Geometria przestrzenna

1. Podstawą ostrosłupa jest kwadrat. Jedna z krawędzi bocznych jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Najdłuższa krawędź boczna jest równa 
   i tworzy z przyległymi do niej krawędziami podstawy kąt 
   . Obliczyć objętość ostrosłupa.

2. W prawidłowym ostrosłupie trójkątnym krawędź podstawy jest równa 
   i tworzy z krawędzią boczną kąt 
   . Znaleźć objętość 
   i pole powierzchni całkowitej 
   tego ostrosłupa.

3. W prawidłowym ostrosłupie trójkątnym ściany boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem 
   . Obliczyć objętość 
   i pole powierzchni całkowitej 
   tego ostrosłupa, jeżeli krawędź podstawy równa jest 
   .

4. Podstawą ostrosłupa jest równoramienny trójkąt prostokątny o przyprostokątnej 
   . Wszystkie krawędzie boczne są równe 
   . Znaleźć objętość ostrosłupa.

5. W prawidłowym ostrosłupie czworokątnym krawędź boczna jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy. Znaleźć kąt krawędzi bocznej z płaszczyzną podstawy.

6. Obliczyć objętość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego wiedząc, że krawędź podstawy jest równa 
   , zaś największa przekątna graniastosłupa jest cztery razy większa od najmniejszej przekątnej podstawy.

7. Podstawą ostrosłupa jest trójkąt o kątach 
   i 
   wpisany w okrąg o promieniu 
   . Wysokość ostrosłupa jest równa obwodowi podstawy. Obliczyć objętość ostrosłupa.

8. W ściętym prawidłowym ostrosłupie czworokątnym boki podstaw są odpowiednio równe 
   i 
   . Obliczyć objętość 
   i pole powierzchni całkowitej 
   ostrosłupa wiedząc, że kąt między ścianą boczną ostrosłupa a płaszczyzną podstawy jest równy 
   .

9. Dwie skośne przekątne dwóch sąsiednich ścian bocznych prostopadłościanu nachylone są do płaszczyzny jego podstawy pod kątami 
   i 
   . Znaleźć kąt między tymi przekątnymi.

10. Wyznaczyć objętość prawidłowego ostrosłupa czworokątnego wiedząc, że pole przekroju ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i wierzchołek ostrosłupa jest trójkątem równobocznym o polu 
    .

11. Graniastosłup prosty, którego podstawą jest trójkąt równoramienny o ramieniu 
    i kącie przy podstawie 
    przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy górnej - podstawę trójkąta równoramiennego i przeciwległy wierzchołek podstawy dolnej graniastosłupa. Płaszczyzna ta tworzy z podstawą graniastosłupa kąt 
    . Obliczyć pole powierzchni bocznej 
    i objętość 
    graniastosłupa.

12. Graniastosłup prosty, którego podstawą jest romb o boku 
    i kącie ostrym 
    przecięto płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek kąta 
    . Przekrojem jest romb o kącie ostrym 
    . Znaleźć pole tego przekroju.

13. Podstawą graniastosłupa prostego jest równoległobok o bokach 
    i 
    oraz kącie ostrym 
    . Przekątna mniejszej ściany bocznej tworzy z płaszczyzną większej ściany bocznej kąt 
    . Znaleźć objętość graniastosłupa.

14. Obliczyć tangens kąta między sąsiednimi ścianami czworościanu foremnego.

15. Ostrosłup trójkątny prawidłowy przecięto płaszczyzną przechodzącą przez bok podstawy, prostopadłą do przeciwległej krawędzi bocznej ostrosłupa i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem 
    . Obliczyć pole przekroju, jeżeli bok podstawy równy jest 
    .

16. W kulę o promienu 
    wpisano stożek. Ze środka tej kuli widać tworzącą stożka pod kątem 
    . Obliczyć pole powierzchni całkowitej stożka.

17. Podstawą ostrosłupa prawidłowego jest kwadrat o boku 
    . Krawędź boczna równa jest 
    . Obliczyć na jakiej wysokości nad podstawą ostrosłupa znajduje się środek kuli opisanej na tym ostrosłupie.

18. Znaleźć promień kuli wpisanej w czworokątny prawidłowy ostrosłup o krawędzi podstawy 
    i kącie płaskim 
    przy wierzchołku.

19. W podstawę stożka wpisano kwadrat o boku 
    . Przekrój stożka płaszczyzną przechodzącą przez jego wierzchołek i bok kwadratu jest trójkątem, w którym kąt przy wierzchołku jest równy 
    . Obliczyć objętość stożka.

20. Z punktu na powierzchni kuli poprowadzono trzy cięciwy o długości równej promieniowi kuli tak, żeby tworzyły między sobą równe kąty. Znaleźć ten kąt.

21. Z dowolnego punktu na powierzchni kuli o promieniu 
    poprowadzono trzy równe cięciwy tworzące ze sobą jednakowe kąty równe 
    . Znaleźć długość tych cięciw.

22. W stożek wpisano półkulę, której koło wielkie leży w podstawie stożka. Znaleźć kąt rozwarcia stożka, jeśli stosunek pola powierzchni całkowitej stożka do pola powierzchni półkuli jest równy 
    .

23. W stożek wpisano dwie różne kule w ten sposób, że większa kula jest styczna do podstawy i powierzchni bocznej stożka, zaś mniejsza kula jest styczna do większej kuli i do powierzchni bocznej stożka. Znaleźć objętość stożka wiedząc, że promień kuli większej jest równy 
    , zaś mniejszej 
    .

24. W kulę o promieniu 
    wpisano cztery jednakowe kule wzajemnie do siebie styczne. Obliczyć promień kuli wpisanych.

25. W prawidłowy ostrosłup czworokątny wpisano półkulę w ten sposób, że koło wielkie leży w podstawie ostrosłupa, a powierzchnia kulista jest styczna do ścian bocznych ostrosłupa. Obliczyć pole powierzchni całkowitej ostrosłupa wiedząc, że jego ściany boczne tworzą z płaszczyzną podstawy kąt 
    , zaś promień kuli jest równy 
    .

26. Romb o większej przekątnej 
    i kącie ostrym 
    obraca się dookoła osi, przechodzącej przez wierzchołek rombu i prostopadłej do jego większej przekątnej. Znaleźć objętość otrzymanej bryły obrotowej.

27. Pole trójkąta 
    jest równe 
    , bok 
    ma długość 
    , zaś kąt 
    równy jest 
    . Znaleźć objętość bryły otrzymanej przez obrót trójkąta 
    dookoła boku 
    .

28. W kulę o promieniu 
    wpisano prawidłowy graniastosłup trójkątny. Promień kuli poprowadzony do wierzchołka graniastosłupa tworzy kąt 
    ze ścianą boczną graniastosłupa. Znaleźć objętość graniastosłupa.

29. Na czterech wzajemnie stycznych kulach o jednakowych promieniach równych 
    opisano stożek w ten sposób, że trzy kule są styczne do podstawy stożka i jego powierzchni bocznej, czwarta zaś tylko do jego powierzchni bocznej. Wyznaczyć kąt rozwarcia stożka.

30. Wykazać, że dla każdego wielościanu opisanego na kuli o promieniu 
    stosunek objętości wielościanu do jego pola powierzchni jest wielkościš stałą i równą 
    .

31. W stożek wpisano kulę i poprowadzono płaszczyznę równoległą do podstawy stożka i styczną do tej kuli. Obliczyć stosunek objętości części, na które płaszczyzna ta rozcina stożek, jeśli dany jest kąt 
    nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy.

32. Dany jest stożek ścięty, którego wysokość jest średnią geometryczną średnic podstaw tego stożka. Wykazać, że w stożek ten można wpisać kulę.

33. Znaleźć promienie 
    kuli wpisanej i 
    kuli opisanej na ośmiościanie foremnym o krawędzi 
    .

---