Dziś omówimy ekstrema funkcji wielu zmiennych. Na początek sama definicja EKSTREMUM. Niech U będzie otwartym podzbiorem
, oraz dana jest funkcja
. Mówimy, że funkcja f ma w punkcie
maksimum (minimum) lokalne właściwe, gdy

dla maksimum, oraz
dla minimum. Uwaga ! Maksima i minima funkcji nazywamy krótko ekstremami (lokalnymi) funkcji.

Powyższy rysunek przedstawia warunek konieczny ekstremum. Terminem maksimum globalne na zbiorze U nazywamy największą wartość funkcji na tym zbiorze (o ile istnieje). W przypadku minimum globalnego - najmniejszą wartośc funkcji na tym zbiorze. Rozpatrzmy taki przykład i narysujmy wykres do niego. Mamy dane
Niech
. Należy wyznaczyć na wykresie punkt, w którym istnieje minimum globalne i lokalne. A oto rysunek z rozwiązaniem. Wykres przedstawiał będzie paraboloidę obrotową, gdzie minimum lokalne i globalne będzie w punkcie (0,0):

Rozpatrzmy teraz takie twierdzenie, które wyznacza warunek konieczny istnienia funkcji wielu zmiennych. Jeżeli funkcja
jest różniczkowalna w U i ma w punkcie
ekstremum lokalne, to wszystkie pochodne tej funkcji
. I rozpatrzmy kolejny przykład. Mamy dane
Niech
. Wówczas wykres będzie miał postać następującą:

Ten czerwony punkcik w środku to jest tak zwany punkt siodłowy. To w geometrii analitycznej punkt na krzywej, powierzchni lub ogólnie hiperpowierzchni, o tej właściwości, że w dowolnym jego otoczeniu znajdują się punkty leżące po obydwu stronach stycznej (prostej stycznej, płaszczyzny lub hiperpłaszczyzny) w tym punkcie. Dla przypadku jednowymiarowego pojęcie to sprowadza się do punktu przegięcia. Zwykle jednak o punkcie siodłowym mówi się dla dwuwymiarowych powierzchni. Nazwa pochodzi od kształtu siodła które jest prostą ilustracją powierzchni z punktami siodłowymi. Pojęcie używane jest także w analizie matematycznej, najczęściej w odniesieniu do funkcji dwóch argumentów. Punktem siodłowym takiej funkcji jest punkt siodłowy jej wykresu. Widzimy, że dla tego przypadku taki punkt charakteryzuje się tym, że jest najwyższym z minimów wierszy i najniższym z maksimów kolumn.

Punkty, w których funkcja spełnia warunek konieczny istnienia ekstremum nazywamy punktami stacjonarnymi. I rozwiążmy taki przykład rachunkowy. Należy wyznaczyć punkty stacjonarne funkcji
. Aby wyznaczyć te punkty, należy wyznaczyć następujące pochodne cząstkowe:

i jest to punkt stacjonarny.

Jeśli takiego punktu by nie było oznaczałoby to wówczas, że nie ma ekstremum. I teraz będziemy zmierzać w kierunku warunku dostatecznego. Niech funkcja
będzie klasy
, czyli
i punkt
niech będzie punktem stacjonarnym tej funkcji. Jeżeli macierz drugich pochodnych (hesjan) w tej postaci:

jest:

1. Dodatnio określona, to f ma w punkcie
   minimum lokalne.

2. Ujemnie określona, to f ma w punkcie
   maksimum lokalne.

3. Nieokreślona, to f ma w punkcie
   punkt siodłowy.

Istnieje jednak pewna uwaga. W przypadku, gdy hesjan jest macierzą nieujemnie względnie niedodatnio określoną, twierdzenie nie roztrzyga istnienia punktu ekstremalnego. Rozpatrzmy taki przykład. Dla funkcji z poprzedniego przykładu należy sprawdzić, czy punkt stacjonarny P realizuje ekstremum funkcji. I tak najpierw liczymy pochodne:

Nastepnie liczymy hesjan:
. Stąd:
.

Hesjan jest dodatniowartościowy, a zatem mamy minimum lokalne.

Rozpatrzmy teraz kolejny przykład. Mamy daną funkcję dla której należy wyznaczyć ekstrema:
. I na sam początek sprawdzamy warunek konieczny licząc pochodne:

Stąd rozwiązuję równanie:

I to podstawiam do równania z pierwszej pochodnej. Stąd mam:

Mamy więc trzy wartości x, a wartości y to będą wartości x z przeciwnym znakiem. Stąd wychodzą nam punkty stacjonarne:
.

Teraz czas sprawdzić warunek dostateczny. I tak licze dalej pochodne:

i z twierdzenia Schwartza:
.

Stąd dalej mam hesjan:
.

Teraz biorę po kolei te trzy punkty stacjonarne i obliczam:

1. P(0) = (0,0)

,

2. P(
   )

H(
) =
,

3. P(
   )

H(
) =
,

A więc macierz dodatnio określona. Stąd mamy minimum lokalne dla punktu b i c. W przypadku punktu a twierdzenie nie roztrzyga tego problemu.

---