MATEMATYKA
ROZDZIAA
I
I. Zagadnienia wstępne
1. Elementy logiki matematycznej
Rachunek zdań
Zdaniem w logice nazywamy zdanie orzekające, o którym można stwierdzić, czy jest
prawdziwe czy fałszywe.
Zdania oznaczamy zwykle małymi literami np. p, q, r, s itd.
Zdaniom prawdziwym przyporządkowujemy wartość logiczną 1, a fałszywym 0.
W logice ze zdań prostych możemy budować zdania złożone wykorzystując spójniki
zwane funktorami zdaniotwórczymi. Niżej podamy podstawowe typy tych funktorów.
1. Negacja
Zdanie  nieprawda, że p nazywamy negacją (zaprzeczeniem) zdania p i oznaczamy
symbolem ~ p .
Negacją zdania prawdziwego jest zdanie fałszywe a negacją zdania fałszywego zdanie
prawdziwe.
2. Alternatywa
Zdanie  p lub q nazywamy alternatywą zdań p, q i oznaczamy symbolem p (" q .
Alternatywa jest zdaniem prawdziwym wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jedno ze zdań
p, q jest prawdziwe.
3. Koniunkcja (iloczyn logiczny)
Zdanie  p i q nazywamy koniunkcją zdań p, q i oznaczamy symbolem p '" q .
Koniunkcja jest zdaniem prawdziwym wtedy i tylko wtedy, gdy oba zdania sÄ… prawdziwe.
4. Implikacja
Zdanie  jeżeli p to q nazywamy implikacjÄ… i oznaczamy symbolem p Ò! q .
Zdanie p nazywamy poprzednikiem, a zdanie q następnikiem implikacji.
Implikacja jest zdaniem fałszywym tylko wtedy, gdy poprzednik jest zdaniem prawdziwym a
następnik zdaniem fałszywym ( z prawdy nie może wyniknąć fałsz). W pozostałych
przypadkach implikacja jest prawdziwa.
1
5. Równoważność
Zdanie  p wtedy i tylko wtedy, gdy q nazywamy równoważnością i oznaczamy symbolem
p Ô! q .
Równoważność jest prawdziwa, gdy oba zdania p i q mają te same wartości logiczne.
W tabelce podane są wartości logiczne wyżej wymienionych zdań złożonych w zależności od
wartości logicznych zdań je tworzących.
~ p p (" q p '" q p Ò! q p Ô! q
p q
1 1 0 1 1 1 1
1 0 0 1 0 0 0
0 1 1 1 0 1 0
0 0 1 0 0 1 1
Formą zdaniową nazywamy wyrażenie utworzone ze zdań p, q, r ... (zwanych zmiennymi
zdaniowymi) za pomocą funktorów zdaniotwórczych (spójników).
Prawem logicznym (tautologią) nazywamy formę zdaniową, która jest zawsze prawdziwa
po podstawieniu dowolnych zdań w miejsce zmiennych zdaniowych.
Ważniejsze prawa logiczne
1. Prawo podwójnego zaprzeczenia: ~ ~ p Ô! p .
( )
2. Prawo zaprzeczenia implikacji: ~ p Ò! q Ô! p '" ~ q .
( ) ( )
3. Rozdzielność koniunkcji względem alternatywy:
îÅ‚ p '" q (" r Å‚Å‚ Ô! îÅ‚ p '" q (" p '" r Å‚Å‚ .
( )ûÅ‚ ðÅ‚( ) ( )ûÅ‚
ðÅ‚
4. Rozdzielność alternatywy względem koniunkcji:
îÅ‚ p (" q '" r Å‚Å‚ Ô! îÅ‚ p (" q '" p (" r Å‚Å‚ .
( )ûÅ‚ ðÅ‚( ) ( )ûÅ‚
ðÅ‚
5. Prawo przechodnioÅ›ci implikacji: îÅ‚ p Ò! q '" q Ò! r Å‚Å‚ Ò! p Ò! r .
( ) ( )ûÅ‚ ( )
ðÅ‚
6. Prawo de Morgana dla alternatywy: îÅ‚~ p (" q Å‚Å‚ Ô! îÅ‚ ~ p '" ~ q Å‚Å‚ .
( )ûÅ‚ ðÅ‚( ) ( )ûÅ‚
ðÅ‚
7. Prawo de Morgana dla koniunkcji: îÅ‚~ p '" q Å‚Å‚ Ô! îÅ‚ ~ p (" ~ q Å‚Å‚ .
( )ûÅ‚ ðÅ‚( ) ( )ûÅ‚
ðÅ‚
8. Prawo transpozycji: p Ò! q Ô! îÅ‚ ~ q Ò! ~ p Å‚Å‚ .
( ) ( ) ( )ûÅ‚
ðÅ‚
9. Reguła odrywania:
p '" p Ò! q
( )
,
q
(jeżeli prawdziwe sÄ… zdania p i p Ò! q , to prawdziwe jest zdanie q ).
Przykład
Zbadać, czy podane formuły rachunku zdań są prawami logicznymi:
a) p Ò! p (" q ; b) p (" (~ q) Ò! p '" q .
( ) ( ) ( )
2
RozwiÄ…zanie.
Aby pokazać, że badana formuła rachunku zdań jest prawem logicznym, wykorzystamy
metodę zero-jedynkową. W tym celu ustalimy wartość tej formuły dla wszystkich układów
wartości logicznych jej zmiennych zdaniowych. Jeżeli w każdym przypadku wartość logiczna
formuły będzie równa 1, to będzie ona prawem logicznym.
Dla wykazania, że rozważana formuła nie jest prawem logicznym wystarczy wskazać tylko
jeden układ wartości logicznych zmiennych zdaniowych, dla których ma ona wartość 0.
Badania przedstawiamy w postaci tabelki.
a)
p q p (" q
p Ò! p (" q
( )
0 0 0 1
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 1 1
Podana formuła jest prawem logicznym.
b)
p q ~ q p '" q
p (" (~ q)
p (" (~ q) Ò! p '" q
( ) ( )
0 0 1 1 0 0
Wskazaliśmy jeden układ wartości logicznych zdań p,q , dla których wartość logiczna
badanej formuły jest równa 0. Zatem nie jest ona prawem logicznym.
Zadanie.
Zbadać, czy podane formuły rachunku zdań są prawami logicznymi:
a) p Ò! q Ò! îÅ‚ ~ p (" qÅ‚Å‚ ; b) îÅ‚ p '" ~ q Å‚Å‚ (" îÅ‚ ~ p '" qÅ‚Å‚ .
( ) ( ) ( )ûÅ‚ ðÅ‚( )
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
c) îÅ‚~ p (" q Å‚Å‚ Ô! îÅ‚ ~ p '" ~ q Å‚Å‚
( )ûÅ‚ ðÅ‚( ) ( )ûÅ‚
ðÅ‚
Odpowiedzi.
a) tak ; b) nie ; c) tak.
Funkcja zdaniowa.
Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcją zdaniową zmiennej x " X nazywamy każde
wyrażenie Õ x , w których wystÄ™puje zmienna x i które staje siÄ™ zdaniem logicznym, gdy w
( )
miejsce x podstawimy dowolny element zbioru X . Zbiór ten nazywamy dziedziną funkcji
zdaniowej. Zbiór tych elementów x ze zbioru X , dla których funkcja zdaniowa Õ x jest
( )
prawdziwa oznaczamy następująco:
x " X : Õ x .
{ ( )
}
Analogicznie można zdefiniować funkcję zdaniową dwóch zmiennych.
3
Zakładamy, ze dane są niepuste zbiory X , Y . Funkcją zdaniową Ś x, y nazywamy
( )
dowolne wyrażenie, które staje się zdaniem, gdy w miejsce zmiennych x i y podstawimy
dowolne elementy zbiorów X i Y .
Kwantyfikatory
Jeżeli wszystkie elementy pewnego zbioru X speÅ‚niajÄ… funkcjÄ™ zdaniowÄ… Õ , to zamiast
mówić, że dla każdego x " X speÅ‚niona jest funkcja zdaniowa Õ , piszemy
x " X , Õ x lub Õ(x)
( )
"
"
x"X
Jeżeli istnieje taki element x " X , dla którego speÅ‚niona jest funkcja zdaniowa Õ , to
piszemy
x " X , Õ x lub Õ(x) .
( )
"
"
x"X
Znaki , nazywamy kwantyfikatorami odpowiednio ogólnym i szczegółowym
" "
(egzystencjalnym).
Jeżeli chcemy zaznaczyć, że istnieje tylko jeden element x ze zbioru X , to stosujemy
symbol
.
"!
x"X
Uwaga
Do zapisu kwantyfikatorów używa się również symboli:
dla kwantyfikatora ogólnego:
'"
dla kwantyfikatora szczegółowego: .
("
Przykład.
Zbadać czy podane funkcje zdaniowe z kwantyfikatorami są prawdziwe:
1
a) sin2 x + cos2 x = 1 ; b) cos x = ; c) x2 + 6x + 8 > 0 ;
" " "
2
x"R x"R x"R
d) x2 - y2 = 0 ; e) x2 y3 = 0 ; f) x = y2 .
" " "" " "
x"R y"R y"R x"R x"R y"R
RozwiÄ…zanie
1 1 1
a) Zdanie jest prawdziwe; b) Zdanie jest prawdziwe bo np. dla x = Ä„ cos Ä„ = ;
3 3 2
c) Zdanie nieprawdziwe np. dla x = -3 wartość funkcji y = x2 + 6x + 8 wynosi -1 ;
d) Zdanie prawdziwe, gdyż dla dowolnego x można przyjąć y = x ;
e) Zdanie prawdziwe. Wystarczy przyjąć y = 0 ; f) Zdanie nieprawdziwe, gdyż dla x < 0
równanie x = y2 jest sprzeczne.
4
Ważniejsze prawa rachunku kwantyfikatorów
Niech Õ oznacza funkcjÄ™ zdaniowÄ… zmiennej x " X , a Åš funkcjÄ™ zdaniowÄ… zmiennych
x " X , y "Y (zakładamy, że zbiory X , Y są niepuste).
1. Prawo de Morgana dla kwantyfikatora ogólnego:
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
~ Õ x Ô! îÅ‚~ Õ x Å‚Å‚ .
( )÷Å‚ ( )ûÅ‚
ðÅ‚
" "
ìÅ‚
íÅ‚ x"X Å‚Å‚ x"X
2. Prawo de Morgana dla kwantyfikatora szczegółowego:
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
~ Õ x Ô! îÅ‚~ Õ x Å‚Å‚ .
( )÷Å‚ ( )ûÅ‚
ðÅ‚
" "
ìÅ‚
íÅ‚ x"X Å‚Å‚ x"X
3. Prawo przestawiania dla kwantyfikatorów ogólnych:
Åš x, y Ô! Åš x, y .
( ) ( )
" " " "
x"X y"Y y"Y x"X
4. Prawo przestawiania dla kwantyfikatorów szczegółowych:
Åš x, y Ô! Åš x, y .
( ) ( )
" " " "
x"X y"Y y"Y x"X
5. Prawo przestawiania kwantyfikatora ogólnego ze szczegółowym:
Åš x, y Ò! Åš x, y .
( ) ( )
" " " "
x"X y"Y y"Y x"X
2. Zbiory
Zbiory oznaczamy zwykłe dużymi literami alfabetu, ich elementy małymi. Fakt, ze element
a jest elementem zbiory A zapisujemy symbolicznie: a " A . Jeżeli b nie jest elementem
tego zbioru, to piszemy b " A . Zbiory określamy zwykle przez podanie ich elementów lub
przez podanie warunku W , które mają spełniać jego elementy. Piszemy wtedy
a1, a2,a3,...,an , a1, a2, a3,... , x : W x .
{ } { } { ( )
}
Zbiór, który nie ma żadnego elementu nazywamy zbiorem pustym i oznaczamy symbolem " .
Uwaga. Zamiast zbiór mówimy też  zależnie od okoliczności  mnogość , klasa, rodzina
lub przestrzeń.
Podzbiór
Jeżeli każdy element zbioru A jest jednocześnie elementem zbioru B , to mówimy, że A jest
podzbiorem B ( A zawiera siÄ™ w B ). Zapisujemy ten fakt w postaci A ‚" B .
5
Mamy zatem
A ‚" B Ô! îÅ‚ x " A Ò! x " B Å‚Å‚ .
( ) ( )ûÅ‚
ðÅ‚
"
x
Jeżeli przy tym A `" B , to mówimy, że A jest podzbiorem właściwym i zapisujemy A B .
OczywiÅ›cie " ‚" A oraz A ‚" A dla każdego zbioru A.
Ilustracją działań na zbiorach są tzw. diagramy Venna, w których zbiory są interpretowane
jako tarcze kół a elementy jako punkty.
Zbiór A zawiera się w zbiorze B
Równość zbiorów:
A = B Ô! îÅ‚ A ‚" B '" B ‚" A Å‚Å‚ .
( ) ( ) ( )ûÅ‚
ðÅ‚
Uwaga.
Dwa zbiory skończone są równe, jeżeli mają takie same elementy np. zbiory A = 1, 2,3,4,5
{ }
oraz zbiór B = 2,1,4,5,3 są równe.
{ }
Suma zbiorów
Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór, który składa się z wszystkich elementów zbioru A oraz
wszystkich elementów zbioru B. Sumę zbiorów oznaczamy symbolem A *" B .
Mamy zatem
x " A *" B Ô! îÅ‚ x " A (" x " B Å‚Å‚ .
( ) ( ) ( )ûÅ‚
ðÅ‚
Suma zbiorów
6
Iloczyn zbiorów
Iloczynem (przekrojem albo częścią wspólną) zbiorów A i B nazywamy zbiór złożony tylko z
tych elementów, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B. Iloczyn zbiorów A i B
oznaczamy symbolem A )" B . Mamy zatem
x " A )" B Ô! îÅ‚ x " A '" x " B Å‚Å‚ .
( ) ( ) ( )ûÅ‚
ðÅ‚
Iloczyn zbiorów
Mówimy, ze zbiory A i B są rozłączne , gdy ich iloczyn jest zbiorem pustym tj. A )" B = " .
Zbiory rozłączne
Różnica zbiorów
Różnicą zbiorów A i B nazywamy zbiór złożony tylko z tych elementów zbioru A które nie
należą do zbioru B. Różnicę zbiorów A i B oznaczamy symbolem A \ B . Mamy zatem
x " A \ B Ô! îÅ‚ x " A '" x " B Å‚Å‚ .
( ) ( ) ( )ûÅ‚
ðÅ‚
Różnica zbiorów
Różnica symetryczna
Różnicą symetryczną zbiorów A i B nazywamy zbiór A \ B *" B \ A . Zbiór ten oznaczamy
( ) ( )
przez A ÷ B . Zatem
A ÷ B = A \ B *" B \ A .
( ) ( )
Zachodzi równość: A ÷ B = B ÷ A .
7
 Różnica symetryczna
Dopełnienie zbioru
Niech X będzie ustalonym zbiorem zwanym przestrzenią oraz niech A będzie dowolnym
podzbiorem tej przestrzeni. Dopełnieniem zbioru A (do przestrzeni X ) nazywamy zbiór
2
X \ A i oznaczamy go symbolem A . Zatem
2
A = X \ A
X
Dopełnienie zbioru
Uwaga.
Przestrzeń oznaczana jest również symbolem &! (np. w rachunku prawdopodobieństwa).
Własności dopełnienia
2 2 2 2 2
1. A = A ; 2. " = X , X = " ; 3. A )" A = " , A *" A = X ;
( )2
2 2
4. A ‚" B Ô! B ‚" A .
Własności działań na zbiorach
1. Przemienność sumy i iloczynu:
A *" B = B *" A , A )" B = B )" A .
2. Rozdzielność sumy i iloczynu:
A *" B )"C = A)"C *" B )"C , A )" B *"C = A*"C )" B *"C .
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3. Przechodniość zawierania:
îÅ‚ A ‚" B '" B ‚" C Å‚Å‚ Ò! A ‚" C .
( ) ( )ûÅ‚ ( )
ðÅ‚
8
Iloczyn kartezjański
Parą uporządkowaną a,b nazywamy zbiór dwuelementowy a,b , w którym element a
( ) { }
jest wyróżniony jako pierwszy a element b jako drugi .Element a nazywamy poprzednikiem
zaś element b następnikiem pary uporządkowanej.
Inaczej para uporzÄ…dkowana to ciÄ…g dwuelementowy a,b .
( )
Nie należy mylić pary uporządkowanej ze zbiorem dwuelementowym a,b . Mamy bowiem
{ }
na ogół a,b `" b,a , natomiast a,b = b,a .
( ) ( ) { } { }
Niech a1,b1 oraz a2,b2 będą dwiema parami uporządkowanymi. Własnością
( ) ( )
charakteryzującą parę uporządkowaną jest tożsamość
a1,b1 = a2,b2 Ô! a1 = a2 '" b1 = b2 .
( ) ( )
Niech będą dane dwa niepuste zbiory A i B .
Iloczynem kartezjaÅ„skim (produktem) zbiorów A i B oznaczonym symbolem A× B ,
nazywamy zbiór określony następująco:
A× B = x, y :x " A'" y " B .
( )
{ }
Iloczyn kartezjański jest więc zbiorem wszystkich par uporządkowanych x, y , gdzie x " A
( )
oraz y " B .
Jeżeli zbiory A i B sÄ… zbiorami liczbowymi, to zbiór A× B możemy interpretować
geometrycznie na płaszczyz
nie jako zbiór tych wszystkich punktów x, y dla których x " A
( )
oraz y " B .
Podobnie możemy określić trójkę uporządkowaną a,b,c , czwórkę uporządkowaną
( )
a,b,c,d i ogólnie n - kę uporządkowaną a1,a2,...,an jako odpowiednio ciągi:
( ) ( )
trójelementowe, czteroelementowe i n - elementowe.
Własność charakteryzująca n - kę uporządkowaną :
a1, a2,..., an = b1,b2,...,bn Ô! a1 = b1 '" a2 = b2 '"...'" an = bn .
( ) ( )
Możemy teraz zdefiniować iloczyn kartezjański niepustych zbiorów A1, A2,..., An
następująco:
A1 × A2 ×...× An = a1, a2,..., an :a1 " A1 '" a2 " A2 '"...'" an " An .
( )
{ }
W przypadku gdy A1 = A2 = ... = An = A na oznaczenie iloczynu kartezjańskiego
n
A1 × A2 ×...× An używamy symbolu A .
9
Własności iloczynu kartezjańskiego.
1. A× B = " Ô! A = " (" B = " .
2. A× B )"C = A× B )" A×C .
( ) ( ) ( )
3. A× B *"C = A× B *" A×C .
( ) ( ) ( )
Przykład 1.
Niech A = 1,2,3 , B = 4,5 .
{ } { }
Wtedy
A× B = 1, 4 , 1,5 , 2,4 , 2,5 , 3,4 , 3,5 ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
B × A = 4,1 , 4,2 , 4,3 , 5,1 , 5,2 , 5,3 .
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
Wniosek.
Iloczyn kartezjański nie jest na ogół przemienny.
Przykład 2.
Dane są zbiory: A = 1,2 , B = 2,3,4 , C = 4,5 . Sprawdzić prawdziwość wzoru:
{ } { } { }
A *" B ×C = A×C *" B ×C .
( ) ( ) ( )
RozwiÄ…zanie.
A*" B = 1, 2,3,4 . (A *" B)×C = 1,4 , 1,5 , 2,4 , 2,5 , 3,4 , 3,5 , 4,4 , 4,5 .
{ } { }
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
A×C = 1, 4 , 1,5 , 2,4 , 2,5 , B ×C = 2,4 , 2,5 , 3,4 , 3,5 , 4, 4 , 4,5 ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ } { }
A×C *" B×C = 1,4 , 1,5 , 2,4 , 2,5 , 3, 4 , 3,5 , 4, 4 , 4,5 .
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
Zatem A *" B ×C = A×C *" B ×C .
( ) ( ) ( )
Przykład 3.
Dla podanych par przedziałów narysować zbiór A× B :
a) A = a;b , a < b, B = c;d , c < d ; b) A = a;b , a < b, B = c;d , c < d ;
(
c) A = a;b , a < b, B = c;d , c < d ; d) A = a;b , a < b, B = c;d , c < d ;
( ) ( ) ( )
e) A = a;b , a < b, B = c;d , c < d ; f) A = a;b , a < b, B = c;d , c < d .
( ) ( )
RozwiÄ…zanie.
10
Moc zbioru. Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne
Załóżmy, że dane są niepuste zbiory A oraz B . Jeżeli każdemu elementowi zbioru A
przyporządkowany jest wzajemnie jednoznacznie element zbioru B , to mówimy, że na
1:1
zbiorze A została określona funkcja różnowartościowa f i zapisujemy f : A B .
Mówimy, że funkcja f odwzorowuje zbiór A na zbiór B .
Inaczej mówiąc każdemu elementowi zbioru A odpowiada tylko jeden element zbioru B
B
i odwrotnie każdemu elementowi zbioru odpowiada tylko jeden element zbioru A ,
(elementy tych zbiorów możemy połączyć w pary).
Definicja
Mówimy, że zbiór A jest równoliczny ze zbiorem B lub że zbiory A i B są równej mocy
1:1
i piszemy A ~ B wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja różnowartościowa f : A B ,
(elementy tych zbiorów możemy połączyć w pary).
Moc zbioru oznaczamy symbolem A . Zatem
A ~ B Ô! A = B .
Uwaga.
Moc zbioru określa się też terminem  liczność zbioru .
W odniesieniu do zbiorów skończonych podana definicja jest zgodna z naszym
elementarnym wyobrażeniem o równoliczności zbiorów. Istotnie , jeżeli zbiory skończone
mają tę samą liczbę elementów, to elementy te można połączyć w pary: połączenia takie
określą różnowartościowe odwzorowanie jednego zbioru na drugi. Na odwrót, jeżeli funkcja
taka istnieje, to zbiory te mają tę samą liczbę elementów, gdyż każdy element jednego zbioru
ma dokładnie jednego  partnera w drugim zbiorze, przyporządkowanego mu w tym
odwzorowaniu.
Moc zbioru liczb naturalnych oznaczamy symbolem n (alef zero) , natomiast moc
0
zbioru liczb rzeczywistych symbolem (continuum).
Zatem N =n oraz R = .
0
Zauważmy, że zbiór skończony nie jest równoliczny z żadnym ze swoich podzbiorów
właściwych (różnych od całego zbioru).
Definicja 1.
Zbiór nazywamy przeliczalnym, gdy jest zbiorem skończonym lub gdy jest równoliczny ze
zbiorem liczb naturalnych N .
Jeżeli zbiór nie jest skończony , to przeliczalność oznacza, że wszystkie elementy tego zbioru
można ustawić w ciąg nieskończony, przy czym każdy element wystąpi w tym ciągu
dokładnie jeden raz.
Przykład.
1. Zbiór wszystkich liczb naturalnych parzystych jest równoliczny ze zbiorem N , czyli jest
przeliczalny.
Istotnie, funkcja f n = 2n, n" N jest różnowartościowa i odwzorowuje zbiór N na zbiór
( )
wszystkich liczb naturalnych parzystych.
11
2. Zbiór wszystkich liczb wymiernych dodatnich jest przeliczalny.
Utwórzmy z ułamków następującą tablicę:
1 2 3 4 5
...
1 1 1 1 1
1 2 3 4 5
...
2 2 2 2 2
1 2 3 4 5
...
3 3 3 3 3
1 2 3 4
...
4 4 4 4
1 2 3
...
5 5 5
1
...
6
W tej tablicy znajdzie się każda liczba wymierna dodatnia, przy czym niektóre z nich
2 4 8
powtórzą się ( np. = = = ...). Tworzymy teraz ciąg elementów tej tablicy porządkując je
3 6 12
według kolejności określonej przez ukośne strzałki, poczynając od lewego górnego rogu
tablicy. Liczby, które pojawią się w ciągu powtórnie - pomijamy. W ten sposób otrzymamy
ciÄ…g
1 1 2 1 3 1 2 3 4 1 5
, , , , , , , , , , ,... .
( )
1 2 1 3 1 4 3 2 1 5 1
W tak skonstruowanym ciągu każda liczba wymierna dodatnia wystąpi dokładnie jeden raz.
Zatem zbiór wszystkich liczb wymiernych dodatnich jest przeliczalny.
Twierdzenie 1.
Przedział domknięty 0;1 jest zbiorem nieprzeliczalnym.
Twierdzenie 2.
Przedział otwarty 0;1 jest równoliczny ze zbiorem R .
( )
1
Zauważmy najpierw, że funkcja t = Ąx - Ą odwzorowuje różnowartościowo przedział
2
1 1
0;1 na przedział - Ą; Ą a funkcja f (t) = tgt odwzorowuje różnowartościowo
( )
( )
2 2
1 1
przedział - Ą; Ą na R . Zatem funkcją różnowartościową, która odwzorowuje przedział
( )
2 2
1
otwarty 0;1 na R jest funkcja f (x) = tg Ä„x - Ä„ .
( )
( )
2
Wynika stad, że 0;1 = R = .
( )
Podamy teraz twierdzenia ułatwiające rozstrzyganie przeliczalności lub nieprzeliczalności
zbiorów.
Twierdzenie 3.
Jeżeli A ‚" B i B jest zbiorem przeliczalnym, to zbiór A jest skoÅ„czony, pusty albo
przeliczalny.
12
Twierdzenie 4.
Jeżeli A ‚" B i A jest zbiorem nieprzeliczalnym, to zbiór B jest zbiorem nieprzeliczalnym.
Twierdzenie 5.
Jeżeli A <" B i A jest zbiorem nieprzeliczalnym, to zbiór B jest również zbiorem
nieprzeliczalnym.
Z twierdzenia 5 oraz twierdzenia 1 wynika, że każdy przedział domknięty a;b , a < b,
jest zbiorem nieprzeliczalnym. Istotnie funkcja
f x = (b - a)x + a, x " 0;1
( )
Jest różnowartościowa i odwzorowuje przedział 0;1 na przedział a;b , więc
0;1 <" a,b .
3. Zbiory liczbowe
Zbiór liczb rzeczywistych
Stosujemy następujące oznaczenia zbiorów liczbowych:
N = 1, 2,3,... - zbiór liczb naturalnych ,
{ }
Z = 0,ą1, ą2,... zbiór liczb całkowitych,
{ }-
Å„Å‚ p üÅ‚
Q = : p " Z, q " - zbiór liczb wymiernych,
òÅ‚ żł
q
ół þÅ‚
R - zbiór liczb rzeczywistych.
Zauważmy, że
N ‚" Z ‚" Q ‚" R.
Relacja między zbiorami N, Z,Q, R
2
Zbiór Q = R \ Q nazywamy zbiorem liczb niewymiernych.
2
Zatem R = Q *" Q .
Uwaga.
1. Iloczyn kartezjaÅ„ski R × R oznaczamy symbolem R2 . Elementami tego iloczynu
kartezjańskiego są wszystkie punkty płaszczyzny.
2. Iloczyn kartezjaÅ„ski R × R×...× R , n" N , oznaczamy symbolem Rn . Elementami
n-razy
tego iloczynu kartezjańskiego są wszystkie punkty (jako ciągi n - elementowe) tzw.
przestrzeni n - wymiarowej.
13
 Każdą liczbę rzeczywistą można przedstawić w postaci rozwinięcia na ułamek dziesiętny.
Zachodzą przy tym zależności, które sformułujemy w postaci twierdzeń.
Twierdzenie 1.
Liczba rzeczywista jest wymierna wtedy i tylko wtedy, gdy jej rozwinięcie dziesiętne jest
ułamkiem skończonym lub ułamkiem nieskończonym i okresowym.
Na przykład
1 1 2
= 0, 25 , = 0,333.... = 0, 3 , = 0,181818... = 0, 18 .
( ) ( )
4 3 11
Twierdzenie 2.
Liczba rzeczywista jest niewymierna wtedy i tylko wtedy, gdy jej rozwinięcie dziesiętne jest
ułamkiem nieskończonym i nieokresowym.
Przykładami liczb niewymiernych są liczby:
2 = 1, 414213562... , Ä„ = 3,141592653... , log 2 = 0,301029994.... .
Własność:
1. Między dwiema dowolnymi liczbami wymiernymi leży
a) liczba wymierna,
b) liczba niewymierna.
2. Między dwiema dowolnymi liczbami niewymiernymi leży
a) liczba wymierna,
b) liczba niewymierna.
Przedziały liczbowe
Niech a i b będą liczbami rzeczywistymi, przy czym a < b .
Określimy teraz pewne podzbiory zbioru liczb rzeczywistych zwane przedziałami.
Przedział otwarty a;b = x " R : a < x < b .
( ) { }
Przedział domknięty a;b = x " R : a d" x d" b .
{ }
Przedział lewostronnie domknięty a;b = x " R : a d" x < b .
) { }
Przedział prawostronnie domknięty a;b = x " R : a < x d" b .
( { }
Liczby a i b nazywamy końcami przedziałów. Liczbę b - a nazywamy długością każdego
z tych przedziałów.
Przedziały niewłaściwe:
a;+" = x " R :a d" x < +" ; a;+" = x " R :a < x < +" ;
) { } ( ) { }
-";b = x " R : - " < x d" b ;
) { }
( { } (-";b = x " R : - " < x < b ;
14
 R =
(-";+" ;
)
R+ = 0;+" - zbiór wszystkich liczb dodatnich ;
( )
R- =
(-";0 - zbiór wszystkich liczb ujemnych .
)
Podane określenia przedziałów ilustruje poniższa tabela
Zbiory ograniczone
Definicja 1.
Zbiór A ‚" R jest ograniczony z doÅ‚u, jeżeli istnieje liczba rzeczywista m taka, że dla
każdego x " A spełniona jest nierówność x e" m , co można zapisać w następujący sposób:
x e" m .
" "
m"R x"A
Liczbę m nazywamy ograniczeniem z dołu zbioru A. Zatem zbiór jest ograniczony z dołu,
gdy wszystkie jego elementy leżą na prawo od pewnego punktu osi liczbowej.
Definicja 2.
Zbiór A ‚" R jest ograniczony z góry, jeżeli istnieje liczba rzeczywista M taka, że dla
każdego x " A spełniona jest nierówność x d" M tj.
x d" M .
" "
M"R x"A
Liczbę M nazywamy ograniczeniem z góry zbioru A. Zatem zbiór jest ograniczony z góry,
gdy wszystkie jego elementy leżą na lewo od pewnego punktu osi liczbowej.
Zbiór ograniczony z dołu Zbiór ograniczony z góry
15
Definicja 3.
Zbiór A ‚" R jest ograniczony , jeżeli istniejÄ… liczby rzeczywiste m, M , m d" M takie, że dla
każdego x " A spełniona jest nierówność m d" x d" M , co można zapisać w następujący
sposób
m d" x d" M .
" "
m,M"R x"A
Zatem zbiór jest ograniczony , gdy wszystkie jego elementy są położone między dwoma
punktami osi liczbowej.
Uwaga.
W definicji można tak dobrać stałe m i M , aby M = -m . Wtedy zbiór ograniczony
charakteryzuje warunek:
x d" M .
" "
M >0 x"A
Kresy zbiorów
Definicja 4.
Liczba a jest najmniejszym elementem zbioru A ‚" R , co zapisujemy a = min A , jeżeli
a " A oraz x e" a .
"
x"A
Definicja 5.
Liczba b jest najwiÄ™kszym elementem zbioru A ‚" R , co zapisujemy b = max A , jeżeli
a " A oraz x d" b .
"
x"A
Definicja 6. (kres dolny zbioru)
Niech A ‚" R bÄ™dzie niepusty i ograniczony z doÅ‚u. Liczba a jest kresem dolnym tego zbioru,
co zapisujemy a = inf A , jeżeli
x e" a oraz x0 < a + µ .
" " "
x"A µ>0 x0"A
Zatem kres dolny zbioru jest największą liczbą ograniczającą ten zbiór od dołu.
Jeżeli zbiór A nie jest ograniczony z dołu, to przyjmujemy
def
inf A = - " .
Definicja 7. (kres górny zbioru)
Niech A ‚" R bÄ™dzie niepusty i ograniczony z doÅ‚u. Liczba b jest kresem górnym tego
zbioru, co zapisujemy b = sup A , jeżeli
x d" b oraz x0 > b - µ .
" " "
x"A µ>0 x0"A
Zatem kres górny zbioru jest najmniejszą liczbą ograniczającą ten zbiór od dołu.
def
Jeżeli zbiór A nie jest ograniczony z góry, to przyjmujemy sup A = + " .
16
Uwaga.
Kresy zbioru nie muszą należeć do zbioru.
Przykład.
1. Dla zbioru A = 0;5 inf A = 0" A oraz sup A = 5" A .
2. Dla zbioru A = inf A = -1 " A oraz sup A = 3 " A.
(-1;3
)
3. Dla zbioru A = -";1 inf A = -" oraz sup A = 1" A .
(
Zadanie.
Znalez
ć kresy podanych zbiorów:
1
Å„Å‚x üÅ‚
a) A = 0;5 *" 6;9 ; b) A = " R :x = '" n " N ; c) A = x " R :x = 2n '" n " N .
( )
{ }
òÅ‚ żł
2n
ół þÅ‚
Odpowiedzi.
1
a) inf A = 0, sup A = 9 ; b) inf A = 0, sup A = ; c ) inf A = 2, sup A = +" .
2
Aksjomat ciągłości
Każdy niepusty zbiór ograniczony z dołu ma kres dolny.
Każdy niepusty zbiór ograniczony z góry ma kres górny.
4. Działania algebraiczne
Potęgi
Najpierw określimy potęgę o wykładniku naturalnym.
Dla a " R oraz n " N przyjmujemy:
an = a Å"a Å" a Å"...Å" a ,
n czynników
oraz
1
a-n = , a0 =1 , gdy a `" 0 .
an
Pierwiastkiem arytmetycznym stopnia n e" 2 z nieujemnej liczby rzeczywistej a nazywamy
n
nieujemną liczbę rzeczywistą c taką, że cn = a . Piszemy wówczas c = a .
Mamy zatem
n
a = c Ô! cn = a .
Pierwiastek stopnia 2 nazywamy pierwiastkiem kwadratowym i oznaczamy symbolem a .
17
 Zachodzą następujące wzory:
n
a a
n n n m n mÅ"n
n
1. a Å"b = a Å" b ; 2. = , b > 0 ; 3. a = a .
n
b
b
Wzory te sÄ… prawdziwe dla dowolnych liczb naturalnych n, m e" 2 oraz dla dowolnych liczb
rzeczywistych a,b e" 0 .
Rozszerzamy definicjÄ™ pierwiastka arytmetycznego stopnia nieparzystego na liczby ujemne
przyjmując, ze dla a < 0 pierwiastek jest określony wzorem
n
a = -n -a .
p
Potęgę o podstawie a > 0 i dodatnim wykładniku wymiernym , gdzie liczby naturalne p, q
q
są względnie pierwsze, określamy wzorem
p
p
q
q
a = a .
( )
Dla ujemnego wykładnika wymiernego w przyjmujemy
1
aw = .
a-w
p
Ponadto dla a < 0 oraz wymiernego wykładnika , gdzie liczby całkowite p, q są
q
względnie pierwsze, a q jest liczbą nieparzystą, przyjmujemy
p
p
q
q
a = -a .
(- )
Własności potęg
Niech a,b, x, y będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi, przy czym a,b > 0. Wtedy
ax
1. ax Å"ay = ax+ y ; 2. = ax- y ; 3. ax Å"bx = a Å"b ;
( )x
ay
x x
y
ax a 1
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
4. = ; 5. ax = axÅ"y ; 6. a- x = .
( )
ìÅ‚ ÷Å‚
b a
bx ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
18
Przykład.
2
2x4 3x2
( )( )
3
4 5
a) Obliczyć: 8Å" 8Å" 8Å" 8 ; b) UproÅ›cić wyrażenie: .
4
x3
( )
RozwiÄ…zanie.
a) Mamy kolejno:
1
5
8 = 85 ,
1 6
1+1
5
5
8Å" 8 = 8Å"85 = 8 = 85 ,
1
6 6 6 1 6 3
ëÅ‚ öÅ‚4
4 Å"
4 5
8Å" 8 = 85 = 85 = 85 4 = 820 = 810 ,
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
3 3 13
1+
4 5
10
8Å" 8Å" 8 = 8Å"810 = 8 = 810 ,
1
13 13 13 1 13
ëÅ‚ öÅ‚3
3 Å"
3
4 5
8Å" 8Å" 8 = 810 = 810 = 810 3 = 830 ,
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
13 13 43
1+
3
4 5
30
8Å" 8Å" 8Å" 8 = 8Å"830 = 8 = 830 .
1
43
ëÅ‚ öÅ‚2 43 1 43 43 43
Å"
3
4 5
Ostatecznie 8Å" 8Å" 8Å" 8 = 830 = 830 2 = 860 = 23 60 = 220 .
ìÅ‚ ÷Å‚
( )
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
2
2x4 3x2 2x4 32 x2Å"2 18x4+4
( )( ) ( )( )
18
b) = = = 18x8-12 = 18x-4 = .
4
x3Å"4 x12 x4
x3
( )
Zadanie.
1. Oblicz:
1
8
ëÅ‚ öÅ‚3
2
3
-
ìÅ‚ ÷Å‚
4
îÅ‚ëÅ‚ 5 öÅ‚ -1 Å‚Å‚ 1
3
4 30 Å"310 Å"320 Å"330
27 ëÅ‚ öÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚
12
îÅ‚ Å‚Å‚
a) ; b) ; c) Å" 0,125 ; d)
( ) ( )
ïÅ‚ìÅ‚ ÷Å‚ : 2,8 śł
ìÅ‚ ÷Å‚
-1 -1 5
ðÅ‚ ûÅ‚ 4
9
3 3 íÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚íÅ‚ 7 Å‚Å‚ śł ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
33
( )
Å"
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
. 2. Zapisz dane wyrażenie w postaci ax a > 0 :
( )
4
a a
( )
a-2 3
3 4
a) ; b) Å" a ; c) a ; d) a Å" a Å" a Å" a .
(a8 : a4)-1 a-3
Odpowiedzi.
1 3 27
1. a) - ; b) ; c) ; d) 1 .
8 2 16
2 1 25
2. a) a10 ; b) a3 ; c) a8 ; d) a12 .
19
Przekształcenia algebraiczne
Podamy teraz kilka użytecznych wzorów pozwalających na uproszczenie wyrażeń
algebraicznych. Następnie omówimy metody uwalniania wyrażeń ułamkowych od
niewymierności w mianowniku.
Przypomnijmy wzory skróconego mnożenia:
a + b = a2 + 2ab + b2 ,
( )2
a - b = a2 - 2ab + b2 ,
( )2
a + b = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 ,
( )3
a - b = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 .
( )3
Niech n e" 2 będzie liczbą naturalną oraz niech a,b będą dowolnymi liczbami
rzeczywistymi. Wtedy prawdziwy jest wzór:
an - bn = a - b an-1 + an-2b +...+ abn-2 + bn-1 .
( )
( )
W szczególności dla n = 2,3, 4 mamy:
a2 - b2 = a - b a + b .
( )( )
a3 - b3 = a - b a2 + ab + b2 ,
( )
( )
a4 - b4 = a - b a3 + a2b + ab2 + b3 .
( )
( )
Niech teraz n e" 3 będzie liczbą naturalną nieparzystą oraz niech a,b będą dowolnymi
liczbami rzeczywistymi. Wtedy prawdziwy jest wzór:
an + bn = a + b an-1 - an-2b + an-3b2 + ...- abn-2 + bn-1 .
( )
( )
W szczególności dla n = 3,5 mamy
a3 + b3 = a + b a2 - ab + b2 ,
( )
( )
a5 + b5 = a + b a4 - a3b + a2b2 - ab3 + b4 .
( )
( )
Przykład.
Uprościć wyrażenia:
3
3
x3 -8 x2 -1 x2 - x
a) ; b) ; c) .
x -1
x2 - 4 1- x
RozwiÄ…zanie.
x
( - 2 x2 + 2x + 22 x2 + 2x + 4
)
( )
x3 - 8
a) = = .
x
x2 - 4 ( - 2 x + 2 x + 2
)( )
20
b) Dla x e" 0 oraz x `" 1 mamy
2
ëÅ‚
x -1öÅ‚ x +1
( )
ìÅ‚( ) ÷Å‚
x -1 x +1 x +1
( )
( )( )
x
)( )
x2 -1 ( -1 x +1
íÅ‚ Å‚Å‚
= = = = - x -1 x +1 .
( )
( )
1- x 1- x 1- x
- x -1
( )
c) Dla x `" 1 mamy
2
3 3 3 3
3
3 3
x - x x x -1
( ) ( )
x2 - x x
= = = .
3
3
3
x -1 3
x2 + x +1
x
x -13 3 -1 x2 + x +12 3 3
( )
( ) ( )
Zadanie .
Wykonaj działania i sprowadz
do możliwie najprostszej postaci:
2 2 3
a) a + 2b - 2b b + 2a ; b) y - 4x y + 4x -( - 4x ; c) k - 2 + 6k k - 2 ;
y
( ) ( ) ( )( ) ) ( ) ( )
d) a - b a2 + ab + b2 -( ) - ab + b2 ,
a + b a2
( )
( ) ( )
a
ëÅ‚ - b a + b a2 + b2 öÅ‚ ab
öÅ‚Å"ëÅ‚
e) + +1÷Å‚Å" .
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚
a + b a - b 2ab a2 + b2
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Odpowiedzi.
a + b
a) a2 + 2b2 ; b) 8x y - 4x ; c) k3 - 8 ; d) -2b3 ; e) .
( )
a - b
Przykład.
Uwolnić od niewymierności w mianowniku wyrażenia:
6 26 5 - 3 6
a) ; b) ; c) ; d) .
4 3
3 4 - 3 5 + 3 2 +1
RozwiÄ…zanie.
4
6 6 33 64 27 64 27
a) = Å" = = = 24 27 .
4 4
4 4
3 3
33 34 3
26 4 + 3
( )
26 26 4 + 3
b) = Å" = = 2 4 + 3 .
( )
16 - 3
4 - 3 4 - 3 4 + 3
2
5 - 3
( )
5 - 3 5 - 3 5 - 3 5 - 2 15 + 3 8 - 2 15
c) = Å" = = = = 4 - 15 .
2 2
5 - 3 2
5 + 3 5 + 3 5 - 3
5 - 3
( ) ( )
3 3
3
3
( )
6 6 22 - 2 +12 6 4 - 2 +1 3 3
d) = Å" = = 2 4 - 2 +1 .
( )
3
3 3
3
3
2 +1 2 +1
22 - 2 +12 3 2 +13
( )
21
Zadanie.
Uwolnić od niewymierności w mianowniku wyrażenia:
5 4 3 - 2 5
a) ; b) ; c) ; d) .
3 4
9 5 + 2 2 2 - 7 2 -1
Odpowiedzi.
53 3
4
a) ; b) 4 5 - 2 ; c) 3 - 2 2 2 + 7 ; d) 5 2 +1 2 +1 .
( ) ( )( ) ( )( )
3
5. Wartość bezwzględna
Wartość bezwzględną (moduł) liczby rzeczywistej x określamy wzorem:
x dla x e" 0,
Å„Å‚
x =
òÅ‚-x dla x < 0.
ół
Dla przykładu: 5 = 5, -3 = -(-3 = 3 , 0 = 0.
)
Wartość bezwzględna ma następującą interpretację geometryczną:
x jest odległością liczby x (jako punktu osi liczbowej) od początku tej osi tj. punktu 0.
Własności wartości bezwzględnej.
Niech x, y będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi a n liczbą naturalną. Wtedy:
n
1. -x = x ; 2. x e" 0, x = 0 Ô! x = 0 ; 3. x Å" y = x Å" y , xn = x ;
x
x
4. = , y `" 0 ; 5. x - y d" x + y d" x + y ; 6. x2 = x ;
y y
7. x = y Ô! x = y (" x = -y .
22
Równania i nierówności z wartością bezwzględną.
Równania w wartością bezwzględną
Równanie x = a ma dwa rozwiązania: x = a (" x = -a , gdy a > 0 , jedno rozwiązanie
x = 0 , gdy a = 0 oraz jest sprzeczne gdy a < 0.
Przykład.
Rozwiązać równania:
a) x - 3 =1 ; b) 2 - 3x =1 ; c) x - 3 + x + 4 = 9 ; d) x2 - 5 =1 ;
e) x2 - 5 x + 6 = 0 ; f) x4 + 3 - 3x3 + x = 0 .
RozwiÄ…zanie.
a) x - 3 =1 Ô! x - 3 =1 (" x - 3 = -1. StÄ…d x = 4 (" x = 2 .
1
b) 2 - 3x =1 Ô! 2 - 3x =1 (" 2 - 3x = -1. StÄ…d x = (" x =1 .
3
c) x - 3 + x + 4 = 9 .
x
Å„Å‚ - 3 gdy x e" 3,
ôÅ‚
Mamy: x - 3 =
òÅ‚- x - 3 = -x + 3 gdy x < 3,
( )
ôÅ‚
ół
x + 4 gdy x e" -4,
Å„Å‚
ôÅ‚
oraz x + 4 =
òÅ‚- x + 4 = -x - 4 gdy x < -4.
( )
ôÅ‚
ół
Rozpatrujemy przypadki:
1. x "
(-";-4 . Wówczas x - 3 = -x + 3 i x + 4 = -x - 4 .
)
x - 3 + x + 4 = 9 Ô! - x + 3- x - 4 = 9 Ô! 2x = -10 .
Zatem x = -5"
(-";-4 jest rozwiązaniem tego równania.
)
2. x " -4;3 . Wówczas x - 3 = -x + 3 i x + 4 = x + 4 .
)
x - 3 + x + 4 = 9 Ô! - x + 3 + x + 4 = 9 Ô! 7 = 9 . Jest to równanie sprzeczne.
3. x " 3; +" . Wówczas x - 3 = x - 3 i x + 4 = x + 4 .
)
x - 3 + x + 4 = 9 Ô! x - 3+ x + 4 = 9 Ô! 2x = 8 .
Zatem x = 4" 3;+" jest rozwiązaniem tego równania.
)
Ostatecznie x = -5 (" x = 4 .
d) x2 - 5 = 1 Ô! x2 - 5 = 1 (" x2 - 5 = -1 . StÄ…d x2 = 6 lub x2 = 4.
Zatem x = - 6 (" x = -2 (" x = 2 (" x = 6 .
e) W równaniu x2 - 5 x + 6 = 0 rozpatrujemy dwa przypadki.
1) x e" 0 Ò! x2 - 5x + 6 = 0 . Pierwiastkami tego równania sÄ… x = 2 i x = 3.
2) x < 0 Ò! x2 + 5x + 6 = 0 . Pierwiastkami tego równania sÄ… x = -3 i x = -2 .
f) x4 + 3 - 3x3 + x = 0 .
23
Å„Å‚
3x3 + x gdy x " 0;+" ,
)
ôÅ‚
Mamy 3x3 + x = x(3x2 +1) =
òÅ‚
(-";0 .
)
ôÅ‚-3x3 - x gdy x "
ół
Dla x " 0;+" otrzymujemy równanie x4 + 3- 3x3 - x = 0 . Po rozłożeniu lewej strony na
)
czynniki otrzymujemy (x -1)(x - 3)(x2 + x +1) = 0 . StÄ…d x = 1 lub x = 3.
Dla x "
)
(-";0 otrzymujemy równanie x4 + 3+ 3x3 + x = 0. Po rozłożeniu lewej strony na
czynniki otrzymujemy (x + 3)(x +1)(x2 - x +1) = 0 . StÄ…d x = -3 lub x = -1 .
Zadanie 1.
Rozwiąż równania:
a) x - 7 = 2 ; b) 2x - 3 =1 ; c) x = x ; d) -x + 2 = 3 x - 2 ; e) 4x + 4 + 2 - x = 8 ;
f) 2 x + 2 + 3 -x - 2 =10 ; g) x -1 - 2 = 1.
Zadanie 2.
Rozwiąż równania:
a) x2 - 5 x + 4 = 0 ; b) x2 - 4x + x - 3 + 3 = 0 ;
c) x2 - 9 + x2 - 4 = 5 ; d) 4 x + 2 = x +1 + 4 .
Odpowiedzi.
Zadanie 1.
a) x = 9 lub x = 5 ; b) x =1 lub x = 2 ; c) x e" 0 ; d) x = 2 ;
2
e) x = -2 lub x = ; f) x = 0 lub x = -4 ;
3
g) x = -2 lub x = 0 lub x = 2 lub x = 4 .
Zadanie 2.
a) x = -4 lub x = -1 lub x = 1 lub x = 4 ; b) x = 2 lub x = 3 ;
c) x " -3;-2 *" 2;3 ; d) x = -1 lub x = 7 .
Nierówności z wartością bezwzględną
Nierówność x d" a Ô! - a d" x d" a , a e" 0 .
Zatem rozwiązanie nierówności x d" a jest przedział -a;a zaś rozwiązaniem
nierówności x < a jest przedział
(-a;a .
)
Nierówność x e" a Ô! x d" -a (" x e" a , a e" 0 .
Zatem rozwiązanie nierówności x e" a jest suma przedziałów -";-a *" a;+" zaś
( )
rozwiązaniem nierówności x > a jest suma przedziałów
) ( )
(-";-a *" a;+" .
Przykład.
Rozwiązać nierówności:
a) x - 2 d" 3 ; b) x + 3 e" 2 ; c) 2x -1 < x + 3 .
24
RozwiÄ…zanie.
a) x - 2 d" 3 Ô! - 3 d" x - 2 d" 3 Ô! -1d" x d" 5 .
b) x + 3 e" 2 Ô! x + 3 d" -2 (" x + 3 e" 2 . StÄ…d x d" -5 lub x e" -1.
1
Å„Å‚
2x -1 dla x e" ,
ôÅ‚
x + 3 dla x e" -3,
Å„Å‚
ôÅ‚
2
c) 2x -1 = oraz x + 3 =
òÅ‚ òÅ‚-x - 3 dla x < -3.
ół
ôÅ‚-2x +1 dla x < 1 .
ôÅ‚
ół 2
Rozpatrujemy przypadki:
1) x < -3 . Wówczas 2x -1 = -2x +1 oraz x + 3 = -x - 3 .
Otrzymujemy nierówność: -2x +1 < -x - 3 , której rozwiązaniem są x > 4 .
Zatem w tym przypadku x "" ( gdyż warunki x < -3 oraz x > 4 wykluczają się).
1
2) -3 d" x < . Wówczas 2x -1 = -2x +1 oraz x + 3 = x + 3 .
2
2
Otrzymujemy nierówność: -2x +1 < x + 3 , której rozwiązaniem są x > - .
3
2 1
Zatem w tym przypadku - < x < .
3 2
1
3) x e" . Mamy 2x -1 = 2x -1 oraz x + 3 = x + 3 .
2
1
Otrzymujemy nierówność 2x -1 < x + 3 . Stąd x < 4 . Zatem w tym przypadku d" x < 4 .
2
2
Ostatecznie rozwiązaniem nierówności 2x -1 < x + 3 jest przedział - ;4 .
( )
3
Zadanie 3.
Rozwiąż nierówności i opisz za pomocą zbiorów ich rozwiązania:
a) x -1 d" 2 ; b) x - 3 > 4 ; c) x + 2 e" 3 ; d) x + 4 + x - 2 d"10 .
e) x2 - 3 < 1 ; f) x2 - 5x + 6 > 0 .
Odpowiedzi
a) x " -1;3 ; b) x "
(-";-1 *" 7;+" ; c) x "
) ( ) )
(-";-5 *" 1;+" ; d) x " -6;4 .
e) x " -2;- 2 *" 2;2 ; f) x "
(-";-3 *"
) (-2;-1 *" 6;" .
) ( )
( ) ( )
25
6. Dwumian Newtona
Znak sumy pojedynczej
Załóżmy, że x1, x2,..., xn są liczbami rzeczywistymi.. Wówczas sumę tych liczb
zapisujemy za pomocą znaku sumy (sigma) w następujący sposób:
"
n
x1 + x2 + ..+ xn = xi
"
i=1
i czytamy  sigma od i równego 1 do n  . Liczba i jest tzw. wskaz
nikiem sumacyjnym i
może być oznaczona inną literą np. k , j itp. , i = 1 - dolna granica sumowania, n - górna
granica sumowania.
Dolna granica sumowania może być dowolnie ustaloną liczbą całkowitą. Górna granica nie
może być mniejsza od dolnej.
Symbol sumy ma następujące własności:
n n n
1) xi + yi = + yi .
( )
" "xi "
i=1 i=1 i=1
Istotnie
n
xi + yi = x1 + y1 + x2 + y2 +...+ xn + yn = x1 + x2 +..+ xn + y1 + y2 + ..+ yn =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
"
i=1
n n
= + yi.
"xi "
i=1 i=1
n n
2) Å" xi = c xi ( staÅ‚Ä… można wyÅ‚Ä…czyć przed znak sumy).
"c "
i=1 i=1
n n
Istotnie Å" xi = c Å" x1 + c Å" x2 + ...+ c Å" xn = c Å" x1 + x2 + ...+ xn = c xi .
( )
"c "
i=1 i=1
n
3) = c + c + ...+ c = c Å" n .
"c
i=1
n- razy
Silnia
Iloczyn n kolejnych liczb naturalnych od 1 do n oznaczamy symbolem n! (czytamy n
silnia). Mamy zatem
n!= 1Å" 2Å"3Å"...Å" n .
Dodatkowo przyjmujemy, że 0! = 1 .
Z określenia tego symbolu wynika następujący wzór rekurencyjny:
n!= n -1 !Å"n .
( )
Symbol Newtona
Niech liczby całkowite n i k będą nieujemne oraz niech spełniają warunek k d" n .
Symbolem Newtona nazywamy liczbę określoną wzorem:
n
ëÅ‚ öÅ‚ n!
= .
ìÅ‚ ÷Å‚
k k ! n - k !
( )
íÅ‚ Å‚Å‚
26
Z określenia symbolu Newtona wynika, że
n n n
ëÅ‚ öÅ‚ n! ëÅ‚ öÅ‚ n! ( -1 !Å" n n
) ëÅ‚ öÅ‚ n! 1
ìÅ‚ ÷Å‚ = = 1 , = = = 1 , = = = 1.
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
0 0! n - 0 ! 1 1! n -1 ! n -1 ! n n! n - n ! 0!
( ) ( ) ( ) ( )
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Zachodzą następujące wzory:
n n n n n +1
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
a) = , b) + = .
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
k n - k k k +1 k +1
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Dowód
n
ëÅ‚ öÅ‚ n!
a) Lewa strona jest równa = zaś prawa strona z definicji symbolu Newtona
ìÅ‚ ÷Å‚
k k ! n - k !
( )
íÅ‚ Å‚Å‚
n n
ëÅ‚ öÅ‚ n! n! ëÅ‚ öÅ‚
równa jest = = = .
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
n - k n - (n - k) !Å"(n - k)! k!Å"(n - k)! k
( )
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
n
ëÅ‚ öÅ‚ n! n!
b) Zauważmy najpierw, że = = .
ìÅ‚ ÷Å‚
k +1 n - k -1 !(k +1)! n - k -1 !k!(k +1)
( ) ( )
íÅ‚ Å‚Å‚
Lewa strona jest równa
n n
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ n! n! n! n!
+ = + = + =
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
k k +1 (n - k)!k ! (n - k -1)!k!(k +1) (n - k -1)!(n - k)k! (n - k -1)!k!(k +1)
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
n! 1 1 n! n +1 (n +1)!
îÅ‚ Å‚Å‚
= + = Å" = =
ïÅ‚ śł
(n - k -1)!k! n - k k +1 (n - k -1)!k! (n - k)(k +1) (n - k)!(k +1)!
ðÅ‚ ûÅ‚
n +1
(n +1)! ëÅ‚ öÅ‚
= =
ìÅ‚ ÷Å‚.
(n +1)
( - (k +1) !(k +1)! k +1
)
íÅ‚ Å‚Å‚
Dwumian Newtona
Niech a,b będą liczbami rzeczywistymi a n nieujemną liczbą całkowitą. Wyznaczymy
teraz rozwiniętą postać wyrażenia a + b dla kilku początkowych wartości n .
( )n
Mamy:
a + b = 1
( )0
a + b = a + b
( )1
a + b = a2 + 2ab + b2
( )2
a + b = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
( )3
a + b = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
( )4
27
 Zapiszemy teraz w formie  trójkąta współczynniki przy wyrażeniach akbl . Wówczas
otrzymamy tzw. trójkąt Pascala.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
........................................
Zauważmy, że w tym trójkącie lewy i prawy bok składa się z  jedynek . Ponadto suma
każdych dwóch sąsiednich liczb jest równa wyrazowi stojącemu w środku pod nimi (taką
własność ma symbol Newtona). Trójkąt ten można zapisać za pomocą symboli Newtona w
następujący sposób:
0
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚0÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
1 1
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚1÷Å‚
0Å‚Å‚
íÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2 2 2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚
0÷Å‚ 1 2÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
3 3 3 3
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ìÅ‚1÷Å‚ ìÅ‚ ìÅ‚3÷Å‚
0÷Å‚ 2÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
4 4 4 4 4
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚
0÷Å‚ 1 2÷Å‚ 3Å‚Å‚ 4÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚
..................................................................................
Obserwacje te pozwalają na wysunięcie hipotezy o ogólnej postaci rozwinięcia:
n n n n n n
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
n
1
a + b = an + an-1b + an-2b2 +...+ an-kbk +...+ bn .
( )
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚a bn-1 + ìÅ‚
0 1 2 k n -1 n÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Powyższą równość nazywamy wzorem dwumianowym Newtona.
n
ëÅ‚ öÅ‚
Zauważmy jeszcze, ze wyraz an-kbk dwumianu Newtona jest k +1 wyrazem tego
( )
ìÅ‚ ÷Å‚
k
íÅ‚ Å‚Å‚
rozwinięcia. Jeżeli oznaczymy go symbolem Ak +1 to możemy napisać wzór:
n
ëÅ‚ öÅ‚
Ak +1 = an-kbk .
ìÅ‚ ÷Å‚
k
íÅ‚ Å‚Å‚
Dowód wzoru dwumianowego Newtona można przeprowadzić za pomocą indukcji
matematycznej.. Używając symbolu sumy wzór ten można zapisać krócej:
n
n
a + b =
( )n ëÅ‚ k öÅ‚ n-k
ìÅ‚ ÷Å‚a bk .
"
íÅ‚ Å‚Å‚
k =0
28
Przykłady.
n
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
1) KorzystajÄ…c z definicji symbolu Newtona oblicz :
k
íÅ‚ Å‚Å‚
4 6 13 n
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ìÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
a) , b) , c) , d) .
2÷Å‚ 4÷Å‚ 5 2Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚
n n n n
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
= 4 = 3
ìÅ‚ ìÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚
2) Rozwiąż równanie: a) , b) .
2÷Å‚ 3÷Å‚ 2Å‚Å‚ 3÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚
3) Udowodnić, że:
n n n n n
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
+ + + ... + + =
ìÅ‚ ìÅ‚ ìÅ‚
2n .
0÷Å‚ 1÷Å‚ 2÷Å‚ ìÅ‚ n -1÷Å‚ ìÅ‚n÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
4) Znajdz
czwarty wyraz rozwinięcia dwumianu:
7 5
1 1
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
2x +
a) , b) ìÅ‚ x - ÷Å‚ .
ìÅ‚ ÷Å‚
x 2x
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
12
2
ëÅ‚ öÅ‚
3
x +
5) Znajdz
wyraz rozwinięcia dwumianu , w którym nie występuje x .
ìÅ‚ ÷Å‚
x
íÅ‚ Å‚Å‚
6) Znajdz
te wyrazy rozwinięcia dwumianu, które są liczbami naturalnymi:
5 24
3 5 7
3 + 2 3 + 2
a) , b) .
( ) ( )
Odpowiedzi.
4 6 13
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ 13! 8!Å"9 Å"10 Å"11Å"12 Å"13
1) a) = 6 , b) =15 , c) = = = 1287 .
ìÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2÷Å‚ 4Å‚Å‚ 5 13 - 5 !5! 8!Å"1Å" 2 Å"3Å" 4 Å"5
( )
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚
n n
ëÅ‚ öÅ‚ n! ( - 2 ! n -1 Å" n n n -1
) ( ) ( )
d) = = = .
ìÅ‚
2÷Å‚ n - 2 !Å" 2! n - 2 !Å" 2 2
( ) ( )
íÅ‚ Å‚Å‚
2) a) n = 5, b) n = 6 .
3) Wskazówka.
We wzorze Newtona
n n n n n n
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
n
a + b = an + an-1b + an-2b2 + ...+ an-kbk + ...+ a1bn-1 + bn
( )
ìÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ìÅ‚
0÷Å‚ 1 2÷Å‚ k n -1÷Å‚ n÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
podstawiamy a = 1, b = 1.
n n n n n
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
Wzór + + + ... + + = 2n ma następującą interpretację kombinatoryczną:
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
0 1 2 n -1 n
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
n
ëÅ‚ öÅ‚
ponieważ jest liczbą k - wyrazowych kombinacji bez powtórzeń ze zbioru
ìÅ‚ ÷Å‚
k
íÅ‚ Å‚Å‚
n - elementowego czyli liczbą k - elementowych podzbiorów tego zbioru, to lewa strona
wzoru jest liczbą wszystkich podzbiorów zbioru n - elementowego (łączne ze zbiorem
pustym). Wynosi ona 2n .
7
1
ëÅ‚ öÅ‚
1
2x +
4) a) W dwumianie mamy: a = 2x , b = , n = 7 .
ìÅ‚ ÷Å‚
x
íÅ‚ Å‚Å‚ x
4
7
ëÅ‚ öÅ‚ 1 140
3
7-3
czwarty wyraz A4 = A3+1 =
( )
( )
ìÅ‚ ÷Å‚a b3 = 35 2x 1 = 35Å" 4Å" x2 Å" x = x .
x
3
íÅ‚ Å‚Å‚
29
5
1 1
öÅ‚
b) W dwumianie ëÅ‚ x - mamy: a = x , b = - , n = 5.
ìÅ‚ ÷Å‚
2x 2x
íÅ‚ Å‚Å‚
5
ëÅ‚ öÅ‚
3 5
5-3
1
czwarty wyraz A4 = A3+1 = =
(- ) - .
ìÅ‚3÷Å‚a b3 =10x2 2x
4x
íÅ‚ Å‚Å‚
12
2 2
ëÅ‚ öÅ‚
3 3
5) W dwumianie x + mamy: a = x , b = , n =12 .
ìÅ‚ ÷Å‚
x x
íÅ‚ Å‚Å‚
12-k
k
3
12-k
n 12 12
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ 2 ëÅ‚ öÅ‚ x
ëÅ‚ öÅ‚
n-k
3
(k +1) wyraz jest równy Ak+1 = x =
( )
ìÅ‚ ÷Å‚a bk = ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚Å" 2k Å" xk .
k k x k
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
12 - k
Ponieważ w wyrazie tym ma nie występować x więc musi być = k .
3
12
ëÅ‚ öÅ‚
Stąd k = 3. Zatem czwarty wyraz nie zawiera x i jest równy 23 = 1760 .
ìÅ‚ ÷Å‚Å"
3
íÅ‚ Å‚Å‚
5
3
3
3 + 2
6) a) W dwumianie a = 2 , b = 3 , n = 5 .
( )
5-k k
5-k k
n 5 5
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
n-k 3
(k +1) wyraz jest równy Ak+1 = 2 3 = 2 Å"32 .
( ) ( )
ìÅ‚ ÷Å‚a bk = ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚Å" 3
k k k
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Ponieważ ten wyraz ma być liczbą naturalną musi jednocześnie liczba (5 - k) być podzielna
przez 3 oraz k podzielne przez 2 , ( 0 d" k d" 5 ) . Tylko liczba k = 2 spełnia te warunki.
Zatem wyrazem, który jest liczbą naturalną jest trzeci wyraz równy
3 2
5 5
ëÅ‚ öÅ‚ 3 ëÅ‚ öÅ‚
3 2 = 6 = 60.
ìÅ‚ ( ) ( ) ìÅ‚ ÷Å‚
2÷Å‚ 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
24
ëÅ‚ öÅ‚
b) wyraz piętnasty = 3222 .
ìÅ‚14 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
7. Indukcja matematyczna
Indukcja matematyczna jest jedną z metod dowodzenia twierdzeń o liczbach naturalnych.
Podamy teraz zasadę indukcji matematycznej i przykłady jej zastosowań.
Formułowana jest ona najczęściej w następującej postaci:
Niech T (n) będzie pewną tezą o licznie naturalnej n oraz niech n0 będzie ustaloną liczbą
naturalną. Jeżeli
10 teza T (n) jest prawdziwa dla n = n0 ;
20 z prawdziwości tezy T (n) dla dowolnej liczby naturalnej n e" n0 wynika prawdziwość tej
tezy dla n +1 tj. ma miejsce implikacja
T (n) Ò! T (n +1) ,
to teza T (n) jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej n e" n0 .
Jak widać, prawdziwość tezy T (n +1) wyprowadzamy z założenia, że teza T (n) jest
prawdziwa. Założenie to często nazywa się przesłanką indukcyjną lub założeniem
indukcyjnym, tezÄ™ T (n +1) - tezÄ… indukcyjnÄ….
30
 Jeżeli n0 =1 , to zasadę indukcji możemy zilustrować następującym przykładem.
Przypuśćmy, że mamy nieskończenie wiele kamieni do gry w domino i ustawiliśmy je w szereg. Wówczas
upadek jednego kamienia pociąga za sobą upadek następnego. Jeżeli więc upadnie pierwszy kamień, to upadną
wszystkie kamienie.
Przykład.
1. Udowodnić metodą indukcji matematycznej następujące wzory:
n n +1 2n +1
( )( )
2
a) ; b)
" 1 + 22 + 32 +...+ n2 = " 1+ 3 + 5 + ...+ (2n -1) = n2 ;
6
n"N n"N
1 1 1 1 n
c)
" 1Å"2 + 2Å"3 + 3Å"4 +...+ n Å"(n +1) = n +1 .
n"N
2. Udowodnić metodą indukcji matematycznej następujące nierówności :
a) 2n e" 1+ n ; b)
" " (1+ x)n e" 1+ nx , x > -1, ( nierówność Bernoulliego) .
n"N n"N
3. Udowodnić, że dla każdego n " N liczba 10n - 4 jest podzielna przez 6 .
RozwiÄ…zanie
1Å" 2Å"3
1. a) Sprawdzamy prawdziwość wzoru dla n = 1 : 12 = = 1.
6
n n +1 2n +1
( )( )
i) Założenie indukcyjne : 12 + 22 + 32 + ...+ n2 = dla dowolnego n e" 1
6
ii) Teza indukcyjna ( dla n +1) :
(n +1) n + 2 2n + 3
( )( )
12 + 22 + 32 + ...+ n2 + (n +1)2 = .
6
Dowód tezy:
n(n +1)(2n +1) n(2n +1)
îÅ‚
(12 + 22 + 32 + ...+ n2) + (n +1)2 = + (n +1)2 = (n +1) + (n +1)Å‚Å‚ =
ïÅ‚ śł
6 6
ðÅ‚ ûÅ‚
.
2n2 + 7n + 6 (n +1)(n + 2)(2n + 3)
= (n +1) = .
6 6
Stąd, na podstawie zasady indukcji matematycznej, wzór jest prawdziwy dla każdej liczby
naturalnej n " .
b) Sprawdzamy prawdziwość wzoru dla n = 1 : 1 = 12.
i)Założenie indukcyjne : 1+ 3 + 5 + ...+ (2n -1) = n2 dla dowolnego n > 1.
ii) Teza indukcyjna: 1+ 3 + 5 + ...+ (2n -1) + (2n +1) = (n +1)2 .
Dowód tezy: [1+ 3 + 5 + ...+ (2n -1)] + (2n +1) = n2 + (2n +1) = (n +1)2 .
Stąd, na podstawie zasady indukcji matematycznej, wzór jest prawdziwy dla każdej liczby
naturalnej n .
31
1 1
c) Dla n = 1 mamy: = 
1Å" 2 1+1
1 1 1 1 n
i) Założenie indukcyjne: + + +...+ = dla dowolnego n > 1.
1Å"2 2Å"3 3Å"4 nÅ" n +1 n +1
( )
1 1 1 1 1 n +1
ii) Teza indukcyjna ( dla n +1 ) : + + +...+ + = .
1Å"2 2Å"3 3Å" 4 nÅ" n +1 (n +1)(n + 2) n + 2
( )
Dowód tezy:
1 1 1 1 öÅ‚ 1 n 1
ëÅ‚
+ = + =
ìÅ‚1Å"2 + 2Å"3 + 3Å" 4 +...+ n(n +1) ÷Å‚
(n +1)(n + 2) n +1 (n +1)(n + 2)
íÅ‚
Å‚Å‚
.
1 n (n +1)2 n +1
îÅ‚n + Å‚Å‚
= = = .
ïÅ‚
(n +1) n + 2śł (n +1)(n + 2) n + 2
ðÅ‚ ûÅ‚
Zatem wzór jest prawdziwy dla każdej liczby naturalnej n " (na podstawie zasady indukcji
matematycznej).
2)
a) Nierówność jest prawdziwa dla n = 1, gdyż 21 e"1+1 .
i) Założenie indukcyjne: 2n e" 1+ n dla dowolnego n >1.
ii) Teza indukcyjna: 2n+1 e" 2 + n .
Dowód: 2n+1 = 2n Å" 2 e" 1+ n 2 = 2 + 2n e" 2 + n .
( )
Zatem nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej n " (na podstawie zasady
indukcji matematycznej).
1
b) Dla n =1 mamy: 1+ x e" 1+1Å" x = 1+ x .
( )
i) Założenie indukcyjne: 1+ x e" 1+ nx , x > -1, dla dowolnego n > 1.
( )n
ii) Teza indukcyjna: 1+ x e" 1+ (n +1)x .
( )n+1
Dowód: 1+ x = 1+ xn Å" 1+ x e" 1+ nx 1+ x =1+ n +1 x + nx2 e"1+ n +1 x ,
( )n+1 ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
gdyż nx2 e" 0 .
Zatem nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej n (na podstawie zasady
indukcji matematycznej).
3)
Dla n = 1 liczba 101 - 4 = 6 jest podzielna przez 6. Załóżmy, że 10n - 4 jest podzielna
przez 6 dla dowolnego n > 1. Zauważmy, że 10n+1 - 4 = 10n Å"10 - 4 = 10 10n - 4 + 36 .
( )
Liczba ta jest podzielna przez 6 gdyż 10n - 4 jest podzielne przez 6 ( z założenia
indukcyjnego) oraz 36 jest podzielne przez 6.
Zatem liczba 10n - 4 jest podzielna przez 6 dla każdej liczby naturalnej n (na podstawie
zasady indukcji matematycznej).
32
Zadanie.
Stosując zasadę indukcji matematycznej pokazać, że dla każdej liczby naturalnej n
2
n2 n +1
( )
a) 13 + 23 + 33 +...+ n3 = ; b) 1!+ 2!+ ...+ n! = (n +1)! -1;
4
1 1 1 1 1
c) liczba 8n + 6 jest podzielna przez 7; d) + + + ...+ d" 2 - .
n
12 22 32 n2
II. Funkcje
1. Podstawowe określenia
Niech będą dane dwa niepuste zbiory X i Y.
Definicja 1.
Mówimy, że na zbiorze X określona jest funkcja f o wartościach w Y i piszemy
f : X Y
jeżeli każdemu elementowi x " X przyporządkowany został dokładnie jeden element y "Y.
Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy symbolem Df . Każdy element
x " X nazywamy argumentem funkcji f , a y = f x "Y nazywamy wartością funkcji f
( )
dla argumentu x . Funkcję f zapisujemy również:
X " x y = f (x)"Y ,
albo tradycyjnie
y = f (x), x " X .
Ponieważ litera x reprezentuje w zapisie funkcji każdy element zbioru X więc
nazywamy ją zmienną niezależną. Podobnie literę y nazywamy zmienną zależną, gdyż
reprezentuje ona każdą wartość funkcji f , a wartości te zależą od x .
Zbiór
Wf = f (x) "Y : x " Df
{ }
nazywamy zbiorem wartości funkcji.
Uwaga.
Funkcję f : X Y nazywamy również odwzorowaniem lub przekształceniem zbioru X
w zbiór Y . Funkcję f możemy przedstawić graficznie:
33
 Niech bÄ™dzie dana funkcja f : X Y i zbiór A ‚" X .
Definicja 2.
Zbiór wartości jakie przyjmuje funkcja f na zbiorze A nazywamy obrazem zbioru A i
oznaczamy symbolem f A .
( )
Zatem f A = f (x)"Y : x " A .
( ) { }
Zbiór f X nazywamy przeciwdziedziną funkcji f .
( )
W przypadku gdy f X = Y , funkcjÄ™ f nazywamy odwzorowaniem na lub suriekcjÄ….
( )
na
Piszemy wówczas f : X Y .
Jeżeli funkcja f : X Y i A ‚" X , A `" " , to funkcjÄ™ g : A Y okreÅ›lonÄ… równoÅ›ciÄ…
g(x) = f (x)
"
x"A
nazywamy funkcją f zredukowaną (obciętą) do zbioru A i oznaczamy symbolem f .
A
Definicja 3.(równość funkcji)
Dwie funkcje f1 i f2 nazywamy równymi, jeżeli
1. Df1 = Df2 = X , (mają równe dziedziny),
2. f1(x) = f2(x) .
"
x"X
2. Funkcje liczbowe
Jeżeli w definicji funkcji przyjmiemy, że zbiory X i Y są pewnymi podzbiorami zbioru
liczb rzeczywistych tj. X ‚" R , Y ‚" R , to otrzymujemy funkcje rzeczywiste jednej zmiennej
rzeczywistej, zwane funkcjami liczbowymi.
Jeżeli dany jest tylko wzór określający funkcję, to zbiór tych wszystkich x " R , dla których
napisany wzór ma sens liczbowy nazywamy dziedziną naturalną funkcji.
Zadanie 1.
Określić dziedziny naturalne funkcji :
7x + 2
a) f (x) = 2x3 + x2 - 5x + 3 ; b) f (x) = ; c) f (x) = 9 - x2 ;
x2 -1
sin x 1
d) f (x) = + ; e) f (x) = log x2 -16 .
( )
x +1
x - 2
Odpowiedzi.
a) Df = R ; b) Df = R \ ; c) Df = -3;3 ; d) Df = 2;+" \ ;
{-1,1
} ( ) {-1
}
34
e) Df =
(-";-4 *" 4;+" .
) ( )
Zadanie2.
Zbadać, czy podane funkcje są równe:
1- x2
a) f (x) = x , g(x) = x2 ; b) f (x) =1- x, g(x) = ;
1+ x
c) f (x) = sin x , g(x) = 1- cos2 x .
Odpowiedzi.
a) funkcje są równe ; b) funkcje nie są równe gdyż Df = R zaś Dg = R \ ;
{-1
}
c) funkcje nie są równe gdyż g(x) = sin x `" sin x = f (x) dla x " Ą + 2kĄ;2Ą + 2kĄ , k " Z .
( )
Definicja 1. (wykres funkcji)
Wykresem funkcji f : X Y nazywamy zbiór
x, y " R2 :x " X '" y = f (x) .
( )
{ }
Linia na płaszczyz
nie jest wykresem funkcji, gdy każda prosta pionowa przecina ją co
najwyżej raz.
Rzut prostokÄ…tny wykresu funkcji na oÅ› Ox jest dziedzinÄ…, zaÅ› rzut prostokÄ…tny na oÅ›
Oy zbiorem wartości funkcji.
35
Działania arytmetyczne na funkcjach
Niech będą dane dwie funkcje f : X1 R oraz g : X2 R , gdzie X1 )" X2 `" " .
Funkcje:
f + g (x) := f (x) + g(x) , x " X1 )" X2 ,
( )
f
( - g (x) := f (x) - g(x) , x " X1 )" X2 ,
)
f Å" g (x) := f (x)Å" g(x) , x " X1 )" X2 ,
( )
nazywamy sumą, różnicą oraz iloczynem funkcji f i g i oznaczamy odpowiednio
symbolami : f + g, f - g, f Å" g.
Ponadto, jeżeli dla każdego x " X1 )" X2 g(x) `" 0 , to funkcję
ëÅ‚ öÅ‚ f (x)
f
x := ,
( )
ìÅ‚ ÷Å‚
g g(x)
íÅ‚ Å‚Å‚
f
Nazywamy ilorazem funkcji f przez funkcjÄ™ g i oznaczamy symbolem .
g
Funkcje okresowe
Definicja 2.
Funkcja f : X R jest okresowa, jeżeli
(x + É)" X '" f (x + É) = f (x) .
( )
" "
É" x"X
LiczbÄ™ É nazywamy okresem funkcji.
Jeżeli istnieje najmniejszy okres dodatni funkcji f , to nazywamy go okresem podstawowym
(zasadniczym) i oznaczamy przez T .
Funkcja okresowa
Funkcja jest okresowa, gdy jej wykres po przesunięciu o wektor v = 0;T nałoży się na
siebie.
Przykładem funkcji okresowej, która nie ma okresu podstawowego jest funkcja stała:
f (x) = c, x " R .
Każda liczba É `" 0 jest jej okresem .W zbiorze liczb dodatnich nie istnieje liczba
najmniejsza.
Przykładami funkcji okresowych są funkcje trygonometryczne, znane ze szkoły średniej.
Funkcje f (x) = sin x oraz f (x) = cos x mają okres podstawowy równy T = 2Ą , zaś
funkcje f (x) = tg x oraz f (x) = ctg x mają okres podstawowy równy T = Ą .
36
Dla funkcji okresowych zachodzą następujące twierdzenia.
Twierdzenie 1.
Załóżmy, że funkcja f : R R jest okresowa i niech liczba T > 0 będzie jej okresem
podstawowym. Wówczas liczba k Å"T , k " Z , jest też okresem tej funkcji tj.
f (x + T ) = f (x) Ò! f (x + k Å"T ) = f (x) , k " Z .
"
x"
Twierdzenie 2.
Załóżmy, że funkcja f : R R jest okresowa i niech liczba T > 0 będzie jej okresem
podstawowym. Wówczas funkcja F dana wzorem F(x) = f (a Å" x) , a > 0 jest również
T
okresowa a jej okresem podstawowym jest liczba T1 = .
a
Zadanie 2.
Znalez
ć okresy podstawowe następujących funkcji:
1
a) f (x) = sin 3x ; b) f (x) = cos x ; c) f (x) = sin x
( )
2
Odpowiedzi.
2Ä„
a) T1 = ; b) T1 = 4Ä„ ; c) T1 = Ä„ .
3
Funkcje parzyste i nieparzyste
Definicja 3.
Funkcja f : X R jest parzysta, jeżeli
(-x)" X '" f (-x) = f (x) .
( )
"
x"X
Uwaga.
Dla funkcji parzystej jej wykres jest symetryczny w/m osi Oy ( Oy jest osiÄ… symetrii jej
wykresu , (rys.)
37
Definicja 4.
Funkcja f : X R jest nieparzysta, jeżeli
(-x)" X '" f (-x) = - f (x) .
( )
"
x"X
Uwaga.
Dla funkcji nieparzystej jej wykres jest symetryczny w/m początku układu (początek układu
jest środkiem symetrii jest jej wykresu), (rys.)
Przykład
Sprawdzić, które z podanych funkcji są parzyste a które nieparzyste:
sin x 2x - 2-x
a) f (x) = x6 - 5x4 + x2 ; b) f (x) = ; c) f (x) = .
x2 2x + 2-x
RozwiÄ…zanie.
a) Df = R . Jeżeli x " R , to także (-x) " R . Mamy f (-x) = (-x)6 - 5(-x)4 + (-x)2 =
= x6 - 5x4 + x2 = f (x) . Zatem funkcja f jest parzysta.
b) Df = R \ 0 . Jeżeli zatem x " R , to także (-x) " R , x `" 0 .
{ }
Mamy
sin(-x) -sin x
f (-x) = = = - f (x)
(-x)2 x2
Zatem funkcja f jest nieparzysta. Wykorzystaliśmy tutaj fakt, że funkcja y = sin x jest
nieparzysta.
2- x - 2x 2x - 2-x
c) Df = R . f (-x) = = - = - f (x) .
2-x + 2x 2x + 2-x
Funkcja jest nieparzysta.
Funkcje monotoniczne
Definicja 5.
Funkcja f jest rosnÄ…ca na zbiorze A ‚" Df , jeżeli
îÅ‚ x1 < x2 Ò! f (x1) < f (x2) Å‚Å‚ .
( ) ( )ûÅ‚
ðÅ‚
"
x1 , x2 "A
(Wraz ze wzrostem wartości argumentu rosną wartości funkcji).
38
Definicja 6.
Funkcja f jest malejÄ…ca na zbiorze A ‚" Df , jeżeli
îÅ‚ x1 < x2 Ò! f (x1) > f (x2) Å‚Å‚ .
( ) ( )ûÅ‚
ðÅ‚
"
x1 , x2 "A
(Wraz ze wzrostem wartości argumentu maleją wartości funkcji).
Funkcja rosnÄ…ca Funkcja malejÄ…ca
Definicja 7.
Funkcja f jest niemalejÄ…ca na zbiorze A ‚" Df , jeżeli
îÅ‚ x1 < x2 Ò! f (x1) d" f (x2) Å‚Å‚ .
( ) ( )ûÅ‚
ðÅ‚
"
x1 , x2 "A
(Wraz ze wzrostem wartości argumentu nie maleją wartości funkcji).
Definicja 8.
Funkcja f jest nierosnÄ…ca na zbiorze A ‚" Df , jeżeli
îÅ‚ x1 < x2 Ò! f (x1) e" f (x2) Å‚Å‚ .
( ) ( )ûÅ‚
ðÅ‚
"
x1 , x2 "A
(Wraz ze wzrostem wartości argumentu nie rosną wartości funkcji).
Funkcja niemalejÄ…ca Funkcja nierosnÄ…ca
Funkcja jest monotoniczna na zbiorze A ‚" Df , jeżeli jest rosnÄ…ca lub malejÄ…ca albo
nierosnÄ…ca lub niemalejÄ…ca na tym zbiorze.
39
Uwaga.
Na określenie funkcji rosnącej lub malejącej używa się też terminu : funkcja ściśle
monotoniczna.
Złożenie funkcji
Definicja 9.
Niech będą dane dwie funkcje f : X Y oraz g :T Z , przy czym zbiór Wf wartości
funkcji f ma niepuste przecięcie ze zbiorem T tj. Wf )"T `" " . Wówczas każdemu
elementowi x " X możemy przyporządkować dokładnie jeden element z " Z taki, że
z = g f (x) . Funkcje f i g wyznaczają więc nową funkcję h : X Z , określoną
( )
równością
h(x) = g f (x) .
( )
"
x"X
Funkcję h nazywamy funkcją złożoną lub superpozycją funkcji f i g i oznaczamy
symbolem g f .
Funkcję f będziemy nazywać funkcją wewnętrzną, a funkcję g funkcją zewnętrzną
superpozycji g f .
Z definicji mamy
g f (x) = g f (x) .
( ) ( )
Uwaga.
1. Jeżeli funkcja złożona h jest funkcją wewnętrzną pewnej innej funkcji złożonej k , to
funkcję k będziemy nazywać funkcją dwukrotnie złożoną. Ogólnie, składając
funkcję (n -1) - krotnie złożoną z pewną funkcją otrzymujemy funkcję n - krotnie
złożoną.
2. Składanie funkcji nie jest przemienne.
Przykład
1. Określić funkcje złożone f f , f g , g f , g g oraz ich dziedziny, jeżeli:
a) f (x) = cos x , g(x) = x3 ; b) f (x) = 2x , g(x) = sin x ;
RozwiÄ…zanie
a) f f (x) = cos cos x , Df f = R ; f g (x) = cos x3 , Df g = R ;
( ) ( ) ( )
( )
3
g f (x) = cos3 x, Dg f = R ; g g (x) = x3 = x9 , Dg g = R .
( ) ( )
( )
x
b) f f (x) = 22 , Df f = R ; f g (x) = 2sin x , Df g = R ;
( ) ( )
g f (x) = sin 2x , Dg f = R ; g g (x) = sin sin x , Dg g = R .
( ) ( ) ( )
( )
40
Funkcje różnowartościowe
Definicja 10.
Funkcja jest różnowartoÅ›ciowa na zbiorze A ‚" Df , jeżeli
(x1 `" x2) Ò! ( f (x1) `" f (x2)) .
( )
"
x1 , x2"A
Oznacza to, że różnym wartościom argumentu odpowiadają różne wartości funkcji.
Uwaga.
Przy sprawdzaniu różnowartościowości funkcji wygodniej jest korzystać z definicji
równoważnej:
f (x1) = f (x2) Ò! (x1 = x2) .
( )
"
x1 , x2"A
Warunek wystarczający różnowartościowości funkcji
Jeżeli funkcja jest rosnąca albo malejąca na zbiorze A , to jest różnowartościowa na tym
zbiorze.
Funkcja odwrotna
Załóżmy, że funkcja f jest różnowartościowa i odwzorowuje zbiór X na zbiór Y tj.
1: 1
f : X Y i niech y = f (x) . Oznacza to, że również każdemu elementowi y "Y
przyporządkowany został dokładnie jeden element x " X . Możemy więc określić funkcję
g :Y X , x = g( y) , która każdemu elementowi y "Y przyporządkowuje dokładnie
jeden element x " X taki, że y = f (x) .
Określoną w ten sposób za pomocą funkcji różnowartościowej f funkcję g nazywamy
-1
funkcjÄ… odwrotnÄ… do f i oznaczamy symbolem f .
Mamy więc
g f (x) = x oraz f g(y) = y .
( ) ( )
" "
x"X y"Y
41
We wzorze x = g( y) zamieniamy oznaczenia ( x zastępuje y ) i wówczas stosujemy zapis
-1
y = g(x) = f (x) .
-1
To pozwala nam porównywać wykresy funkcji f oraz f w tym samym układzie
współrzędnych.
Zauważmy, że zbiory X i Y zamieniają się rolami, gdy zamiast funkcji f rozpatrujemy
-1
funkcję f . Dziedzina funkcji f staje się zbiorem wartości (przeciwdziedziną) dla funkcji
-1 -1
f oraz zbiór wartości (przeciwdziedzina) funkcji f staje się dziedziną dla funkcji f .
-1
Oznacza to, że wykres funkcji f jest symetryczny do wykresu funkcji f względem prostej
y = x , (rys).
Uwaga.
Jeżeli funkcja f : X Y nie jest różnowartościowa , ale funkcja f (obcięta do zbioru
A
-1
A ‚" X ) jest różnowartoÅ›ciowa na tym zbiorze, to wówczas możemy utworzyć funkcjÄ™ f
odwrotną do funkcji f . Nazywać ją będziemy gałęzią funkcji odwrotnej ( która na ogół
A
nie jest jednoznaczna).
Przykład.
Znalez
ć funkcje odwrotne do funkcji:
a) f (x) = 5x + 3 , x " R ; b) f (x) = x2 - 2x , x " 1;" ;
)
3
c) f (x) = 1- x +1 , x " R .
RozwiÄ…zanie,
a) Df = R , zbiór wartości Wf = R .
-1
1 3 1 3
y = 5x + 3 Ò! x = y - . Zatem f x = x - , x " R.
( )
5 5 5 5
b) Funkcja ta jest rosnąca w przedziale 1;" , a więc jest różnowartościowa w tym
)
przedziale. Zbiór wartości funkcji Wf = -1;+" .
)
y = x2 - 2x Ò! x2 - 2x - y = 0 . Równanie to ma dwa rozwiÄ…zania:
x =1- 1+ y lub x =1+ 1+ y , y " -1;+" .
)
42
Rozwiązanie spełniające warunki zadania to x =1+ 1+ y .
-1
Zatem f (x) = 1+ 1+ x , x " -1;+" .
)
c) Funkcja jest różnowartościowa w R .
3 -1
y =1- x +1 Ò! x = 1- y -1. Wynika stÄ…d, że f (x) = 1- x -1 , x " R .
( )3 ( )3
Funkcje cyklometryczne (kołowe).
1 1
1. Funkcja y = sin x jest różnowartościowa na dziedzinie X = - Ą;+ Ą i
2 2
odwzorowuje ten przedział wzajemnie jednoznacznie na przedział Y = -1;1 . Istnieje więc
funkcja odwrotna, którą nazywamy arcusem sinusem i oznaczamy symbolem arcsin .
Definicja 1.
1 1
y = arcsin x Ô! x = sin y , x " -1;1 , y " - Ä„;+ Ä„ .
2 2
Przykłady.
1 1 1 1 1 1 1
arcsin = Ą ponieważ sin Ą = i Ą" - Ą; Ą .
( )
2 6 6 2 6 2 2
2 2
1 1 1 1 1
arcsin
(- )= - Ą ponieważ sin(- Ą) = - i - Ą" - Ą; + Ą .
2 4 4 2 4 2 2
2. Funkcja y = cos x jest różnowartościowa na dziedzinie X = 0;Ą i odwzorowuje ten
przedział wzajemnie jednoznacznie na przedział Y = -1;1 . Istnieje więc funkcja odwrotna,
którą nazywamy arcusem cosinusem i oznaczamy symbolem arccos .
Definicja 2.
y = arccos x Ô! x = cos y , x " -1;1 , y " 0;Ä„ .
Przykłady.
1 1 1 1 1 1 1
arccos = Ą ponieważ cos Ą = i Ą" - Ą; + Ą .
( )
2 3 3 2 3 2 2
2 3 2 3
arccos
(- )= Ą ponieważ cos(3 Ą) = - i Ą" 0;Ą .
2 4 4 2 4
43
1 1
3. Funkcja y = tg x jest różnowartościowa na dziedzinie X = - Ą; Ą i odwzorowuje
( )
2 2
ten przedział wzajemnie jednoznacznie na zbiór liczb rzeczywistych Y = R . Istnieje więc
funkcja odwrotna, którą nazywamy arcusem tangensem i oznaczamy symbolem arctg .
Definicja 3.
1 1
y = arctg x Ô! x = tg y , x " R, y " - Ä„;+ Ä„
( )
2 2
Przykłady.
1 1 1 1 1
arctg 1 = Ą ponieważ tg Ą = 1 i Ą" - Ą;+ Ą .
( ) ( )
4 4 4 2 2
4. Funkcja y = ctg x jest różnowartościowa na dziedzinie X = 0;Ą i odwzorowuje ten
( )
przedział wzajemnie jednoznacznie na zbiór liczb rzeczywistych Y = R . Istnieje więc funkcja
odwrotna, którą nazywamy arcusem cotangensem i oznaczamy symbolem arcctg .
Definicja 3.
y = arcctg x Ô! x = ctg y , x " R, y " 0;Ä„ .
( )
Przykłady.
3 3 3
arcctg (-1) = Ą ponieważ ctg Ą = -1 i Ą" 0;Ą .
( )
( )
4 4 4
44
 Podstawowe tożsamości związane z funkcjami cyklometrycznymi.
1
1. arcsin x + arccos x = Ą każdego x " -1;1 .
2
1
2. arctg x + arcctg x = Ą każdego x " R .
2
Przekształcanie wykresów funkcji
Przesunięcie i symetrie wykresów funkcji.
1. Wykres funkcji y = f x - a + b , gdzie a,b " R , otrzymujemy z wykresu funkcji
( )
y = f (x) przez przesuniecie (translacjÄ™) go o wektor v = a,b .
[ ]
2. Wykres funkcji y = - f (x) otrzymujemy z wykresu funkcji y = f (x) przez symetriÄ™
względem osi Ox .
45
3. Wykres funkcji y = f (-x) otrzymujemy z wykresu funkcji y = f (x) przez symetriÄ™
względem osi Oy .
Uwaga.
Powyższe przekształcenia wykresów funkcji pociągają za soba odpowiednie zmiany dziedzin.
Skalowanie wykresów funkcji
1. Wykres funkcji y = c Å" f (x) powstaje z wykresu funkcji y = f (x) przez  rozciÄ…gniÄ™cie
go w pionie , gdy c > 1 oraz  ściśnięcie go w pionie, gdy 0 < c < 1.
Gdy c < 0 , to najpierw przekształcamy wykres przez symetrię względem Ox , z póz
niej
stosujemy przekształcenie omówione w 1.
Zauważmy, że to przekształcenie nie zmienia miejsc zerowych funkcji. W geometrii
nazywamy je powinowactwem prostokątnym względem osi Ox
2. Wykres funkcji y = f (c Å" x) powstaje z wykresu funkcji y = f (x) przez  Å›ciÅ›niÄ™cie go
w poziomie , gdy c > 1 oraz  rozciągnięcie go w poziomie, gdy 0 < c < 1.
Gdy c < 0 , to najpierw przekształcamy wykres przez symetrię względem Oy , z póz
niej
stosujemy przekształcenie omówione w 2.
46
Zauważmy, że to przekształcenie na ogół zmienia miejsca zerowe funkcji ale nie zmienia
wartości f (0) ( jeżeli 0 należy do dziedziny funkcji). W geometrii to przekształcenie
nazywamy powinowactwem prostokątnym względem osi Oy.
Wykresy funkcji z wartością bezwzględną
1. Dana jest funkcja y = f (x) . Znając wykres funkcji f chcemy otrzymać wykres funkcji
y = f (x) . Zauważmy, że
f (x) gdy f (x) e" 0,
Å„Å‚
y = f (x) =
òÅ‚- f (x) gdy f (x) < 0. .
ół
Wynika stąd, że tą część wykresu, która leżą nad osią Ox , f (x) e" 0 , pozostawiamy bez
( )
zmiany, a tą część, które leżą pod osią Ox , f (x) < 0 , odbijamy symetrycznie względem
( )
osi Ox .
2. Dana jest funkcja y = f (x) . Znając wykres funkcji f chcemy otrzymać wykres funkcji
y = f x .
( )
f (x) gdy x e" 0,
Å„Å‚
Mamy: y = f x = .
( )
òÅ‚
f (-x) gdy x < 0.
ół
Wynika stąd, że tą część wykresu , która leży po dodatniej stronie osi Ox pozostawiamy bez
zmiany, następnie obcinamy tę część wykresu , która leży po ujemnej stronie osi Ox x < 0
( )
i uzupełniamy pozostałą jego część przez odbicie symetryczne względem osi Oy tej części
wykresu, które leżą po dodatniej stronie osi Ox .
47
Zadanie 1.
Sporządzić wykresy następujących funkcji :
1
1) y = x +1 ; 2) y = 2 x - x + 2 - 2 ; 3) y = x +1 + x -1 ; 4) y = x +1 - 2 .
( )
2
Zadanie 2.
W prostokątnym układzie współrzędnych XOY na płaszczyz
nie zaznaczyć punkty, których
współrzędne spełniają układy nierówności :
Å„Å‚ y - x d" 1
2x + y
Å„Å‚ - 2 e" 0
ôÅ‚
a)
òÅ‚x - 2y + 2 d" 0 ; b) òÅ‚
x + 3 d"1 .
ół ôÅ‚
ół
Zadanie 3.
Dany jst zbiór:
A = (x, y) : x " R '" y " R '" x + y = 1 .
{ }
Narysować ten zbiór na płaszczyz
nie.
Odpowiedzi.
Zadanie 1.
y
Å„Å‚-x -1 dla x d" -1 ,
1) y = 1
òÅ‚
x +1 dla x e" -1.
ół
x
 1 0
y
Å„Å‚ - x -1 dla x d" -1 ,
ôÅ‚-3x
2) y = - 3 dla -1 d" x d" 0 ,
òÅ‚
ôÅ‚
x - 3 dla x e" 0 .
ół
-1 0 3 x
-3
y
Å„Å‚-x dla x d" -1 ,
ôÅ‚
3) y = 1 dla -1d" x d"1 ,
òÅ‚
ôÅ‚
x dla x e"1 .
ół
-1 0 1 x
48
 y
Å„Å‚-x - 3 dla x d" -3,
ôÅ‚
x + 3 dla - 3 d" x d" -1 ,
ôÅ‚
4) y =
òÅ‚-x +1 dla -1d" x d"1 , 2
ôÅ‚
ôÅ‚
x -1 dla x e" 1 .
ół
-3 -1 0 1 x
Zdanie 2. y
a) 2 x - 2 y + 2 = 0
1 2x + y - 2 = 0
x
-2 0 1
y
1
b) y - x d" 1 Ô! x -1 d" y d" x +1 ;
( ) ( )
x + 3 d" 1 Ô! d" x d" -2 ; -4 -2 -1 0 1 x
)
( ) (-4
-1
Zadanie 3.
Zbiór A
y
1
-1 0 1
x
-1
49
Zadanie 4.
Sporządzić wykresy funkcji:
2 x - 3
x -1 x
a) y = ; b) y = ; c) y = .
x +1 x -1 3 x - 2
Odpowiedzi.
x -1
a) y =
x +1
b) Na mocy definicji wartości bezwzględnej funkcję można określić następująco:
x
Å„Å‚
ôÅ‚-x +1 dla x < 1,
x
ôÅ‚
y = = ;
òÅ‚
x -1 x
ôÅ‚
dla x > 1.
ôÅ‚
ół x -1
2 x - 3
c) y = .
3 x - 2
50
Funkcje elementarne
Definicja 1.
Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe, potęgowe, wykładnicze i
trygonometryczne.
1. Funkcja stała f (x) = c , x " R .
2. Funkcja potęgowa f (x) = xą , gdzie ą jest stałą rzeczywistą. Dziedzina i zbiór
wartości zależą od wykładnika ą .
a) Jeżeli ą jest liczbą naturalną, to dziedziną jest R . Zbiór wartości jest
przedziałe 0;" , gdy ą jest liczbą parzystą oraz R , gdy gdy ą jest liczbą
)
nieparzystÄ….
b) Jeżeli ą jest liczbą całkowitą ujemną, to dziedziną jest R \ 0 . Zbiór
{ }
wartości to R \ 0 , gdy gdy ą jest liczbą nieparzystą, oraz przedziałem
{ }
0;" , gdy Ä… jest liczbÄ… parzystÄ….
( )
51
p
c) Jeżeli ą jest dodatnią liczbą wymierną (ułamek nieskracalny), to
q
dziedziną jest przedział 0;" , gdy q jest liczbą parzystą oraz R , gdy q
)
jest liczbą nieparzystą. Zbiorem wartości jest przedział 0;" , gdy q jest
)
liczbÄ… parzystÄ… albo , gdy gdy q jest liczbÄ… nieparzystÄ… i p parzystÄ… oraz R ,
gdy q i p sÄ… liczbami nieparzystymi.
3. Funkcja wykładnicza f (x) = ax , gdzie a `" 1 jest stałą dodatnią.
Dziedziną funkcji wykładniczej jest R , a zbiorem wartości przedział 0;" .
( )
Jeżeli a > 1, to funkcja jest rosnąca, a jeżeli 0 < a < 1, to funkcja jest malejąca.
x
1
ëÅ‚ öÅ‚
Zauważmy, że wykresy funkcji y = ax i y = sąsymetryczne względem osi Oy .
ìÅ‚ ÷Å‚
a
íÅ‚ Å‚Å‚
x
1
ëÅ‚ öÅ‚
Wynika to z zależności = a- x .
ìÅ‚ ÷Å‚
a
íÅ‚ Å‚Å‚
52
1
Funkcja wykładnicza, której podstawą jest liczba e H" 2,7182 , tzn. funkcję f (x) = ex
nazywamy exponent i oznaczamy krótko exp(x) .
4. Funkcje trygonometryczne
a) Funkcja f (x) = sin x ma dziedzinę Df = R zaś zbiorem wartości jest przedział -1;1 .
Wykres funkcji y = sin x .
b) Funkcja f (x) = cos x ma dziedzinę Df = R zaś zbiorem wartości jest przedział -1;1 .
Wykres funkcji y = cos x .
1
c) Funkcja f (x) = tg x ma dziedzinę R \ Ą + kĄ , k " Z . Zbiorem wartości jest R .
{ }
2
Wykres funkcji y = tg x.
n
1
1
Liczba e jest granicą ciągu 1+ , gdy n dąży do " .
( )
n
53
d) Funkcja f (x) = ctg x ma dziedzinę R \ kĄ , k " Z . Zbiorem wartości jest R .
{ }
Wykres funkcji y = ctg x.
Definicja 2.
Funkcje, które można otrzymać z podstawowych funkcji elementarnych za pomocą
skończonej liczby działań arytmetycznych oraz operacji złożenia i odwracania , nazywamy
funkcjami elementarnymi.
3. CiÄ…gi liczbowe
Podstawowe określenia
Definicja 1.
Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb
rzeczywistych tj. funkcjÄ™ f : N R .
Oznacza to, że każdej liczbie naturalnej n " N przyporządkowana jest jednoznacznie liczba
rzeczywista f (n)" R , którą będziemy oznaczali symbolem an i nazywali n - tym wyrazem
ciągu. Zatem an = f (n) . Ciągi o takich wyrazach będziemy oznaczać przez an . Zbiór
( )
wyrazów ciągu an tj. zbiór an : n " N oznaczamy krótko przez an .
( ) { } { }
Sposoby określania ciągów.
1. Podanie wzoru an = f (n) .
Przykłady:
2n + 5 1
îÅ‚1+ n Å‚Å‚
a) an = 2n ; b) an = ; c) an =
(-1 ; d) an = n +1 - n .
)
ðÅ‚ ûÅ‚
n +1 2
54
W tym przypadku znając wzór możemy obliczyć dowolny wyraz ciągu.
2Å"10 + 5 25
Na przykład dla ciągu b) dziesiąty wyraz a10 = = a dla ciągu c) czwarty wyraz
10 +1 11
1
îÅ‚1+ 4 Å‚Å‚
jest równy a4 =
(-1 = 1.
)
ðÅ‚ ûÅ‚
2
2. Definicje rekurencyjne (indukcyjne).
Każdy wyraz ciągu wyraża się przez wyrazy poprzednie.
Przykłady.
a) an+1 = an + r , n" N , (ciąg arytmetyczny) . Liczbę r nazywamy różnicą tego ciągu.
b) an+1 = an Å" q , n " N , (ciÄ…g geometryczny) . . LiczbÄ™ q nazywamy ilorazem tego ciÄ…gu.
c) a1 = 2 , an+1 = 2 + an , n " N .
d) a1 = 1, a2 = 2 , an+2 = an+1 + an , n " N , (ciÄ…g Fibonacciego).
Każdy wyraz tego ciągu jest sumą dwóch poprzednich. Kolejne liczby tego ciągu to:
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
W tym przypadku nie mamy podanego wzoru na n - ty wyraz. Wzory te możemy
wyprowadzić stosując np. zasadę indukcji matematycznej.
Omówimy je poniżej dla podanych przykładów.
a) Z wiadomości ze szkoły średniej wiemy, że w ciągu arytmetycznym n - ty wyraz wyraża
siÄ™ wzorem: an = a1 + (n -1)r .
b) Z wiadomości ze szkoły średniej wiemy, że w ciągu geometrycznym n - ty wyraz wyraża
siÄ™ wzorem: an = a1 Å" qn-1 .
2
Ä„ Ä„
c) Zauważmy, że a1 = 2 = 2Å" = 2cos = 2cos .
( )
( )
4
22
2
Ä„ Ä„ Ä„
Wyraz a2 = 2 + a1 = 2 + 2cos = 2 1+ cos = 2Å" 2cos2 Ä„ = 2cos .
( ) ( ( ) ( )
) ( )
4 4 8
23
(zastosowaliśmy tutaj wzór 1+ cos 2ą = 2cos2 ą ).
Ä„
Stawiamy hipotezę, że an = 2cos .
( n+1)
2
Prawdziwość tej hipotezy udowodnimy stosując zasadę indukcji matematycznej.
1. Sprawdzamy prawdziwość wzoru dla n = 1.
2
Ä„ Ä„
a1 = 2cos = 2cos = 2Å" = 2 .
( )
( )
4
22
2
Ä„
2. Załóżmy, że dla dowolnego n e" 1 an = 2cos . Mamy wykazać, że
( )
2n+1
Ä„
an+1 = 2cos .
( n+ 2 )
2
55
Mamy
Ä„ Ä„ Ä„ Ä„
îÅ‚1+
an+1 = 2 + an = 2 + 2cos = 2 cos = 2cos
n+1 ( n+ 1)Å‚Å‚ = 2Å" 2cos2 n+ 1 ( n+2) ,
( ) ( )
2 2 2Å"2 2
ðÅ‚ ûÅ‚
co mieliśmy udowodnić. Na podstawie zasady indukcji matematycznej otrzymany wzór jest
prawdziwy dla każdej liczny naturalnej n .
d) Rozpatrzmy ciÄ…g Fibonacciego: a1 = 1, a2 = 2 , an+2 = an+1 + an , n " .
Udowodnimy za pomocą indukcji matematycznej, że
îÅ‚ëÅ‚1+ 5 öÅ‚n+1 ëÅ‚1- 5 öÅ‚n+1Å‚Å‚
1
ïÅ‚ìÅ‚ ÷Å‚ - ìÅ‚ ÷Å‚ śł
an = .
2 2
5 ïÅ‚ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ śł
ðÅ‚íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ ûÅ‚
1. Sprawdzamy prawdziwość wzoru dla n = 1 oraz dla n = 2 .
îÅ‚1+ 2 5 + 5 - 1- 2 5 + 5 1 4 5
îÅ‚ëÅ‚1+ 5 öÅ‚2 ëÅ‚1- 5 öÅ‚2 Å‚Å‚
( )Å‚Å‚ = Å" = 1.
1 1
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ìÅ‚ ÷Å‚ - ìÅ‚ ÷Å‚ śł
a1 = =
÷Å‚
2 2 ïÅ‚ 4 śł 4
5 ïÅ‚ìÅ‚ Å‚Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ śł 5 5
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚íÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
îÅ‚1+ 3 5 +15 + 5 5 - 1- 3 5 +15 - 5 5
îÅ‚ëÅ‚1+ 5 öÅ‚3 ëÅ‚1- 5 öÅ‚3 Å‚Å‚
( )Å‚Å‚ =
1 1
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ìÅ‚ ÷Å‚ - ìÅ‚ ÷Å‚ śł
a2 = =
2 2 ïÅ‚ 8 śł
5 ïÅ‚ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ śł 5
ðÅ‚íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚ .
1 16 5
= Å" = 2.
8
5
2. Załóżmy, że dla dowolnego n e" 1
îÅ‚ëÅ‚1+ 5 öÅ‚n+1 ëÅ‚1- 5 öÅ‚n+1Å‚Å‚ îÅ‚ëÅ‚1+ 5 öÅ‚n+2 ëÅ‚1- 5 öÅ‚n+2 Å‚Å‚
1 1
ïÅ‚ìÅ‚ ÷Å‚ - ìÅ‚ ÷Å‚ śł ïÅ‚ìÅ‚ ÷Å‚ - ìÅ‚ ÷Å‚ śł
an = oraz an+1 = .
2 2 2 2
5 ïÅ‚ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ śł 5 ïÅ‚ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ śł
ðÅ‚íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ ûÅ‚ ðÅ‚íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ ûÅ‚
îÅ‚ëÅ‚1+ 5 öÅ‚n+3 ëÅ‚1- 5 öÅ‚n+3 Å‚Å‚
1
ïÅ‚ìÅ‚ ÷Å‚ - ìÅ‚ ÷Å‚ śł
Mamy wykazać, że an+2 = .
÷Å‚
2 2
5 ïÅ‚ìÅ‚ Å‚Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ śł
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚íÅ‚ ûÅ‚
Dowód. Korzystamy z określenia ciągu i założenia indukcyjnego:
îÅ‚ëÅ‚1+ 5 öÅ‚n+2 ëÅ‚1- 5 öÅ‚n+2 Å‚Å‚ îÅ‚ëÅ‚1+ 5 öÅ‚n+1 ëÅ‚1- 5 öÅ‚n+1Å‚Å‚
1 1
ïÅ‚ìÅ‚ ÷Å‚ - ìÅ‚ ÷Å‚ śł ïÅ‚ìÅ‚ ÷Å‚ - ìÅ‚ ÷Å‚ śł
an+2 = an+1 + an = + =
÷Å‚ ÷Å‚
2 2 2 2
5 ïÅ‚ìÅ‚ Å‚Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ śł ïÅ‚ìÅ‚ Å‚Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ śł
5
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚íÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚íÅ‚ ûÅ‚
n+1 n+1
ëÅ‚1+ öÅ‚ îÅ‚1+ 5 Å‚Å‚ ëÅ‚1- 5 öÅ‚ îÅ‚1- 5 Å‚Å‚
1 5 1
+1śł - +1śł .
ìÅ‚ ÷Å‚ ïÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ïÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
5 5
íÅ‚ Å‚Å‚ ðÅ‚ ûÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚ ðÅ‚ ûÅ‚
2
ëÅ‚1+ 5 öÅ‚
1+ 5 3 + 5 6 + 2 5
Zauważmy, że +1 = = =
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 4 2
íÅ‚ Å‚Å‚
i analogicznie
56
2
ëÅ‚1- 5 öÅ‚
1- 5 3 - 5 6 - 2 5
+1 = = = .
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 4 2
íÅ‚ Å‚Å‚
Uwzględniając powyższe otrzymujemy
n+1 2 n+1 2
ëÅ‚1+ öÅ‚ ëÅ‚1+ 5 öÅ‚ ëÅ‚1- 5 öÅ‚ ëÅ‚1- 5 öÅ‚
1 5 1
an+2 = - =
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
5 5
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ëÅ‚1+ 5 öÅ‚n+3 ëÅ‚1- 5 öÅ‚n+3 Å‚Å‚
1
ïÅ‚ìÅ‚ ÷Å‚ - ìÅ‚ ÷Å‚ śł
= , co mieliśmy udowodnić.
2 2
5 ïÅ‚ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ śł
ðÅ‚íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ ûÅ‚
Na podstawie zasady indukcji matematycznej wzór
îÅ‚ëÅ‚1+ 5 öÅ‚n+1 ëÅ‚1- 5 öÅ‚n+1Å‚Å‚
1
ïÅ‚ìÅ‚ ÷Å‚ - ìÅ‚ ÷Å‚ śł
an = .
2 2
5 ïÅ‚ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ śł
ðÅ‚íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ ûÅ‚
jest prawdziwy dla każdej liczny naturalnej n .
Przepis słowny
Przykład.
a) an : n -ta cyfra po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym liczby 3 .
b) an : n -ta liczba pierwsza.
Własności ciągów
Definicja
Ciąg an jest ograniczony z dołu , jeżeli istnieje liczba m " R taka, że dla każdej liczby
( )
naturalnej n " N spełniona jest nierówność: an e" m .
Definicja
Ciąg an jest ograniczony z góry , jeżeli istnieje liczba M " R taka, że dla każdej liczby
( )
naturalnej n " spełniona jest nierówność: an d" M .
Definicja
Ciąg an jest ograniczony , jeżeli istnieją liczby m, M " R, m < M takie, że dla każdej
( )
liczby naturalnej n " spełniona jest nierówność: m d" an d" M .
Uwaga.
W definicji można tak dobrać stałe m i M , aby 0 < M = -m . Wtedy ograniczoność może
być określona następująco:
an d" M .
" "
0 57
Przykład.
Zbadać, czy podane ciągi są ograniczone:
n +1 1 1 1 1
a) an = ; b) an = 4 - 3cos n ; c) an = + + +...+ ;
2n -1 1Å"2 2Å"3 3Å"4 n(n +1)
1 1 1 1
d) an = + + + ...+ .
3 +1
32 +1 33 +1 3n +1
RozwiÄ…zanie.
1 n +1
a) Dla każdego n " mamy < d" 2 .
2 2n -1
1 n +1
Istotnie nierówność < jest równoważna nierówności -1 < 1, zaś nierówność
2 2n -1
n +1
d" 2 jest równoważna nierówności n e" 1.
2n -1
b) Ponieważ -1 d" cos n d" 1, więc dla każdego n "
1 = 4 - 3Å"1 d" 4 - 3cos n d" 4 - (-3) = 7 .
1 1 1
c) Korzystamy z następującej równości: = - .
n(n +1) n n +1
Zatem
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
an = + + + ...+ = 1- + - + - + ...+ - = 1- .
1Å" 2 2Å"3 3Å" 4 n(n +1) 2 2 3 3 4 n n +1 n +1
Wynika stąd, że dla każdej liczby naturalnej n
1
d" an < 1.
2
d) A
atwo zauważyć, że dla każdego n " wyrazy ciągu są dodatnie, więc ciąg jest
ograniczony od dołu przez 0. Ponadto
n
1 1
1-
( )
( )
3 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1
an = + + +...+ < + + +...+ = < .
1
3+1 3 1- 2
32 +1 33 +1 3n +1 32 33 3n
3
Zastosowaliśmy tutaj wzór na sumę wyrazów ciągu geometrycznego.
1
Zatem ciąg jest ograniczony z góry przez .
2
CiÄ…gi monotoniczne
Ciąg an jest rosnący jeżeli an < an+1, an+1 - an > 0 ,
( ) ( )
"
n"N
(każdy następny wyraz jest większy od poprzedniego).
58
Ciąg an jest malejący jeżeli an > an+1, an+1 - an < 0 ,
( ) ( )
"
n"N
(każdy następny wyraz jest mniejszy od poprzedniego).
Ciąg an jest niemalejący jeżeli an d" an+1, an+1 - an e" 0 ,
( ) ( )
"
n"N
(każdy następny wyraz jest nie mniejszy od poprzedniego).
Ciąg an jest nierosnący jeżeli an e" an+1, an+1 - an d" 0 ,
( ) ( )
"
n"N
(każdy następny wyraz jest nie większy od poprzedniego).
Uwaga.
1. CiÄ…gi rosnÄ…ce, malejÄ…ce, nierosnÄ…ce i niemalejÄ…ce nazywamy ciÄ…gami monotonicznymi.
Ciągi rosnące i malejące bywają też nazywane ciągami ściśle monotonicznymi.
2. Jeżeli założymy, że dla każdego n " N an > 0 , to warunki monotoniczności możemy
zapisać w równoważnych postaciach. I tak:
an+1
- dla ciÄ…gu rosnÄ…cego: > 1 ;
"
an
n"N
an+1
- dla ciÄ…gu malejÄ…cego: < 1 ;
"
an
n"N
an+1
- dla ciÄ…gu niemalejÄ…cego: e" 1 ;
"
an
n"N
an+1
- dla ciÄ…gu nierosnÄ…cego: d" 1 .
"
an
n"N
Przykład.
1. Sprawdzić, czy podane ciągi są monotoniczne:
2n +1 2n
a) an = ; b) an = n2 - n ; c) an = .
n + 3 n!
RozwiÄ…zanie.
2n +1 2(n +1) +1 2n + 3
a) an = , an+1 = = .
n + 3 (n +1) + 3 n + 4
2n + 3 n + 3 2n +1 n + 4
2n + 3 2n +1 ( )( ) -( )( ) 5
an+1 - an = - = = > 0
n + 4 n + 3 2n +1 n + 4 2n +1 n + 4
( )( ) ( )( )
dla każdego n " N . Zatem ciąg jest rosnący.
59
b) an = n2 - n , an+1 = (n +1)2 - (n +1) = n2 + n,
an+1 - an = n2 + n - n2 - n = 2n > 0 dla każdego n " N . Zatem ciąg jest rosnący.
( ) ( )
c) Ponieważ wyrazy ciągu są dodatnie, to monotoniczność zbadamy rozpatrując
an+1 2n 2n+1 2n Å"2 an+1 2
iloraz . Mamy an = , an = = oraz = d" 1.
an n! (n +1)! n! n +1 an n +1
( )
CiÄ…g jest zatem nierosnÄ…cy.
2. Udowodnić, że ciąg an określony rekurencyjnie: a1 = 2 , an+1 = 2 + an , n " N ,
( )
jest ograniczony i rosnÄ…cy.
RozwiÄ…zanie.
Zauważmy, że wyrazy ciągu an są dodatnie. Zatem ciąg ten jest ograniczony od dołu przez
( )
0. Udowodnimy teraz, że ciąg an jest ograniczony z góry przez 2. Zastosujemy zasadę
( )
indukcji matematycznej.
Dla n = 1 a1 = 2 < 2 .
Załóżmy, ze dla dowolnego n e" 1 an < 2 . Mamy wykazać, że an+1 < 2 .
Istotnie z założenia indukcyjnego an < 2 wynika, że an+1 = 2 + an < 2 + 2 = 2 .
Chcemy wykazać, że an+1 = 2 + an > an . Nierówność 2 + an > an jest równoważna
2
nierówności an - an - 2 < 0 . Funkcja y = x2 - x - 2 ma miejsca zerowe
x1 = -1 oraz x2 = 2 i dla 0 < x < 2 przyjmuje wartości ujemne. Ponieważ udowodniliśmy,
2
że x = an < 2 , więc wynika stąd, że nierówność an - an - 2 < 0 czyli nierówność an+1 > an
jest prawdziwa dla każdego n " N . Zatem ciąg jest rosnący.
60
BIBLOGRAFIA
1. Banaś J. , Podstawy matematyki dka ekonomistów,
Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa, 2005.
2. Gurgul H. , Suder M. Matematyka dla kierunków ekonomicznych ,
Oficyna a Wolter Kluwer business , Kraków .2009.
3. Gewert M. , Skoczylas., Wstęp do analizy i algebry, Teoria, przykłady, zadania,
Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław ,2009.
4. Gewert M. , Skoczylas., Analiza matematyczna 1, Definicje, twierdzenia, wzory,
Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław ,2006.
5. Żakowski W., Decewicz G., Matematyka, Część I., Wydawnictwo Naukowo-
Techniczne, Warszawa 1994.
Opracował: dr Franciszek Bogowski
61