Całki funkcji elementarnych

METODY CAŁKOWANIA

Nie ma ogólnej metody, która umożliwiałaby obliczanie całki nieoznaczonej dowolnej ciągłej funkcji elementarnej. Istnieją jednak metody przydatne przy całkowaniu poszczególnych typów funkcji. Umiejętność całkowania polega na poznaniu tych metod i trafnym ich doborze do postaci funkcji podcałkowej. Całkowanie funkcji tylko na podstawie wzorów bezpośrednich i najprostszych reguł nazywa się niekiedy całkowaniem bezpośrednim. Metoda ta ma bardzo ograniczony zakres - nawet tak podstawowe funkcje elementarne jak : lnx, tgx, ctgx, arcsinx, arctgx - nie całkują się bezpośrednio. Do podstawowych metod całkowania należy:  metoda tożsamościowego przekształcenia funkcji podcałkowej,  metoda zmiany zmiennej,  metoda całkowania przez części,  metoda rekurencyjna

Metoda tożsamościowego przekształcenia funkcji podcałkowej

Ogólnie wiadomo, że tożsamościowe przekształcenie wyrażenia, na którym należy wykonać określone działanie, często upraszcza wykonanie tego działania. Tak też jest z całkowaniem, algebraiczne przekształcenie funkcji podcałkowej niejednokrotnie umożliwia sprowadzenie danej całki do całki lub całek, które umiemy już obliczyć.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
O prawdziwości wzorów rachunku całkowego, jak i każdego wyniku całkowania, można się przekonać przez zróżniczkowanie, ponieważ całkowanie jest działaniem odwrotnym w stosunku do różniczkowania.

Całkowanie przez zmianę zmiennej

Jest to podstawowa i jedna z najbardziej efektywnych metod całkowania. Nazywana jest również metodą całkowania przez podstawienie. Polega ona na zastąpieniu obliczenia danej całki względem zmiennej x - obliczeniem całki względem nowej zmiennej t związanej ze zmienną x określoną zależnością, czyli tzw. podstawieniem; po obliczeniu całki względem nowej zmiennej należy wrócić do pierwotnej zmiennej zgodnie z zastosowanym podstawieniem.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

11.

xx.

xx.

xx.

xx.

Całkowanie przez części

Jest to druga, obok całkowania przez zmianę zmiennej, podstawowa metoda całkowania. Metoda ta może być zastosowana, gdy funkcja podcałkowa jest iloczynyem dwuch funkcji. Zastosowanie tego wzoru będzie celowe wtedy, gdy przy jego pomocy można całkę trudniejszą zamienić na całkę łatwiejszą.

Wykorzystując określenie różniczki funkcji można zapisać krócej

1.

Iloczyn pod znakiem całki nasuwa myśl zastosowania wzoru na całkowanie przez części. Ale ze względu na przemienność iloczynu mamy do wyboru dwie możliwości.

I.

-	jest to wzór słuszny, ale nie przydatny, ponieważ całka po prawej stronie jest trudniejsza, niż całka po lewej, i zamiast ułatwić sobie zadanie, otrzymaliśmy całke trudniejszą.

2.

 

 

3.

 

4.

 

5.

 

6.

 

7.

 

8.

 

Analiza matematyczna w zadaniach cz. I W. Krysicki, L. Włodarski Rozwiązania zadań (zad. 15.22 - 15.83).

15.22.
15.23.
15.24.
15.25.
15.26.
15.27.
15.28.

15.29.
15.30.
15.31.
15.32.

15.33.
15.34.
15.35.
15.36.
15.37.
15.38.

15.39.
15.40.
15.41.
15.42.
15.43.
15.44.
15.45.
15.46.
15.47.

15.48.
15.49.
15.50.
15.51.
15.52.
15.53.
15.54.
15.55.
15.56.

15.57.

15.58.

15.59.

15.60.
15.61.
15.62.

15.63.

15.64.
15.65.

15.67.
15.68.
15.70.
15.71.
15.72.
15.73.	Po obu stronach równości (1) występuje całka , którą należy obliczyć. Równość (1) można przekształcić do postaci:
15.74.
15.75.
15.76.
15.77.
15.78.

15.79.
15.80.
15.81.
15.82.
15.83.

21

---