Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
Wykład 5
Wykład 5
Wykład 5
Charakterystyki
Charakterystyki
częstotliwościowe
częstotliwościowe
Janusz KOWAL
Janusz KOWAL
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Akademia Górniczo-Hutnicza
Akademia Górniczo-Hutnicza
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Charakterystyki częstotliwościowe
Sygnał harmoniczny podawany na wejście elementu
liniowego jest istotny ze względu na:
dość częste występowanie w wielu układach,
możliwość rozkładu innych sygnałów o charakterze
okresowym na szereg Fouriera złożony z funkcji
harmonicznych.
x(t) y(t)
Element
liniowy
Ogólny symbol graficzny elementu liniowego
2
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Sygnał harmoniczny w postaci zespolonej można zapisać
jako:
jÉt
x(t) = A1(É)(cosÉt + j sinÉt) = A1(É)e
gdzie: A1 - amplituda sygnału
2Ä„
É =
- pulsacja sygnału (T - okres drgań)
T
Przy takim sygnale wejściowym, odpowiedz
y(t) elementu
ma również charakter harmoniczny.
y(t) = A2(É)[cos(Ét +Õ(É))+ jsin(Ét +Õ(É))]= A2(É)ej(Ét+Õ(É))
3
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Podstawiając wyżej wymienione równania do równania
różniczkowego
n n-1 m m-1
d y(t) d y(t) d x(t) d x(t)
an + an-1 + ... + a0 y(t) = bm + bm-1 + b0 x(t)
n n-1 m m-1
dt dt dt dt
można wyznaczyć stosunek amplitud sygnałów
wyjściowego i wejściowego
M (É ) = A2 (É ) A1 (É )
oraz przesuniÄ™cie fazowe Õ(É) miÄ™dzy tymi sygnaÅ‚ami
n n-1
j(Ét+Õ(É )) j(Ét+Õ(É )) j(Ét+Õ(É ))
an(jÉ) A2(É)e + an-1( jÉ) A2(É)e + K+ a0 A2(É)e =
m m-1
jÉt jÉt jÉt
= bm(jÉ) A1(É)e + bm-1(jÉ) A1(É)e +K+ b0 A1(É)e
4
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Przekształcając
m m-1
bm( jÉ) + bm-1( jÉ) + K + b0 A2(É)e
jÕ(É)
= = G( jÉ)
n n-1
A1(É)
an( jÉ) + an-1( jÉ) + K + a0
Wielkość G(jÉ) nazywana jest transmitancjÄ… widmowÄ….
Pojęcie transmitancji widmowej związane jest z
przekształceniem Fouriera, które przyporządkowuje
funkcjom czasu f(t), funkcje pulsacji G(jÉ) wg zależnoÅ›ci:
"
G( jÉ) = f (t)e- jÉt dt
+"
-"
zwaną całką Fouriera.
5
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Transmitancję widmową wyznaczyć można także na
podstawie transmitancji operatorowej stosujÄ…c podstawienie
G( jÉ) = G(s)
s= jÉ
Z zależności wynika, że transmitancja widmowa jest
wektorem, którego moduÅ‚ M(É) dla każdej pulsacji É, jest
stosunkiem amplitudy sygnału wyjściowego do
amplitudy sygnału wejściowego,
A2(É)
G( jÉ) = M (É) =
A1(É)
a argumentem Õ(É) przesuniÄ™cie fazowe sygnaÅ‚u
wyjściowego względem sygnału wejściowego.
arg G( jÉ ) = Õ(É )
6
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Charakterystyka amplitudowo-fazowa
Q(É)
P(É1)
É=" P(É)
É=0
Õ(É1)
M(É1)
Q(É1)
É1
7
Przykładowy przebieg charakterystyki amplitudowo-fazowej
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Charakterystyki amplitudowo-fazowe układów rzeczywistych,
dla których stopień wielomianu licznika transmitancji jest
niższy od stopnia wielomianu mianownika, dążą do
początku układu współrzędnych
G( jÉ) 0, gdy É "
Korzystając z równania
jÕ
e = cosÕ + j sin Õ
transmitancję widmową można zapisać w następującej
postaci
jÕ(É )
G( jÉ) = M (É)e
G( jÉ) = P(É) + jQ(É)
8
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
gdzie
Q(É) = ImG( jÉ) = M (É)sinÕ(É)
P(É) = ReG( jÉ) = M (É)cosÕ(É)
Ponadto na podstawie charakterystyki amplitudowo-fazowej
można napisać
M (É) = G( jÉ) = P2 (É) + Q2 (É)
oraz
Q(É)
Õ(É) = argG( jÉ) = arc tg
P(É)
9
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Charakterystyki logarytmiczne
logarytmiczna charakterystyka amplitudowa
przedstawia wykres zależności między logarytmem
dziesiÄ™tnym moduÅ‚u transmitancji widmowej M(É) i
logarytmem dziesiÄ™tnym pulsacji É. Logarytm z moduÅ‚u
transmitancji widmowej M(É) podaje siÄ™ w dB.
L(É) = 20logG( jÉ) = 20log M (É)
logarytmiczna charakterystyka fazowa przedstawia
natomiast wykres zależnoÅ›ci argumentu Õ(É) od
logarytmu dziesiÄ™tnego pulsacji É.
10
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
duże znaczenie praktyczne charakterystyk
logarytmicznych wynika z łatwości określania
charakterystyki wypadkowej układu, złożonego ze
znanych elementów liniowych połączonych szeregowo.
Wypadkowa transmitancja widmowa G(jÉ) takiego ukÅ‚adu
jest równa iloczynowi transmitancji elementów
składowych.
Załóżmy, że
jÕ1(É ) jÕ2 (É )
G1( jÉ) = M1(É)e oraz G2 ( jÉ) = M (É)e
2
wtedy
j[Õ1(É )+Õ2 (É )]
G( jÉ) = G1( jÉ)G2 ( jÉ) = M1(É)M (É)e
2
stÄ…d
M (É) = M1(É)M (É)
2
Õ(É)= Õ1(É)+ Õ2(É) 11
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Na podstawie równania
L(É) = 20logG( jÉ) = 20log M (É)
przyjmujemy
L(É)= 20log M1(É)M (É) = 20log M1(É) + 20log M (É)
2 2
oznaczajÄ…c
L1(É)= 20log M1(É) oraz L2(É)= 20log M (É)
2
równania charakterystyk logarytmicznych układu można
zapisać jako
L(É) = L1(É) + L2 (É)
Õ(É)= Õ1(É)+ Õ2(É)
12
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
L(É) PrzykÅ‚adowe przebiegi charakterystyk logarytmicznych
20
H"3 dB
15
-20 dB/dek
dokładna
10
przybliżona
5
És
É
0
10-1 100 101
Õ(É)
És
1/5És 5És
É
0
-45
dokładna
przybliżona
H"11°
-90
13
10-1 100 101
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Przykład 1
Sporządzić charakterystyki częstotliwościowe (amplitudowo-fazową,
logarytmiczne: amplitudową i fazową) układu automatyki, którego
schemat przedstawiono na poniższym rysunku:
gdzie:
d, x - wymiary okienka,
v - prędkość przepływu
oleju w okienku,
A - powierzchnia tłoka
siłownika,
Pz - ciśnienie zasilania
(pz = const),
Ps - ciśnienie spływu
(ps = const).
u  przesunięcie dz
wigni
(wejście)
y  przesunięcie tłoczyska
siłownika (wyjście)
14
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Dz
wignia dwustronna
Wykorzystując zasadę superpozycji działanie dz
wigni
można przedstawić jako złożenie przesunięć składowych,
pokazanych na rysunkach poniżej
Dla małych kątów wychyleń dz
wigni:
a)
A a B b C
x1
u
x1 b
u
= x1 = u
stÄ…d
b a + b a + b
gdzie:
x1 - przesunięcie dz
wigni przy obrocie wokół punktu C
15
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
b)
x2
y a
= x2 = y
stÄ…d
a a + b a + b
y
x2
A a B b C
gdzie:
x2 - przesunięcie dz
wigni przy obrocie wokół punktu A
Wypadkowe przesunięcie punktu B dz
wigni można
zapisać jako: x = x1 - x2
Podstawiając równania na x1 i x2 do powyższego równania
otrzymamy:
b a
x = u - y
a + b a + b 16
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Siłownik hydrauliczny
Zmiana objętości oleju pod tłokiem siłownika wynosi
dy
A = Q
dt
Objętościowe natężenie przepływu Q oleju przez suwak
Q = d Å" x Å"½
gdzie: d·x - powierzchnia przepÅ‚ywu oleju
v - prędkość przepływu.
A
T1 =
Porównując powyższe wzory i oznaczając
d Å" v
dy
otrzymamy
T1 = x
dt
17
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Wyznaczenie transmitancji operatorowej układu
Stosując przekształcenie Laplace a do równań opisujących
działanie dz
wigni i siłownika otrzymamy
b a
X (s) = U (s) - Y (s) i
T1sY(s) = X (s)
a + b a + b
Po podstawieniu otrzymamy
a b
ëÅ‚T s + öÅ‚Y (s) =
U (s)
ìÅ‚ ÷Å‚
1
a + b a + b
íÅ‚ Å‚Å‚
stÄ…d
b b gdzie:
Y(s) K b
a + b a
K =
G(s) = = =
=
a
a a + b
U (s)
T1s + T1 s +1
a + b
Ts +1
T = T1
a + b a
18
a
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Wyznaczenie transmitancji widmowej układu
Podstawiając do równania na transmitancję operatorową
s=jÉ otrzymamy
K
G( jÉ ) =
1+ jTÉ
Część rzeczywistą i urojoną transmitancji widmowej można
obliczyć mnożąc licznik i mianownik powyższej zależności
przez liczbę sprzężoną z mianownikiem:
K 1 - jTÉ K (1 - jTÉ) K KTÉ
G( jÉ) = Å" = = - j
2 2 2 2 2 2
1 + jTÉ 1 - jTÉ
1 + T É 1 + T É 1 + T É
- KTÉ
ImG( jÉ) = Q(É) =
gdzie:
2 2
1+ T É
K
ReG( jÉ) = P(É) =
2 2
19
1+ T É
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Wyznaczenie charakterystyki amplitudowo-fazowej
Z równań
K
- KTÉ
i
P(É)=
Q(É)=
2 2
2 2
1+ T É
1+ T É
wynika równanie charakterystyki amplitudowo-fazowej
Q2(É)+ P2(É)- KP(É)= 0
Po uzupełnieniu znoszącymi się wyrażeniami otrzymamy
2 2
K K
Q2(É)+ P2(É)- KP(É)+ - = 0
4 4
2
2
K K
îÅ‚P Å‚Å‚
Q2 (É)+ (É)- =
ïÅ‚ śł
2 4
ðÅ‚ ûÅ‚
20
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Jest to równanie okręgu o promieniu K/2, o środku
leżącym w punkcie [K/2, j0]. Ze wzoru wynika, że część
urojona transmitancji widmowej jest ujemna dla É > 0.
WartoÅ›ci P(É) i Q(É) można również wyznaczyć ze wzorów
- KTÉ K
Q(É)= i P(É)=
2 2 2 2
1+T É 1+ T É
dla różnych wartoÅ›ci É z przedziaÅ‚u (0, +") i zestawić dane
w tabeli.
K
É
"
0
2
1
0
P(É) K
T
K
-
0
Q(É) 0
2
21
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Q(É)
K
P(É)
É=" 2
É=0
0
K
-
1
2
É =
T
Charakterystyka amplitudowo-fazowa układu
22
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Wyznaczenie logarytmicznej charakterystyki
amplitudowej
Wykorzystując wykładniczy zapis liczb zespolonych i równanie
jÕ(É )
G( jÉ) = M (É)e
transmitancję widmową omawianego układu można zapisać jako
j0
K Ke K
jÕ (É )
G( jÉ) = = = e- jarc tg TÉ = M (É)e
arc tg TÉ
2 2 j 2 2
1+ jTÉ
1+ T É e 1+ T É
Równanie charakterystyki amplitudowej można więc zapisać w postaci
K
M(É ) =
2 2
1+ T É
Równanie to można także wyznaczyć ze wzoru
M (É) = G( jÉ) = P2 (É) + Q2 (É)
23
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
2 2 2 2
K K T É
M (É) = G( jÉ) = P2 (É) + Q2 (É) = +
2 2 2 2
(1 + T É )2 (1 + T É )2
2 2 2
K (1 + T É ) K
M (É) = =
2 2
2 2
(1 + T É )2
1 + T É
ChcÄ…c wyrazić moduÅ‚ M(É) w decybelach, korzystamy z równania
L(É) = 20log G( jÉ) = 20log M (É)
Otrzymujemy
K
L(É) = 20log M (É) = 20log
2 2
1+ T É
2 2
L(É) = 20log K - 20log 1+ T É
24
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Ponieważ wykreślenie charakterystyki według powyższego
wzoru jest pracochłonne, można użyć charakterystyk
asymptotycznych, które są przybliżeniem charakterystyk
rzeczywistych. Powstają w ten sposób charakterystyki
logarytmiczne aproksymowane odcinkami linii prostych.
Cały zakres częstotliwości dzielimy na dwie części:
1
2
Dla T 2É << 1 czyli
É <<
T
1
2
Dla T 2É >> 1 czyli É >>
T
1
És =
Częstotliwość graniczna nazywana jest częstotli-
T
wością sprzęgającą.
25
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Dla pierwszego zakresu częstotliwości, można w równaniu
2 2
L(É) = 20log K - 20log 1+ T É
pominąć jego drugi składnik, stąd
1
dla É << L(É) = 20log K
T
Dla drugiego zakresu częstotliwości, można w równaniu
2 2
L(É) = 20log K - 20log 1+ T É
pominąć jedynkę pod pierwiastkiem, stąd
1 K
É >> L(É) = 20log
dla
T TÉ
26
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Ponieważ oś odciętych logarytmicznej charakterystyki amplitudowej ma
podziałkę logarytmiczną, równaniom
1
É << L(É) = 20log K
T
1 K
É >> L(É) = 20logK - 20logTÉ = 20log
T TÉ
odpowiadajÄ… na wykresie odcinki linii prostej. WstawiajÄ…c do drugiego
równania dwie dowolne wartoÅ›ci É, wyznaczamy nachylenie tego
odcinka charakterystyki względem osi odciętych.
1
Przykładowo dla mamy
És =
T
KT
L(És ) = 20log = 20log K
T
KT
L(10És ) = 20log = 20log K - 20log10 = 20log K - 20
10T
27
[dB/dek]
L(10És ) - L(És) = -20
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Prosta o równaniu
K
L(É) = 20logK - 20logTÉ = 20log
TÉ
przecina oÅ› odciÄ™tych przy pulsacji É dla której L(É)=0, czyli
K K K
20 log = 0 Ò! =1 Ò! É =
TÉ TÉ T
Charakterystyka określona równaniem
K
L(É) = 20logK - 20logTÉ = 20log
TÉ
K
É =
przecina więc oś odciętych przy pulsacji i obniża się
T
o 20 dB/dek (występuje dziesięciokrotny wzrost pulsacji).
28
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Wyznaczenie logarytmicznej charakterystyki
fazowej
Na podstawie równań
jÕ(É )
G( jÉ) = M (É)e
j0
K Ke K
jÕ (É )
G( jÉ) = = = e- jarc tg TÉ = M (É)e
arc tg TÉ
2 2 j 2 2
1+ jTÉ
1+ T É e 1+ T É
Õ(É) = -arc tgTÉ
można napisać, że
Równanie to można także wyznaczyć ze wzoru
KTÉ
-
2 2
Q(É)
1+ T É
Õ(É) = arc tg = arc tg = -arc tgTÉ
K
P(É)
2 2
29
1+ T É
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Dla różnych wartoÅ›ci É z przedziaÅ‚u (0, +") można
wyznaczyć wartość Õ(É) na podstawie wzoru
Õ(É) = -arc tgTÉ
i zestawić dane w tabeli
1
"
É 0
T
Ä„
Ä„
-
0 -
Õ(É)
2
4
30
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
L(É) Charakterystyki logarytmiczne ukÅ‚adu
20
15
10
5
És
É
0
10-1 100 101
Õ(É)
És
1/5És 5És
É
0
-45
-90
31
10-1 100 101
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Przykład 2
Wyznaczyć charakterystyki częstotliwościowe (amplitudowo-
fazowÄ…, logarytmiczne: amplitudowÄ… i fazowÄ…) elementu o
transmitancji:
T1s
G(s) = gdzie T1 = 2[s], T2 = 1[s]
1+ T2s
Wyznaczenie transmitancji widmowej
podstawiamy s=jÉ do równania na transmitancjÄ™ operatorowÄ…
j2É
G( jÉ) =
1+ jÉ
obliczamy część rzeczywistą i urojoną transmitancji widmowej
2 2
j2É 1 - jÉ j2É + 2É 2É 2É
G( jÉ) = Å" = = + j
2 2 2
1 + jÉ 1 - jÉ
1 + É 1 + É 1 + É
32
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Wyznaczenie charakterystyki amplitudowo-fazowej
2
2É
2É
Q(É) =
P(É) =
2
2
1+ É
1+ É
Wyznaczamy wartoÅ›ci P(É) i Q(É) z powyższych równaÅ„
dla różnych wartoÅ›ci É z przedziaÅ‚u (0, +") i zestawiamy
dane w tabeli.
É 1 "
0
P(É) 0 1
2
Q(É) 1 0
0
33
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Q(É)
É=1
1
P(É)
É=0 É="
0
2
1
Charakterystyka amplitudowo-fazowa
34
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Wyznaczenie logarytmicznej charakterystyki
amplitudowej
TransmitancjÄ™ widmowÄ… G(jÉ) można zapisać jako:
j90
j2É 2Ée 2É
j(90-arc tgÉ )
G( jÉ) = = = e
arc tgÉ
2 j 2
1+ jÉ
1+ É e 1+ É
stąd równanie charakterystyki amplitudowej
2É
M (É) =
2
1+ É
lub wyznaczone z równania: M (É) = G( jÉ) = P2 (É) + Q2 (É)
4 2
4É 4É
2 2
M (É ) = P (É ) + Q (É ) = +
2 2
(1 + É )2 (1 + É )2
2 2
4É (1+ É ) 2É
M (É) = =
2
2
35
(1+ É )2
1+ É
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
ChcÄ…c wyrazić M(É) w decybelach korzystamy z
poniższego wzoru
2É
2
L(É) = 20 log = 20 log 2É - 20log 1+ É
2
1 + É
Aby wyznaczyć charakterystyki asymptotyczne cały zakres
częstotliwości dzielimy na dwie części:
1
2
É <<
dla É << 1 czyli
T
1
2
É >>
dla É >> 1 czyli
T
Dla pierwszego zakresu częstotliwości, można w równaniu
2
L(É) = 20 log 2É - 20 log 1+ É
pominąć jego drugi składnik, stąd
36
É << 1, L(É) = 20 log 2É
dla
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Dla drugiego zakresu częstotliwości, można w równaniu
2
L(É) = 20log 2É - 20 log 1+É
pominąć jedynkę pod pierwiastkiem, stąd
2É
É >> 1, L(É) = 20log 2É - 20logÉ = 20log
dla
É
L(É) = 20 log 2 H" 6 dB
Prosta o równaniu
L(É) = 20 log 2É
przecina oÅ› odciÄ™tych przy pulsacji É, dla której L(É)=0, czyli
1
20log 2É = 0 Ò! 2É = 1 Ò! É =
37
2
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Wyznaczenie logarytmicznej charakterystyki fazowej
Na podstawie równania
j90
j2É 2Ée 2É
j(90-arc tgÉ )
G( jÉ) = = = e
arc tgÉ
2 j 2
1+ jÉ
1+ É e 1+ É
można napisać
Õ(É) = 90 - arc tgÉ
Równanie to można także wyznaczyć ze wzoru
2É
2
Q(É) 1
1+ É
Õ(É) = arc tg = arc tg = arc tg = 90 - arc tgÉ
2
P(É) 2É É
2
1+ É
38
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Dla różnych wartoÅ›ci É z przedziaÅ‚u (0, +") można
wyznaczyć wartość Õ(É) na podstawie wzoru
Õ(É) = -arc tgTÉ
i zestawić dane w tabeli
"
É 0 1
Ä„
Õ(É)Ä„
0
2 4
39
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Przybliżoną logarytmiczną charakterystykę fazową
można wyznaczyć stosując aproksymację
trzyodcinkowÄ….
Na podstawie czÄ™stotliwoÅ›ci sprzÄ™gajÄ…cej És
wyznaczamy dwie częstotliwości pomocnicze
É1=1/5És= 0.2[1/s] i É2=5És= 5[1/s] i rysujemy trzy
odcinki aproksymujÄ…ce.
40
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
L(É)
Charakterystyki logarytmiczne układu
10
5
És É
0
-5
-10
-15
101
10-1 100
Õ(É)
1/5És
És
5És
90
45
É
41
0
10-1
100
101
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Generowanie charakterystyk częstotliwościowych
w programie MATLAB
Dana jest transmitancja układu oscylacyjnego
K
G(s) =
T1s2 +T2s +1
którą przedstawiamy w przestrzeni roboczej MATLAB-a w
następujący sposób
l=[K] - licznik transmitancji
m=[T1 T2 1] - mianownik transmitancji
Generowanie charakterystyki amplitudowo-fazowej
nyquist(l,m)
Generowanie charakterystyk logarytmicznych: amplitudowej
i fazowej
bode(l,m)
42