Stało- i zmiennopozycyjna

reprezentacja liczb

binarnych

Zapis stałoprzecinkowy

Aby umożliwić również zapis liczb ułamkowych,

musimy rozszerzyć wagi pozycji w stronę
ujemnych potęg podstawy. Część ułamkową
oddzielimy od części całkowitej zapisu za
pomocą znaku przecinka.

waga p

n-1

… p

2

p

1

p

0

, p

-1

p

-2

… p

-m

cyfry a

n-1

… a

2

a

1

a

0

, a

-1

a

-2

… a

-m

Wbrew pozorom obliczenie wartości tak

zapisanej liczby wcale nie jest trudniejsze.
Zasada nie zmienia się i musimy sumować
kolejne iloczyny wartości cyfr przez wartości
wag pozycji. Obliczenia rozpoczynamy od
pierwszej pozycji po prawej stronie.

a

n-1

...a

2

a

1

a

0

, a

-1

a

-2

...a

-m

  =  a

-m

p

-m

+ ... + a

-2

p

-

2

+ a

-1

p

-1

+ a

0

p

0

+ a

1

p

1

+ a

2

p

2

+ ... + a

n-1

p

n-

1

W przypadku liczb binarnych p=2.

Przykład

Obliczyć wartość liczby dwójkowej 11101,011

B

11101,011

B

= 1 * 2

-3

+ 1 * 2

-2

+ 0 * 2

-1

+ 1 * 2

0

+ 0 *

2

1

+ 1 * 2

2

+ 1 * 2

3

+ 1 * 2

4

11101,011

B

= 1 * 1/8 + 1 * 1/4 + 0 * 1/2 + 1 * 1 + 0 *

2 + 1 * 4 + 1 * 8 + 1 * 16

11101,011

B

  = 1/8 + 1/4 + 1 + 4 + 8 + 16

11101,011

B

= 29 3/8

Zamiana ułamka dziesiętnego na wartość binarną
Metoda zamiany jest dwuetapowa.
Najpierw zamieniana jest część całkowita ułamka.

Wtedy stosuje się cykliczne dzielenie przez 2 i

sprawdzanie reszty z dzielenia.

Następnie zamienia się część ułamkową. Zamiana

polega na cyklicznym mnożeniu ułamka razy 2 i

sprawdzaniu, czy wynik nie jest większy lub równy 1.

Jeżeli jest >= 1 to wyznaczony bit części ułamkowej

jest także równy jeden. Do dalszych obliczeń bierze

się część ułamkową wyniku.

Czasem zamiana części ułamkowej na postać binarną

prowadzi do osiągnięcia nieskończenie długiej

kombinacji zer i jedynek. Dlatego zawsze należy

przyjąć dodatkowy warunek - ile bitów jest

przeznaczone na zapis części ułamkowej. Obliczenia

wykonuje się wtedy dotąd, aż osiągnie się potrzebną

liczbę bitów

Przykład
Zamienić ułamek 12.7 na postać binarną 8-bitową,

gdzie przecinek jest po czterech bitach (4b,4b).

Etap 1
Część całkowita 12

D

to w postaci dwójkowej 1100

B

.

Etap 2
Obliczanie części ułamkowej wygląda następująco:
0.7 * 2 = 1.4 -> 1
0.4 * 2 = 0.8 -> 0
0.8 * 2 = 1.6 -> 1
0.6 * 2 = 1.2 -> 1
0.2 * 2 = ….. – tutaj przerywamy obliczenia
i stąd 12.7

D

= 1100,1011

B

Zapis zmiennopozycyjny

Z zapisem zmiennoprzecinkowym można

spotkać się w przypadkach, gdzie przy jego
pomocy przedstawia się albo bardzo duże
wartości, albo bardzo małe. Zapis ten nazywa
się często notacją naukową, np.:

Gwiazda Proxima Centauri znajduje się w

odległości 9460800000000 [km], czyli
9,4608 * 10

12

.

Masa elektronu wynosi m

e

=

0,00000000000000000000000000091095
[g], czyli  9,1095 x 10

-28

[g]

Liczba zapisana w systemie

zmiennoprzecinkowym składa się z dwóch
części: liczby stałoprzecinkowej, której
wartość bezwzględna jest mniejsza od
wartości podstawy systemu pozycyjnego oraz
z podstawy podniesionej do pewnej potęgi
zwanej wykładnikiem lub cechą. Wartość
liczby jest równa iloczynowi części
stałoprzecinkowej i wykładniczej:

w = m * p

e

,

m - mantysa, p - podstawa systemu, e -

wykładnik potęgowy.

Obliczanie wartości dwójkowej liczby

zmiennoprzecinkowej

Przyjmijmy następujące ustalenia. Dwójkowa liczba

zmiennoprzecinkowa zbudowana jest z dwóch

części: z mantysy m i wykładnika  potęgowego e

(zwanego również cechą). Ponieważ podstawa

systemu liczenia jest znana i wynosi 2, więc nie

ma potrzeby umieszczać jej w zapisie liczby.

Mantysa m jest liczbą stałoprzecinkową na moduł

mniejszą od 1. Wykładnik e jest liczbą całkowitą.

Obie części mogą być zapisane np. w kodzie U2

lub kodzie ZM.

wykładnik

e

mantysa

m

n-bitów

m-bitów

 liczba

zmiennoprzecinkowa 

Wartość liczby liczymy wg wzoru:

w = m * 2

e

Obliczenia
Niech wykładnik zbudowany będzie z n bitów.

Ponieważ jest to liczba całkowita, więc jej wartość
obliczamy w poznany wcześniej sposób:

n-2

e = a

n-1

a

n-2

a

n-3

...a

2

a

1

a

0

= a

n-1

(-2

n-1

) +



a

i

2

i

i=0

czyli zgodny z zapisem dla liczb w kodzie U2

Mantysa ma być ułamkiem mniejszym na moduł od 1.

Jeśli jest zbudowana z m bitów, to waga najstarszego
bitu wynosi w kodzie U2 -2

0

, czyli -1. Następna pozycja

ma wagę 2

-1

, czyli 1/2, itd. Rozpiszmy to następująco:

m = a

n-1

, a

n-2

a

n-3

...a

2

c

1

a

0

= a

n-1

(-2

0

) + a

n-2

2

-1

+ a

n-3

2

-2

+

... + a

2

2

-n+3

+ a

1

2

-n+2

+ a

0

2

-n+1

Dla przykładowej, 4-bitowej mantysy wzór ten przyjmie

następującą postać:

m = a

3

, a

2

a

1

a

0

= a

3

(-2

0

) + a

2

2

-1

+ a

1

2

-2

+ a

0

2

-3

m = a

3

, a

2

a

1

a

0

= a

3

* -1 + a

2

* 1/2 + a

1

* 1/4 + a

0

*

1/8
m = a

3

, a

2

a

1

a

0

= - a

3

+ a

2

/ 2 + a

1

/ 4 + a

0

/ 8

Przykład – liczba 8-bitowa, po 4 bity na mantysę i

wykładnik

00110111

ZP

= ...?

D

Najpierw wydobywamy z liczby wykładnik e i mantysę m:

0011 0111
e m

Teraz obliczamy kolejno wartość wykładnika i mantysy:

e = 0011

U2

= 0 * (-8) + 0 * 4 + 1 * 2 + 1 * 1

e = 0011

U2

=  2 + 1

e = 0011

U2

=  3

D

m = 0,111

U2

= - 0 + 1/2 + 1/4 + 1/8

m = 0,111

U2

= 1/2 + 1/4 + 1/8

m = 0,111

U2

= 4/8 + 2/8 + 1/8

m = 0,111

U2

= 7/8

Mając e i m, podstawiamy do wzoru i otrzymujemy

00110111

ZP

= 7

D

Obliczanie reprezentacji zmiennoprzecinkowej
Mamy określony format zapisu liczby

zmiennoprzecinkowej w systemie dwójkowym.

Wiemy, że wykładnik ma zawierać n - bitów w

kodzie U2, a cecha m bitów w zapisie

stałoprzecinkowym U2.

Przykład prostego systemu zmiennoprzecinkowego, w

którym wykładnik i cecha mają po 4 bity długości.

Przykładową liczbą niech będzie wartość 56:

56

D

= 111000

B

= 0111000

U2

- dodajemy zero, aby

zaznaczyć, iż jest to liczba dodatnia.

Zapiszemy wzór obliczeniowy, a następnie będziemy

przesuwać w prawo cyfry mantysy dodając

jednocześnie 1 do wykładnika, aż znacząca jedynka

znajdzie się na pozycji o wadze 1/2.

0111000,000

U2

=2

0000U2

011100,000

U2

=2

0001U2

- przesuwamy cyfry mantysy

w prawo, zwiększamy wykładnik

01110,000

U2

=2

0010U2

0111,000

U2

=2

0011U2

011,100

U2

=2

0100U2

01,110

U2

=2

0101U2

0,111

U2

=2

0110U2

- kończymy, mantysa jest

znormalizowana

Otrzymujemy więc:

e = 0110  = 6

D

m = 0,111 = 7/8, sprawdzamy: 7/8 x 2

6

= 448/8 =

56

Dla liczby 9

D

9

D

= 1001

B

= 01001

U2

01001,000

U2

=2

0000U2

0100,100

U2

=2

0001U2

010,010

U2

=2

0010U2

01,001

U2

=2

0011U2

- ostatnia jedynka zaraz zniknie!!!

0,100

U2

=2

0100U2

- koniec

Otrzymaliśmy wynik:

e = 0100  = 4

D

m = 0,100 = 1/2, sprawdzamy: 1/2 * 2

4

= 16/2 = 8

9

D

=? 01000100

ZP