Algebra liniowa - zadania egzaminacyjne
Zadania (schematy zadań)
1. Rozwiązać dany układ równań liniowych [w zależności od [parametru/parametrów]].
2. Dany jest zbiór U ‚" Rn. Sprawdzić, czy zbiór U jest podprzestrzeniÄ… wektorowÄ… prze-
strzeni Rn. [Jeżeli tak, to wyznaczyć jej wymiar oraz podać przykład jej bazy.]
3. W przestrzeni Rn dane sÄ… wektory v1, . . . , vn.
a) Sprawdzić, czy wektory v1, . . . , vn generujÄ… [przestrzeÅ„ Rn/danÄ… podprzestrzeÅ„ U ‚"
Rn].
b) Sprawdzić, czy wektory v1, . . . , vn są liniowo niezależne.
c) Sprawdzić, czy wektory v1, . . . , vn stanowią bazę [przestrzeni Rn/daną podprze-
strzeÅ„ U ‚" Rn].
d) Wyznaczyć dim lin{v1, . . . , vn}.
4. Dane są podprzestrzenie U i W przestrzeni Rn. Wyznaczyć wymiary [i podać przykłady
baz] dla podprzestrzeni [U/W /U )" W /U + W ].
5. Dane jest odwzorowanie f : Rn Rm.
a) Sprawdzić, czy f jest odwzorowaniem liniowym.
b) Wyznaczyć macierz f w bazach kanonicznych.
Uwagi
1. Powyższa lista zawiera jedynie przykładowe schematy zadań. Zadania na sprawdzia-
nie nie muszą być identyczne. Będą jednak obejmowały ten sam zakres materiału.
Oznacza to, że zrozumienie rozwiązań powyższych zadań i opanowanie odpowiedniej
części teorii powinno wystarczyć na sprawdzianie.
2. Jeżeli w danym zadaniu jakiś fragment znajduje się w nawiasach kwadratowych, to
może on zostać wykreślony (na zasadzie  niepotrzebne skreślić ) i powstanie w ten
sposób prostsza wersja danego zadania. Zadania, które zawierają wiele podpunktów
także mają wiele wariantów: wystarczy wybrać dowolny niepusty zbiór podpunktów.
3. Na sprawdzianie pojawią się też pytania o teorie, tzn. będzie chodziło o podanie kon-
kretnej definicji lub twierdzenia.
4. Na sprawdzianie może pojawić się zadanie na dowód, np. jedno z ćwiczeń z wykładu.
Przykładowe zadania
1. Rozwiązać następujący układ równań liniowych
Å„Å‚
x1 + x2 + 2x3 + 2x4 + x5 = 1,
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
2x1 + 2x2 + 4x3 + 4x4 + 3x5 = 1,
ôÅ‚ 2x1 + 2x2 + 4x3 + 4x4 + 2x5 = 2,
ôÅ‚
ół
3x1 + 5x2 + 8x3 + 6x4 + 5x5 = 3.
2. W przestrzeni wektorowej R4 dane sÄ… dwie podprzestrzenie
U = {(a, b, -b, a) " R4 : a, b " R}
oraz
W = {(x1, x2, x3, x4) " R4 : x1 + x4 = 0 i x2 = x3}.
Wyznaczyć wymiary i podać przykłady baz dla podprzestrzeni U, W , U )" W oraz
U + W .
7 grudnia 2011 r. D. Kwietniak str.1 z 2
Algebra liniowa - zadania egzaminacyjne
3. Zbadać liniową niezależność wektorów (1, 2, 1), (1, 0, 2), (5, 6, 7).
4. Zbadać liniową niezależność wektorów (1, 2, 3), (2, 1, 0), (1, 5, 9). Jeżeli wektory te są
liniowo zależne, to jeden z nich przedstawić jako kombinację liniową pozostałych.
5. Sprawdzić, czy wektory v1 = (2, 3, 2), v2 = (1, 1, -1) stanowią bazę przestrzeni
lin{(1, 2, 3), (5, 8, 7), (3, 4, 1)}.
6. Niech f : R3 R3 będzie odwzorowaniem danym wzorem
f(x, y, z) = (x - 4y - 4z, 8x - 11y - 8z, -8x + 8y + 5z).
Sprawdzić, czy f jest odwzorowaniem liniowym a jeżeli tak, to podać macierz f.
7 grudnia 2011 r. D. Kwietniak str.2 z 2