Regulacja liniowo-kwadratowa (LQ)
Optymalna regulacja LQ dla obiektu ciągłego w czasie
Rozpatrzony zostanie zgodnie z [1] problem regulacji liniowo kwadratowej obiektem ciągłym
opisanym układem równań:
(t) = Ax(t) + Bu(t), x(0) - dany war. pocz.
(1)
y(t) = Cx(t)
gdzie: x(t) jest n-wymiarowym wektorem stanu, u(t) jest r-wymiarowym wektorem wymu-
szenia, y(t) jest p-wymiarowym wektorem wyjścia, a A, B, C są macierzami rzeczywistymi o
odpowiednich wymiarach. Zakładamy kwadratowy wskaznik jakości z nieskończonym horyzon-
tem:
"
I = (x (t)Qx(t) + u (t)Ru(t)) dt (2)
0
gdzie: Q, R są macierzami symetrycznymi, odpowiednio: półdodatnio oraz dodatnio określony-
mi. Definiując odpowiednio macierz Q oraz zmienne stanu xi(t) (np.: x1 = y, x2 = Ź, x3 = )
obiektu (1) dokonuje się optymalizacji pożądanego sygnału.
Regulacja LQ dla obiektu (1) przy wskazniku jakości (3) polega na znalezieniu prawa sterowa-
nia u = v(x) minimalizującego wskaznik I. Rozwiązaniem zadania LQR (1)-(3) zakładając,
dostępność pomiarową wektora stanu x(t), jest liniowe prawo sterowania [4, 5]:
u(t) = -Kx(t) (3)
w którym wzmocnienie macierzowe K jest określone zależnością:
K = R-1BS (4)
gdzie S jest rozwiązaniem algebraicznego równania Riccatiego:
Q + A S + SA - SBR-1B S = 0. (5)
Rysunek 1 przedstawia zamknięty układ regulacji realizujący powyższe zadanie regulacji. Macierze
u t
( )
x t = Ax t + Bu t
( ) ( ) ( )
y t = Cx t
( ) ( )
x t
( )
-K
Rysunek 1. Schemat blokowy układu LQ
K i S można wyznaczyć w Matlabie wykorzystując polecenia lqr().
Minimalna wartość wskaznika jakości (3), gdy zastosowane jest prawo sterowania (4) wynosi:
Imin = x (0)Sx(0). (6)
1
Układ zamknięty (CL) (1)-(4), przedstawiony na rys.1 opisany jest równaniem:
(t) = (A - BK) x(t) (7)
Jeżeli 1, 2, . . . , n są biegunami zamkniętego układu regulacji (pierwiastkami jego równania
charakterystycznego) a układ (1) jest obserwowalny i sterowalny wówczas:
Re i < 0, i = 1, 2, 3, . . . , n (8)
co oznacza, iż zamknięty układ regulacji jest stabilny.
Jeżeli dostępny pomiarowo jest tylko sygnał y(t) (a nie x(t) ) wówczas razem ze sterowaniem
(4) należy użyć obserwator stanu.
Obserwator Luenbergera zredukowanego rzędu
W literaturze [3] wyróżnić można dwa rodzaje obserwatorów: obserwatory odtwarzające
cały wektor stanu układu oraz obserwatory zredukowane odtwarzające tylko niemierzalne bez-
pośrednio zmienne stanu. Podział ten wynika z faktu, iż zwykle część zmiennych stanu jest
bezpośrednio mierzalna (dostępna pomiarowo), a więc problem sprowadza się do odtworzenia
tylko niemierzalnych zmiennych stanu.
Rząd obserwatorów można zredukować, gdyż z równania wyjścia w (1) można część zmien-
nych stanu (składowych wektora x(t)) wyznaczyć jako funkcje znanej odpowiedzi y(t). Jeżeli
rank C = p, to p zmiennych stanu możemy wyznaczyć z równania wyjścia w (1) jako funkcje
y(t) i zadaniem obserwatora będzie odtworzenie tylko n - p pozostałych zmiennych stanu.
Obserwator taki będzie miał wówczas zredukowany rząd równy n - p.
Asymptotyczny obserwator zredukowanego rzędu dla układu (1) opisany jest układem rów-
nań:
Ł
Ć Ć
v(t) = Ev(t) + F y(t) + Gu(t) (9)
Ć Ć
x(t) = V v(t) + W y(t) (10)
Ć Ć
gdzie: v(t) jest m = n - p wymiarowym estymowanym wektorem stanu obserwatora, x(t) jest
n-wymiarowym estymowanym stanem obiektu, a E, F , G, V , W są macierzami rzeczywistymi
o odpowiednich wymiarach. Elementy macierzy E dobierana są w taki sposób aby jej wartości
Ż Ż
własne i (i = 1, 2, . . . , m) spełniały nierówność: Re i < 0.
Dodatkowo istnieje m n wymiarowa macierz P spełniająca równania macierzowe:
P A - EP = F C
G = P B (11)
W C + V P = In
gdzie In jest n n wymiarową macierzą jednostkową.
Warto zauważyć, iż pierwsze z powyższych równań można sprowadzić do postaci uogólnionego
równania Lapunowa (zwanego także równaniem Sylwestra):
AX + XB + C = 0,
które można rozwiązać wykorzystując w Matlabie polecenie lyap(). Natomiast trzecie równanie
można przekształcić w następujący sposób:
-1
C C
W V = In ! W V =
P P
2
Postać równań (9)-(10) można wyjaśnić następująco. Należy pomnożyć równanie (1) lewo-
stronnie przez P :
P (t) = P Ax(t) + P Bu(t).
Następnie oznaczając:
v(t) = P x(t) (także v(0) = P x(0)) (12)
i stosując pierwsze oraz drugie z równań (11) otrzymuje się:
Ł
v(t) = Ev(t) + F y(t) + Gu(t) (13)
x(t) = V v(t) + W y(t) (14)
Natomiast równanie ostatnie (14) jest wynikiem prawostronnego pomnożenia trzeciego równa-
nia (11) przez x(t) oraz zastosowania podstawień: v(t) = P x(t) i y(t) = Cx(t).
Ć Ć
Zarówno v(t) jak i x(t) są nieznane ale v(t) v(t) oraz x(t) x(t) dla t ". Tak więc
Ć Ć
v(t) i x(t) są estymatami v(t) i x(t).
Warto zauważyć, że istnieje pewna swoboda w doborze macierzy E i F (a więc także wartości
Ż
własnych i), które to determinują szybkość zbieżności obserwatora.
Optymalny regulator LQ zdefiniowany dla sygnału wyjściowego y(t)
Zamknięty układ regulacji z regulatorem pracującym dla sygnału wyjściowego y(t) opisany
jest równaniami:
(t) = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t), (15)
Ć
u(t) = -Kx(t), (16)
oraz układem równań obserwatora (9)-(10). Wstawiając prawo sterowania do równania stanu
obiektu otrzymuje się:
Ć
(t) = Ax(t) - BKx(t) + równania obserwatora (9)-(10) (17)
Odejmując od równania (14) równanie (10):
Ć
x(t) - x(t) = x(t) = V }(t) (18)
a następnie wykorzystując to w (17) otrzymano:
(t) = (A - BK)x(t) + BKV }(t) (19)
Odejmując natomiast od (13) równanie (9):
Ł
Ć
}(t) = E}, }(t) = v(t) - v(t). (20)
W ten sposób otrzymuje się opis układu zamkniętego z obserwatorem stanu:
A - BK BKV x
= (21)
Ł
} 0 E }
Ż Ż Ż
Zamknięty układ regulacji jest teraz stopnia (n + m) z biegunami: 1, 2, . . . , n, 1, 2, . . . , m,
pochodzącymi z układu zamkniętego (7) z regulatorem LQ przy pełnej znajomości stanu x(t)
3
oraz obserwatora stanu (9)-(10). Bieguny obserwatora mogą być dowolnie zadawane, przez
co można kształtować dynamikę obserwatora, a także własności stabilizacyjne całego układu
regulacji.
Optymalny regulator LQ bazujący tylko na pomiarze sygnału wyjściowego z obiektu y(t)
opisany jest równaniem (16) oraz (9)-(10):
Ł
Ć Ć
v(t) = (E - GKV )v(t) + (F - GKW )y(t), (22)
Ć
u(t) = -KV v(t) - KW y(t). (23)
Transmitancja regulatora (22)-(23) dana jest więc zależnością:
R = -KV (sI - E + GKV )-1 (F - GKW ) - KW (24)
Ż
Można wykazać, że dla bardzo szybkich biegunów obserwatora i i dowolnych warunków
początkowych obiektu, wartość wskaznika jakości jest bliska optymalnej. Ponadto, regulator
Obiekt
u t y t
( ) ( )
x t = Ax t + Bu t
( ) ( ) ( )
y t = Cx t
( ) ( )
Regulator
(22)-(23)
Rysunek 2. Schemat blokowy układu z regulatorem LQ zdefiniowanym dla sygnału wyjściowego y(t)
zastosowany do układu (rys.3) z zewnętrznym niezerowym wymuszeniem w(t) posiada prze-
biegi przejściowe bardzo bliskie optymalnym.
d t
( )
Obiekt
u t
( )
x t = Ax t + Bu t
( ) ( ) ( )
y t = Cx t
( ) ( )
Regulator
Ć Ć
v t = E - GKV v t + F - GKW y t
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Ć
u t = KVv t + KWy t w t
( ) ( ) ( ) ( )
Rysunek 3. Układ regulacji LQ z zakłóceniami wyjścia oraz wartością zadaną
Struktura feedback feed-forward
W układzie regulacji LQ (rys.4) zsyntetyzowanym w oparciu o wskaznik jakości (3), gdy
współczynnik R > 0 wówczas dla wymuszenia skokowego w(t) = w (t) pojawi się uchyb sta-
tyczny. Eliminację tego uchybu można dokonać wprowadzając: element całkujący albo konstru-
ując odpowiedni sygnał sprzężenia w przód (feed-forward) - uOL(t). W literaturze [2] sprzężenie
4
uOL t
( )
k
Regulator LQ
w t uCL t u t y t
( ) ( ) ( ) ( )
+ Obiekt
Obserwator stanu
Rysunek 4. Układ regulacji LQ o strukturze feedback feed-forward (dla obiektu SISO)
to wykorzystywane jest w układach kompensacji zakłóceń. Jeżeli znany jest przebieg wartości
zadanej w(t) sprzężenie to można wykorzystać również w regulacji programowej.
Jeżeli wzmocnienie obiektu wynosi ko (y(t)|t" = ko), natomiast w stanie ustalonym należy
uzyskać w wyniku skoku wartości zadanej wartość w to w układzie otwartym (gdy uCL(t) = 0)
należy wprowadzić:
w
k = .
ko
Literatura
[1] R. Gessing, Wykłady z Teorii Sterowania, Gliwice.
[2] R. Gessing, Podstawy Automatyki, Wydaw. Politechniki Śląskiej, Gliwice 2001.
[3] T. Kaczorek, Teoria sterowania i systemów, Wydaw. Naukowe PWN, Warszawa 1999.
[4] M. Athans, P. L. Falb, Sterowanie optymalne, WNT, Warszawa 1966.
[5] B. D.O. Anderson, J. B. Moore, Optimal control. Linear quadratic methods, Prentice-Hall, 1989.
5
Laboratorium Teorii Sterowania
Regulacja liniowo kwadratowa
A. Analiza optymalnego regulatora LQ
1. Dla układu SISO opisanego transmitancją:
ko
K(s) = (1)
(1 + sT1)(1 + sT2)(1 + sT3)
znajdz model w przestrzeni stanów:
(t) = Ax(t) + bu(t),
y(t) = cx(t) (2)
przyjmując następujące współrzędne stanu: x1 = y, x2 = Ź, x3 = .
2. Zaprojektuj i zamodeluj w Simulinku regulator optymalny dla obiektu (2) minimalizujący
wskaznik jakości:
"
I = x (t)Qx(t) + ru2(t) dt, Q = c c. (3)
0
Uwzględniając narzucone definicje współrzędnych stanów oraz macierz Q określ jaki sygnał
minimalizowany jest we wskazniku jakości (3). Przepisz go biorąc pod uwagę te dane.
3. Wyrysuj odpowiedzi czasowe: y(t), x(t), u(t) obiektu dla różnych warunków początkowych.
Oblicz wartości własne zamkniętego układu regulacji i określ jego stabilność.
Przedstaw w tabeli: wartość sterowania w chwili początkowej u(0) oraz obliczoną opty-
malną wartość wskaznika jakości Imin.
4. Zbadaj wpływ macierzy diagonalnej Q na kształtowanie przebiegów czasowych w układzie
regulacji. W tym celu:
wyrysuj odpowiedzi czasowe: y(t), x(t), u(t) obiektu dla przykładowego warunku po-
czątkowego x(0) przyjmując: Q1 = c c, Q2 = diag [0, 1, 0], Q3 = diag [0, 0, 1], Q4 =
diag [1, 1, 1]. Jaki sygnał optymalizowany jest w poszczególnych układach?
przedstaw w tabeli: u(0) oraz Imin dla każdego układu;
oblicz wartości własne zamkniętego układu regulacji (przedstaw je na jednym wykresie)
i określ stabilność układu zamkniętego.
5. Zbadaj wpływ współczynnika r na odpowiedzi czasowe oraz stabilność zamkniętego układu
regulacji. Zaprezentuj w tabeli: u(0) i Imin. Ponadto, wyznacz i wykreśl (na jednym rysunku)
wartości własne zamkniętego układu regulacji.
B. Obserwator Luenbergera zredukowanego rzędu
6. Zaprojektuj obserwator stanu dla obiektu otwartego (2) w postaci układu równań:
Ł
Ć Ć
v(t) = Ev(t) + F y(t) + Gu(t), (4)
Ć Ć
x(t) = V v(t) + W y(t). (5)
Zdefiniuj macierze E i F natomiast pozostałe macierze oblicz z odpowiednich wzorów.
(patrz materiały do ćwiczenia).
7. Zamodeluj w Simulinku obserwator (4)-(5) dla analizowanego obiektu otwartego.
8. Dla wymuszenia skokowego wyrysuj odpowiedzi czasowe wyjścia z obserwatora oraz stan
Ć
układu otwartego. Porównaj przebiegi. (x(0) = x0, v(0) = 0)
9. Przeanalizuj skutek zmiany macierzy E na jakość działania obserwatora, wybierz najlep-
szą macierz.
6
C. Regulator optymalny i zmiana wartości zadanej
10. Zaprojektuj i zamodeluj w Simulinku zamknięty układ regulacji (rys.1) dla obiektu (2)
z regulatorem optymalnym LQ (minimalizującym wskaznik (3)) oraz obserwatorem stanu
(4)-(5).
Regulator LQ
w t
( )
u t y t
( ) ( )
+ Obiekt
Obserwator stanu
Rysunek 1. Układ regulacji LQ dla wartości zadanej
11. Przeanalizuj wpływ współczynnika r na przebiegi czasowe y(t), u(t) dla wymuszenia sko-
kowego wartości zadanej w(t) = w (t - 5).
D. Struktura feedback feed-forward
12. Zaprojektuj i zamodeluj w Simulinku zamknięty układ regulacji jak na rys.2.
w
uOL t
( )
ko
Regulator LQ
w t uCL t u t y t
( ) ( ) ( ) ( )
+ Obiekt
Obserwator stanu
Rysunek 2. Układ regulacji feedback feed-forward
13. Przyjmując nastawy z pkt. 11 przeanalizuj wpływ wprowadzenia sprzężenia w przód uOL(t)
na przebiegi czasowe y(t), u(t) dla wymuszenia skokowego wartości zadanej w(t) = w (t -
5).
Porównaj otrzymane przebiegi czasowe układów zamkniętych z odpowiedzią w układzie
otwartym, a więc gdy uCL(t) = 0.
Przydatne polecenia Matlaba: tf2ss, lqr, lyap, eig oraz funkcja tf2ss 3rzad.
Warunkiem dopuszczenia do wykonania całego ćwiczenia jest wykonanie pkt.A.3.
w czasie nie dłuższym niż 30min.
7
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Marine EN LQwięcej podobnych podstron