dr Tadeusz Janaszak (Wrocław tel. [phone]) UE listy Odcinek 5 (54); Kontynuujemy cykl odcinków poświęconych listom zadań dla WYDZIAŁU ZARZĄDZANIA I FINANSÓW; KIERUNEK FINANSE I RACHUNKOWOŚĆ. Podobne zadania przerabia się na prawie wszystkich zajęciach zarówno w Uniwersytecie Ekonomicznym jak i szkołach prywatnych, jak np. WYŻSZA SZKOŁA BANKOWA, ponadto UNIWRSYTET PRZYRODNICZY, POLITECHNIKA i inne uczelnie, gdzie matematyka jest przedmiotem pomocniczym. Omawiana lista pochodzi z roku akademickiego 2010/2011. Drogą mailową można nadsyłać pytania, zadania, problemy. Zapraszam na konsultacje, najlepiej zadzwonić tel. [phone].

LISTA 2

ZADANIA 5 - 7

ALGEBRA LINIOWA

Poznajemy pojęcie bazy przestrzeni liniowej i bazę jej podprzestrzeni; rozwiązujemy konkretne przykłady rachunkowe; badamy nadal pojęcie liniowej niezależności.

Zadanie 5a. Wykazać, że jeśli wektory
są liniowo niezależne, to wektory

1. 
   ,
   ,
   

również tworzą układ niezależny.

Dowód.

Niech będzie dana kombinacja liniowa wektorów
dająca w wyniku wektor zerowy:

2. 
   ;

trzeba pokazać, że wszystkie współczynniki kombinacji (2) są równe zeru.

Wstawiamy do wzoru (2) podane zależności (1):

3. 
   ;

układ (3) przepisujemy w równoważnej formie:

4. 
   .

Z założenia wiemy, że układ
jest liniowo niezależny, a więc wszystkie współczynniki kombinacji (4) są zerami, a więc spełniony jest jednorodny układ równań liniowych z niewiadomymi
:

5. 
   ;

układ równań (5) rozwiązuje się w banalny sposób; otrzymujemy wynik
,
,
, co kończy dowód.

Zadanie 5b Czy prawdziwe jest twierdzenie odwrotne?

Odwrotne wynikanie jest też prawdziwe: jeśli wektory
tworzą układ niezależny, to wektory
powiązane z wektorami
zależnościami (1) również są niezależne.

Dowód.

Związki (1) możemy przepisać w formie

6. 
   ,
   ,
   .

Niech teraz będzie dana kombinacja liniowa wektorów
dająca wektor zerowy:

7. 
   ;

trzeba pokazać, że
; w tym celu do równości (7) wstawiamy związki (6):

8. 
   ;

równość (8) jest równoważna następującej:

9. 
   ;

z tego, że układ
jest liniowo niezależny wnioskujemy, że wszystkie współczynniki kombinacji (9) są zerami, zapiszemy to w formie jednorodnego układu równań:

10. 
    ;

układ (10) rozwiązuje się równie łatwo, jak układ (5), jego jedyne rozwiązanie, to
,
,
; tak więc układ
jest liniowo niezależny.

Zadanie 5c Zaproponować uogólnienie powyższego faktu dla dowolnej liczby wektorów.

TWIERDZENIE

W przestrzeni liniowej E dany jest liniowo niezależny układ wektorów
; wektory
są kombinacjami liniowymi wektorów
:

11. 
    .

Jeśli wektory z przestrzeni
:

12. 
    

tworzą układ liniowo niezależny, wówczas układ wektorów
też jest liniowo niezależny.

DOWÓD

Niech będzie dana kombinacja liniowa wektorów
dająca w wyniku wektor zerowy

13. 
    ;

trzeba pokazać, że
. Wstawmy do równości (13) związki (11), dostajemy:

14. 
    .

Ponieważ wektory
są liniowo niezależne, więc wszystkie współczynniki kombinacji (14) są równe zero; fakt ten zapisujemy w formie jednorodnego układu równań:

15. 
    ;

układ ten możemy zapisać w formie:

16. 
    ,

co zgodnie z przyjętymi oznaczeniami (12) jest równoważne równości

17. 
    ;

ponieważ założyliśmy liniową niezależność wektorów
więc wszystkie lambdy są zerami, czyli
, czego należało dowieść.

Komentarz. Liniowa niezależność wektorów
jest równoważna faktowi, że wyznacznik z współrzędnych tych wektorów jest różny od zera:

18. 
    

Wniosek.

Zadanie 5a ma rozwiązanie natychmiastowe, ponieważ stosowna macierz ma wyznacznik równy jeden a więc jest on różny od zera; zadanie 5b również.

Zadanie 6. Które z następujących układów wektorów są bazami odpowiednich przestrzeni liniowych.

Dla każdego przykładu, gdzie występuje baza wybrać dwa wektory z odpowiedniej przestrzeni i przedstawić, jako kombinację wektorów bazy.

DEFINICJA BAZY I WYMIARU,

i pojęcia z tym związane

1. Bazą przestrzeni wektorowej E nazywamy taki podzbiór
   , że każdy wektor tej przestrzeni daje się w sposób jednoznaczny wyrazić jako kombinacja liniowa elementów tego podzbioru.

2. Bazy mogą mieć skończenie wiele, lub nieskończenie wiele elementów.

3. W algebrze liniowej w zasadzie nie zajmujemy się przestrzeniami o bazach nieskończonych; ograniczamy się jedynie do takich przestrzeni, które mają bazy złożone ze skończonej ilości wektorów.

4. Przestrzeń, która ma bazę złożoną ze skończonej ilości wektorów nazywa się przestrzenią skończenie wymiarową.

5. Zachodzi twierdzenie, które głosi, że wszystkie bazy są równoliczne.

6. Jeśli chodzi o zbiory nieskończone, równoliczność definiuje się na gruncie teorii mnogości i nie będziemy się tym zajmować.

7. Dla tych przestrzeni, które mają bazy złożone ze skończonej ilości wektorów obowiązuje twierdzenie, że wszystkie bazy danej przestrzeni mają tyle samo elementów.

8. Ilość elementów bazy nazywamy wymiarem przestrzeni.

9. Przestrzeń
   jest n - wymiarowa, a więc każda baza przestrzeni
   składa się z n wektorów.

10. W przestrzeni
    każdy układ wektorów złożony z więcej, niż n wektorów jest liniowo zależny.

11. Dla przestrzeni skończenie wymiarowych można inaczej zdefiniować bazę: jest to liniowo niezależny zbiór wektorów taki, że każdy wektor z danej przestrzeni jest kombinacją liniową elementów bazy.

12. W algebrze liniowej jest piękne twierdzenie Steinitza, które w uproszczeniu głosi, że każdy układ liniowo niezależny można rozszerzyć do bazy. Przykładowo, jeśli przestrzeń jest dziesięciowymiarowa i dany jest układ niezależny złożony z trzech wektorów, to do tych trzech wektorów możemy dorzucić siedem innych tak, by w rezultacie otrzymać bazę całej przestrzeni. Pełną wersję twierdzenia Steinitza można znaleźć w podręcznikach algebry.

KONIEC PREZENTACJI POJĘĆ TEORETYCZNYCH

Polecenie a)

;
;
w przestrzeni
.

Wektory te stanowią bazę w przestrzeni
, ponieważ są liniowo niezależne i są właśnie trzy, zob. punkty 9 i 7; aby podać dwa przykłady, weźmy wektor

19. 
    ; czyli
    

oraz

20. 
    ; czyli
    .

Polecenie b)
,
w przestrzeni
.

Układ nie jest bazą, bowiem zawiera tylko dwa wektory, a w przestrzeni
każda baza ma trzy elementy.

Polecenie c)
,
,
w przestrzeni
.

Układ trzech wektorów stanowi bazę przestrzeni
wtedy i tylko wtedy, gdy te wektory tworzą układ niezależny, a ten warunek jest z kolei równoważny temu, by wyznacznik zbudowany ze współrzędnych tych wektorów był różny od zera; obliczamy wyznacznik:

21. 
    .

Układ jest liniowo zależny, a więc nie stanowi bazy.

Zadanie to można rozwiązać również rozwiązując jednorodny układ równań liniowych:

22. 
    ,

czyli

23. 
    ;

układ ten rozwiązujemy analogicznie, jak w poprzednich odcinkach: metodą przeciwnych współczynników - Gaussa:

24. 
    , czyli
    

dalej

25. 
    , czyli
    

dalej

26. 
    
    , czyli
    

dalej

27. 
    , czyli
    

moglibyśmy już zapisać rozwiązanie, lecz doprowadźmy rzecz do końca, matematyka to porządek

28. 
    , czyli
    ;

zapisujemy rozwiązanie z parametrem własnym γ

29. 
    ;

a teraz z parametrem zewnętrznym τ :

30. 
    .

Sprawdźmy jeszcze szybciutko, czy jednorodny układ równań liniowych (24) został dobrze rozwiązany:

pierwsze równanie układu (24)

31. 
    ; OK.

drugie równanie układu (24)

32. 
    ; OK.

trzecie równanie układu (24)

33. 
    ; OK.

Tak więc wektor zerowy można przedstawić, jako kombinację liniową podanych wektorów
z użyciem parametru τ :

34. 
    .

Widać zatem, że wektor zerowy daje się przedstawić na nieskończenie wiele sposobów jako kombinacja wektorów
, a zatem wektory te są zależne, więc nie stanowią bazy przestrzeni
.

Komentarz. Studenta nie trzeba specjalnie przekonywać, która metoda jest lepsza w wypadku tak małej ilości wektorów: z użyciem wyznaczników, czy też za pomocą rozwiązywania układów jednorodnych, zresztą niech student zadecyduje sam.

Polecenie d)
,
,
,
w przestrzeni
.

Posłużymy się metodą wyznaczników:

35. 
    , czyli
    ;

mamy tu do czynienia z tzw. macierzą blokową, wyznacznik ten obliczamy bardzo prosto:

36. 
    ;

stąd

37. 
    

Układ
stanowi bazę w przestrzeni
; jeśli ktoś ma cierpliwość, niech liczy za pomocą jednorodnego układu równań liniowych.

Podamy jeszcze dwa przykłady przedstawienia dowolnych wektorów, jako kombinacji liniowych bazy
:

38. 
    , czyli
    ;

39. 
    , czyli
    .

Polecenie e)
,
,
w przestrzeni wielomianów stopnia ≤ 2.

Każdy wielomian
należący do przestrzeni wielomianów stopnia ≤ 2 można przedstawić, jako wektor

40. 
    ;

przestrzeń ta ma wymiar równy trzy. Przedstawiamy podane wektory - wielomiany w tej konwencji:

41. 
    ,
    ,
    ,

ze współrzędnych tych wektorów budujemy wyznacznik:

42. 
    ,

podany układ wielomianów jest niezależny, a więc jest bazą przestrzeni wielomianów stopnia ≤ 2; oto dwa przykłady:

43. 
    , czyli
    ;

inaczej

44. 
    , czyli
    ;

45. 
    , czyli
    ;

inaczej

46. 
    , czyli
    .

Zadanie 7. Podać przykładowe bazy dla każdej podprzestrzeni opisanej w zadaniu 2 listy nr 1 i określić wymiary tych podprzestrzeni.

Polecenie a)

;
oznacza to, że wymiar podprzestrzeni wynosi 2.

Polecenie b)

;
.

Polecenie c)

;
.

Polecenie d)

;
.

Polecenie e)

;
.

Koniec listy drugiej i odcinka.

Wektory wiersze utożsamiamy z wektorami kolumnami, nie wprowadzamy oznaczeń transpozycji wektorów, by nie zaciemniać wywodu.

Nie może być tak, że jedna baza danej przestrzeni ma 5, a inna 6 elementów; jakiekolwiek weźmiemy dwie bazy danej przestrzeni, to będą one składać się z takiej samej ilości wektorów.

Jednoznaczność przedstawienia zapewnia założenie o liniowej niezależności elementów bazy.

Oczywiście można tego dokonać na nieskończenie wiele sposobów.

Student z łatwością to sprawdzi; wystarczy policzyć wyznacznik, który wynosi jeden, lub rozwiązać banalny jednorodny układ równań liniowych.

1

3 · I + II

2 · I + III

OK

: 10

: 2

(-1) · II + III

(-2) · II + I

OK

OK

OK

· (-1)

---