1

Podstawy teorii sygnałów

i systemów sterowania

Wykład 13

Kryterium stabilności

Nyquista

Metoda linii pierwiastkowych

Metoda płaszczyzny fazowej

2

_

G

0

(j

)

G

0

(j

)

a)

b)

)

(

1

)

(

)

(

0

0

s

G

s

G

s

G





0

)

(

1

0





s

G

0

)

(

1

0





g

j

G



1

)

(

0





g

j

G



π

0

)

(

j

g

e

j

G







π

)

(

,1

)

(

0

0







g

g

j

G







Kryterium stabilności Nyquista

3

Re [G

0

(j

)]

Im [G

0

(j

)]

(–1, j0)

 =

0

 =



Układ

zamknięt
y

stabiln
y

Układ
zamknięt
y
niestabil
ny

W układzie
zamknięty
m
wystąpią
drgania







-

 =

0

 =



Re[G

0

]

Im
[G

0

]

(-1,j0)



g

4

,

)

j

(

G

log

)

(

Lm

0

20

π

-

0

π

-

0









1

0

0







)

j

(

G





,

)

(

Lm

0

π

-

0





1

π

-

0



)

j

(

G



,

)

(

Lm

0

π

-

0





0

π

-

0



)

j

(

G





-







Lm

0

(

)



0

(

)

Lm







g

[dB
]

[

o

]

Logarytmiczne kryterium Nyquista

5

P

rzykład

7

.4

.

Transm

itancja operatorow

a układu otw

artego m

a postać

)

1

7

,

0

)(

1

6

,

0

)(

1

3

,

0

(

5

,

3

)

(

0









s

s

s

s

G

n

m

e

s

kR

s

s

s

s

s

s

z

s

z

s

z

s

k

a

s

a

s

a

s

b

s

b

s

b

s

k

s

M

s

L

k

s

G

s

j

n

m

n

n

n

m

m

m

















































)

(

0

2

1

2

1

0

1

1

1

0

1

1

1

0

0

0

0

)

(

)

)...(

)(

(

)

)...(

)(

(

...

...

)

(

)

(

)

(



)

(

)

(

)

(

)

(

1

)

(

)

(

0

0

0

0

0

s

M

s

kL

s

kL

s

G

s

G

s

G









Metoda linii pierwiastkowych

6

0

)

(

1

0





s

G

1

)

(

)

(

0

0





s

j

e

s

kR



1

)

(

0



s

kR

π

)

1

2

(

π

2

π

)

(

0













l

l

s



Na podstawie ostatnich dwóch wzorów można wyznaczyć punkt po punkcie linie

pierwiastkowe dla danego rozmieszczenia zer i biegunów układu otwartego przy

różnych wartościach wzmocnienia k.

7

8

k

s

s

k

s

s

k

s

s

k

s

G

s

G

s

G



















2

0

0

)

1

(

1

)

1

(

)

(

1

)

(

)

(

0

2







k

s

s

k

s

4

1

2

1

2

1

2

,

1









9

-1

k = 0

4

1



k

Re[s]

Im[s]

k = 0

4

1



k

4

1



k

0

10

Metoda przestrzeni i płaszczyzny

fazowej

11

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

x

a

a

x

a

a

x

a

a

x

a

a

x

x

x

x

x

x

x

1

1

2

2

1

1

0

1

3

2

2

1







































12

13

Trajektoria fazowa
przebiegu drgającego
tłumionego (układ
stabilny)

Trajektoria fazowa

przebiegu drgającego z
rosnącą amplitudą
(układ niestabilny)

x

1

= y

y

x





2

x

1

= y

y

x





2

14

2

2

1

0

1

2

x

a

x

a

dx

dx





x

1

=

y

0

Trajektoria fazowa
przebiegu drgającego
nietłumionego

Trajektorie fazowe

przebiegów
aperiodycznych: 1 –
stabilnego, 2 –
niestabilnego

x

1

=

y

0

1

2

y

x





2

y

x





2

15

Punkt opisujący trajektorie fazow e porusza się po

trajektoriach w kierunku zgodny m z ruchem w skaz ó-
w ek zegara. W y nika to z rozw ażania doty czącego zna-

ków sy gnałów x

1

i x

2

gw arantujący ch dodatniość ró ż-

niczki czasu

2

1

x

dx

dt 

.

W części płaszczy zny fazow ej znajdującej się nad

osią x

1

, gdzie x

2

 0, pow inno by ć dx

1

 0, co odpow ia-

da ruchow i punktu opisującego w kierunku w zrastają-

cy ch w artości x

1

. N ato m iast w dolnej części płaszcz y -

zny znajdującej się pod osią x

1

, gdzie x

2

 0, pow inno

by ć dx

1

 0, co odpow iada ruchow i punktu opisującego

w kierunku m alejący ch w artości x

1

.

Zatem dla przebiegów odbywających się w czasie li-

czonym w kierunku dodatnim punkt opisujący przesuwa

się w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara.