchnie falowe w przestrzeni – płaszczyzny równoległe

linie falowe w przestrzeni dwuwymiarowej – proste równoległe

Kierunek rozchodzenia się fali nazywamy promieniem fali.

Zbiór punktów przestrzeni, którym odpowiada jednakowa faza drgań
związanych z określoną falą, nazywamy czołem fali lub jej powierzchnią
falową.

Fale, których czoło stanowi w przestrzeni trójwymiarowej powierzchnia
kuli, zaś w przestrzeni dwuwymiarowej okrąg koła nazywamy
odpowiednio falami sferycznymi i kolistymi.

Fale takie pochodzą od źródeł punktowych. Amplituda fali kulistej maleje
wraz ze wzrostem odległości od źródła. Przy założeniu, iż nie ma strat
energii, amplitudę fali opisuje wzór:

0

A R

A

r

=

gdzie:

R – promień źródła fali
r – odległość od źródła
A

0

– amplituda w odległości 1m od

źródła

0

sin[

(

)]

A R

t k r R

r

y

w

=

-

-

a w przypadku źródła
punktowego

0

1m

sin(

)

A

t kr

r

y

w

�

=

-

równanie fali kulistej

(kolistej)

Interferencja fal

Źródła Z

1

i Z

2

są źródłami fal sinusoidalnych rozchodzących się w

ośrodku izotropowym, jednorodnym. Niech fale te będą wzbudzane
przez punktowe źródła Z

1

i Z

2

, których pulsacja drgań równa się

odpowiednio 

1

i 

2

, a fazy początkowe wynoszą 

1

i 

2

.

Drgania wzbudzane w punkcie P będą spełniać równania:

1

1

1

1 1

1

1

2

2

2

2 2

2

2

sin(

)

sin(

)

A

t kr

r

A

t k r

r

y

w

j

y

w

j

=

-

+

=

-

+

oznaczamy:

1

1

1 1

1

2

2

2 2

2

t kr

t k r

f

w

j

f

w

j

=

-

+

=

-

+

stąd
:

1

1

1

1

2

2

2

2

sin

sin

A

r

A

r

y

f

y

f

=

=

Zgodnie z zasadą superpozycji drgań, wypadkowe drganie w punkcie P opisuje wzór:

1

2

sin

A

y y

y

f

= + =

gdzie:

2

2

1

2

1 2

1

2

1

2

1 2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

( )

( ) 2

cos(

)

sin

sin

cos

cos

A

A

AA

A

r

r

rr

A

A

r

r

tg

A

A

r

r

f

f

f

f

=

+

+

-

+

=

+

Możliwe są dwa przypadki:

1. Różnica faz (

1 - 2) zależy od czasu (zmienia się w czasie) – źródła Z

1

i Z

2

nazywamy niespójnymi.

2. Różnica faz (

1 - 2) nie zależy od czasu. Fale takie i wzbudzające je

źródła nazywamy spójnymi.

1

2

1

1 1

1

2

2 2

2

1

2

1

2

1 1

2 2

1

2

(

)

(

) (

)

t kr

t k r

t

kr k r

f

w

j

w

j

f

w w

j

j

-

=

-

+ -

+

+

-

=

-

+

-

+

-

2

W przypadku 2 (



1

-



2

) nie zależy od czasu, zatem (



1

-



2

)t = 0, stąd



1

-



2

= 0, więc



1

=



2

, T

1

= T

2

. Wówczas (



1

-



2

) nie jest funkcją czasu.

1

2

1

2

1

2

2

2

2

(

)

r

r

r r

Tv

Tv

p

p

p

f

l

-

=

-

=

-

Amplituda drgań w punkcie P zależy od różnicy faz



1

-



2

, a ta z kolei zależy

od odległości punktu P od źródeł Z

1

i Z

2

.

Przypadek 1

(

)

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

cos(

) 1;

0

2

0

0;

;

r r

A

A

r r

r r

A

r

r

f

f

p

l

-

=

-

=

-

=

-

=

=

= +

a)

max interferencyjne w P

Zakładamy, że



1

=



2

zaś

 = T 

T

1

= T

2

; v = const

stąd k

1

= k

2

b)

(

)

1

2

1

2

1

2

1

2

1

cos(

) 1;

2

2

2

;

1,2,...

n

r r

n

r r n

n

r r r

f

f

p

p

p

l

l

-

=

-

= �

-

= �

-

=

=

D = -

r nl

D =

- maksimum interferencyjne

Maksimum interferencyjne w punkcie P:

Różnica dróg przebytych przez fale ze źródeł Z

1

i Z

2

do punktu P

równa jest całkowitej wielokrotności długości fali (przy założeniu,
że



1

=



2

) lub jest równa 0.

Przypadek 2

(

)

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

cos(

)

1;

;

2

1

3

lub

...

2

2

A

A

A

r

r

r r

r r

r r

f

f

p

p

p

l

l

l

-

=-

-

=

= -

-

=

-

=

-

=

(2

1)

2

r

n

l

D =

+

- minimum interferencyjne

Minimum interferencyjne w punkcie P:

Różnica dróg przebytych przez fale ze źródeł Z

1

i Z

2

do punktu

P równa jest nieparzystej wielokrotności połowy długości fali.

Fale stojące

Rozpatrzmy przypadek interferencji fal: „biegnącej” i odbitej.

Falę płaską biegnącą wzdłuż osi x opisuje równanie:

1

1

0

sin2 (

)

t

x

y

A

T

p

l

=

-

Fala odbita przebywa dodatkową drogę (2x) do P.

1

2

0

2

sin2 [

(

)]

t

x

x

y

A

d

T

p

l

p

=

-

-

+

Wynik interferencji w punkcie P:

1

1

0

1

1

2

2

2

2

2 2

2

2 cos

2

2

2

2

2

2 2

2

sin

2

t

x

t

x

x

d

T

T

y

A

t

x

t

x

x

d

T

T

p

p

p

p

p

p

l

l

l

p

p

p

p

p

p

l

l

l

-

-

+

+

+

=

�

-

+

-

-

-

1

0

2 cos[2 (

)] sin[2 (

)]

2

2

x d

t

x x d

y

A

T

p

p

l

l

+

=

+

�

-

-

Wprowadźmy parametr

d

w celu scharakteryzowania warunków

odbicia (od ściany sztywnej fala odbija się ze zmianą fazy na
przeciwną, od swobodnego końca bez zmiany fazy).

Zatem równanie opisujące falę odbitą ma postać:

Amplituda w punkcie P

0

2 cos[2 (

)]

2

x d

A

A

p

l

=

+

*)

Ze wzoru *) wynika, że amplituda drgań cząstki (np. liny, węża
gumowego) zależy od odległości cząstki (punktu P) od końca B (liny,
węża), czyli od x.

Dla x = 0, A = 0 (sznur przymocowany do ściany)

Wtedy

cos[2 (

)] 0

2

x d

p

l

+

=

zaś

2 (

)

2

2

x d

p

p

l

+

=

ponieważ x = 0 to

1

2

d =

.

2

1

2

2

d

p

j

p

j

j

p

=

=

=

Jeśli koniec jest nieruchomy faza przy odbiciu fali zmienia się na przeciwną.
W punkcie B jest węzeł fali (A = 0).

W jakich położeniach cząstki liny mają maksymalną amplitudę ?

cos[2 (

)]

1

2

2 (

)

2

2

1

2

1

2

(

)

2 2

2

4

x d

x d

n

x

n

x

n

n

x

p

l

p

p

l

l

l

l

l

+

=�

+

=

+ =

= -

=

-

Licząc od
ściany

1

3

5

'

; "

; "'

4

4

4

x

x

x

l

l

l

=

=

=

W odległościach x’, x”, x”’ powstają strzałki (cząstki mają maksymalną amplitudę)

1

2

d =

Obliczamy położenia węzłów:

A = 0 zatem:

1

cos[2 (

)] 0

4

1

2 (

) (2

1)

4

2

2

x

x

n

x n

p

l

p

p

l

l

+

=

+ =

+

=

Węzły powstają w położeniach (licząc od końca liny B)

*

**

***

0;

;

; ...

2

x

x

x

l

l

=

=

=

Zakładamy teraz, że koniec liny jest swobodny. Na końcu liny powstaje strzałka:

cos[2 (

)] 1

2

2 (

) 0

2

0

2

x d

x d

x d

p

l

p

l

l

+

=

+

=

+ =

Jeśli x = 0, to i d = 0.
Przy odbiciu od swobodnego końca fale odbijają się bez zmiany fazy.
Położenie strzałek i węzłów można obliczyć podobnie jak wyżej.

Prędkość grupowa

Rozważmy przypadek, gdy w danym ośrodku biegną fale o długości

 z

prędkością

n

r

oraz o długości (

 + d) z prędkością

(

)

d

n

n

+

r

r

Obie fale biegną w kierunku osi x (rysunek).

Obliczamy prędkość u wierzchołka fali powstałej w wyniku superpozycji
obu fal.

U – prędkość grupowa

W chwili t = 0 wierzchołek „grupy” fal znajduje się w punkcie B (B’). Po
czasie t wierzchołek „grupy” fal przesunął się na odległość s (teraz
zgodne fazy mają punkty A i A’).

Zatem

s

U

t

=

ale

s vt l

= -

stąd

U v

t

l

= -

*)

Z rysunku

(

)

d

v dv t vt t dv

d

t dv

d

t

dv

l

l

l

= +

-

= �

= �

=

podstawiamy do wzoru *)

dv

U v

d

l

l

= -

Jeśli w ośrodku nie występuje tzw. dyspersja to

0

dv

dl

=

U <

  - prędkość fazowa

wtedy U = v

Zasada Huygensa-Fresnela. Ugięcie fal.

Treść zasady Huygensa-Fresnela składa się z przyjętych bez dowodu postulatów:

1. Źródło fali Z można zastąpić układem fikcyjnych źródeł fal wtórnych.
Jako te fikcyjne źródła można przyjąć małe odcinki zamkniętej
powierzchni otaczającej źródło Z.

2. Źródła wtórne są spójne. Za powierzchnię S przyjmuje się
powierzchnię falową. Wtedy fazy drgań źródeł wtórnych są takie same, a
także moce wtórnych źródeł są jednakowe.

3. Amplituda fali wtórnej jest tym mniejsza im większy jest kąt

, jaki

tworzy kierunek fali z

normalną do powierzchni. Amplituda = 0, gdy

2

p

a �

Nie istnieją fale wsteczne.

4. Jeżeli część powierzchni S jest zasłonięta, fale wtórne wysyłane są tylko
przez odsłoniętą część powierzchni S. Wysyłanie fal odbywa się tak, jak w
nieobecności osłony.

Każdy punkt ośrodka, w którym rozchodzi się fala jest źródłem fal

cząstkowych; obwiednia fal cząstkowych tworzy czoło fali (powierzchnie

falową).

Odbicie fali. Prawo odbicia.

 - kąt padania

 - kąt odbicia

AD = BC

(fala cząstkowa rozejdzie

się na odległość AD w

czasie, w którym czoło

fali padającej przebędzie

odległość CB)

z przystawania trójkątów

(kąty

o

ramionach

wzajemnie prostopadłych

są sobie równe)

b a

=

prawo odbicia

Kąt odbicia fali równa się kątowi padania.

ACB

ADB

D

=D

CAB

ABD

=

R

R

CAB a

=

R

ABD b

=

R

Załamanie fali. Prawo załamania.

 – kąt załamania

1 – prędkość fali padającej w ośrodku I

2 – prędkość fali załamanej w ośrodku II

1

2

;

CB vt AB vt

=

=

ramiona

wzajemnie

prostopadłe

1

2

sin

; sin

vt

v t

AB

AB

a

b

=

=

1

1

2/1

2

2

sin

sin

vt

v

n

v t v

a

b

=

= =

współczynnik
załamania
ośrodka II
względem I

1

2/1

2

sin

sin

;

sin

sin

v

n

v

a

a

b

b

=

=

prawo załamania

CAB
ABD

a

b

=

=

R
R

Natężenie fali

Rozchodzenie się fali polega na przekazywaniu energii (w przypadku fal
mechanicznych – przekazywaniu energii ruchu drgającego cząstek
ośrodka).
Natężeniem fali nazywamy wielkość liczbową równą ilości energii
przenoszonej w jednostce czasu przez jednostkę powierzchni
prostopadłą do kierunku rozchodzenia się fali.

2

[

]

J

I

S t

ms

e

=

D

Ponieważ energia ruchu drgającego cząstek ośrodka jest proporcjonalna

do kwadratu amplitudy drgań wokół ich położeń równowagi (



~ A

2

)

zatem natężenie fali jest również proporcjonalne do kwadratu amplitudy
fali.

2

I A

:

~

Tłumienie fal

Rozchodzeniu się fali w ośrodku towarzyszy pochłanianie energii
(część energii drgań zamienia się w energię ruchu cieplnego).
Załóżmy, że fala płaska przechodzi przez warstwę substancji o
grubości x. Natężenie fali zmienia się od wartości I

0

do I, przy czym I

< I

0

.

Przeźroczystość danej substancji D dla danej fali wyraża się stosunkiem:

0

I

D

I

=

Przyjmując, że ilość energii pochłoniętej w warstwie o grubości dx w
jednostce czasu i w jednostkowej powierzchni jest proporcjonalna do I i
dx, możemy zapisać:

dI

Idx

b

=-

gdzie:
 – współczynnik pochłaniania energii w ośrodku

dI

dx

I

b

=-

Całkując stronami otrzymujemy:

lnI

x C

b

=-

+

C wyznaczamy z warunków początkowych – jeśli x = 0, to I = I

0



lnI

0

= C

Zatem

0

0

0

0

0

ln

ln

ln

ln

ln

x

x

I

x

I

I

I

x

I

x

I

I

e

I

I I e

b

b

b

b

b

-

-

=-

+

-

=-

=-

=

=

Wniosek:

Natężenie fali wykładniczo maleje z grubością warstwy (przy stałym

).

Elementy akustyki

Fale akustyczne są to fale podłużne rozchodzące się w ośrodku
sprężystym. Źródłami fal akustycznych (głosowych) są ciała drgające
(struny, membrany).

Ucho ludzkie odbiera fale głosowe w przedziale częstości 20 – 20 000
Hz. Fale o częstości

f < 20 Hz nazywamy infradźwiękami

,

a o częstości

f > 20 000 Hz ultradźwiękami

.

Tzw. szumy nie maja charakteru periodycznego.
Odpowiada im ciągły zakres częstości.

W zależności od kształtu widma akustycznego rozróżniamy:

1. tony
2. dźwięki
3. szumy

Dźwięki słyszalne charakteryzujemy podając:

1. częstość drgań (wysokość dźwięku)

2. amplitudę drgań (głośność – natężenie dźwięku)

3. widmo akustyczne (barwę dźwięku)

f

f

f

f

0

f

0

2f

0

4f

0

Za głośność wzorcową przyjmujemy głośność dźwięku o częstości 1 kHz
i natężeniu I

0

= 10

-12

J/m

2

s (próg słyszalności)

Głośność dźwięku o tej samej częstości i o innym natężeniu I określamy
prawem Webera:

0

lg

I

I

b =

Głośność wyrażamy w belach (B) lub decybelach (dB):

1dB = 0,1 B

Np. I = 1000 I

0

, to

 = lg1000 = 3 B = 30 dB

Głośność dźwięku o innej częstości porównujemy z głośnością
dźwięku o częstości 1 kHz. Wówczas głośność wyrażamy w

fonach

.

Tzn. jeśli dany dźwięk wydaje się „tak samo głośny” jak dźwięk o
częstości
1 kHz i głośności

 dB, to jego głośność określamy jako  fonów.

Próg bólu: 120 dB przy f = 5000 Hz

szelest liści

rozmowa

hałas uliczny

fortissimo orkiestry

10 – 20 dB

50 – 70 dB

80 – 90 dB

90 – 100 dB

Zjawisko Dopplera

Gdy źródło jest nieruchome to w czasie t wysyła n zagęszczeń.
W tym czasie pierwsze zagęszczenie przebędzie odległość

s = Vdt

d

d

V t V

n

l

g

=

=



1.Ruchome źródło dźwięku, nieruchomy obserwator

Jeśli Z porusza się z prędkością Vz, to n zagęszczeń znajdzie się w odległości:

1

(

)

d

z

d

z

s V t Vt

V V t

=

-

=

-

W tym przypadku

(

)

'

d

z

V V t

n

l

-

=

ale

, zaś

Zatem

, ale

więc

'

'

d

V

l

g

=



'

'

d

V

g

l

=



'

(

)

d

d

Z

V n

V V t

g =

-



n

t

g

= 

'

d

d

z

V

V V

g g

=

-





1

'

1

z

d

V

V

g

g

=

-

 

Jeśli źródło oddala się od obserwatora to :

2.Nieruchome źródło dźwięku, obserwator porusza się z prędkością V

o

1

'

1

z

d

V

V

g

g

=

+

 

;

;

s

n

n

t

n

t

l

g

g

=

=

=





t’ – czas, w którym obserwator minie n zagęszczeń

'

'

n

t

g

=



(

) '

(

) '

(

)

'

(

)

'

d

d

o

d

d

o

d

o

d

d

o

d

s V t

s V V t

V t

V V t

n

V V n

V

V V

V

g

g

g g

=

=

+

=

+

+

=

+

=







'

(1

)

o

d

V

V

g

g

=

+



