1. System algebraiczny

Definicja: System algebraiczny (struktura algebraiczna) to zbiór z pewną liczbą działań. Działanie w zbiorze X jest wykonywalne, gdy wynik działania jest elementem zbioru. W zbiorze liczb wymiernych Q wykonywalne są wszystkie 4 działania (z wyjątkiem dzielenia przez 0).

Definicja ciała liczbowego: Zbiór liczb zawierający więcej niż 1 liczbę i taki, że wykonalne są wszystkie 4 działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 nazywamy ciałem liczbowym.

Q (quotient) - zbiór liczb wymiernych jest ciałem

R (real) - zbiór liczb rzeczywistych jest ciałem

Zbiór wszystkich liczb w postaci
,
jest ciałem liczbowym (ogólnie
).

Twierdzenie. Niech D będzie wymierne dodatnie, nie będące kwadratem liczby wymiernej. Zbiór liczb w postaci
,
jest ciałem liczbowym.

Twierdzenie. Każde ciało liczbowe zawiera ciało Q (
).

Definicja. Działaniem (dwuargumentowym, binarnym) w zbiorze K nazywamy funkcję:

Definicja ciała abstrakcyjnego: Niech dany będzie zbiór K, w którym określone są dwa działania
i
nazywane dodawaniem i mnożeniem. Jeżeli te działania mają własności:

1)

2)

3)
element neutralny

4)
element odwrotny

5)

6)

7)
element neutralny

8)
element odwrotny

9)

to system
nazywamy ciałem.

Przykład ciała: Niech Z_p={0,1,2,... , p-1}, p jest liczbą pierwszą w zbiorze Z_p

Określamy działania:

reszta z dzielenia sumy a+b przez p

reszta z dzielenia iloczynu ab przez p

Na przykład:

Twierdzenie: System złożony z
jest ciałem.

Tabelki działań:

1. Z₂={0,1}

	0	1			0	1
0	0	1		0	0	0
1	1	0		1	0	1

2. Z₃={0,1,2}

	0	1	2			0	1	2
0	0	1	2		0	0	0	0
1	1	2	0		1	0	1	2
2	2	0	1		2	0	2	1

3. gdy p nie jest liczbą pierwszą np. Z₄

	0	1	2	3
0	0	0	0	0
1	0	1	2	3
2	0	2	0	2
3	0	3	2	1

Nie istnieje element odwrotny do 2, zatem system (Z₄ ,
,
) nie jest ciałem.

2. Liczby zespolone

Rozpatrujemy zbiór


Określamy działania:
oraz
.

Twierdzenie: System (C, +, *) jest ciałem.

Element neutralny dodawania to (0,0).

Element przeciwny do (a,b) to (-a,-b).

Element neutralny mnożenia to (1,0).

Aby wykazać, że każdy element
ma element odwrotny najlepiej rozwiązać równość:



, stąd


Jeżeli liczby R utożsamimy z elementami ciała C postaci (x,0), to:

(x,0)+(y,0)=(x+y,0)

(x,0)*(y,0)=(xy-0*0,x*0+0*y)=(x*y,0),

a więc ciało R można utożsamić z podzbiorem ciała C.

Rozwiązaniem równania z²=-1, czyli (x,y)²=(-1,0) jest np. para (0,1) czy (0,-1):

(0,1)*(0,1)=(0*0-1,0+0)=(-1,0)

Oznaczamy: (0,0)=0; (1,0)=1; (0,1)=i (jednostka urojona), oraz (x,y)=(x,0)+(0,y)=x+yi.

Liczby w postaci (x,y)=x+yi nazywamy liczbami zespolonymi, a ciało C ciałem liczb zespolonych (C - complex).

Własności liczb zespolonych:

z=a+bi, gdzie a - część rzeczywista (Real) [a=Re z], b - część urojona (Imagine) [b=Im z]

Mnożenie:

(2+3i)*(-4+2i)= -8+4i-12i+6i²= -8-6-8i= -14-8i

Dzielenie (mnożymy prze liczbę sprzężoną):




Definicja: Liczbę
nazywamy liczbą sprzężoną do liczby
, np.
,
.

Interpretacja geometryczna liczb zespolonych

Liczbę z=x+yi można interpretować jako punkt (x,y) na płaszczyźnie lub wektor [x,y].

Liczbę
nazywamy wartością bezwzględną albo modułem liczby z, np.
.

Zbiór liczb zespolonych
i r>0 jest okręgiem o promieniu r.


Miarę kąta
nazywamy argumentem liczby z





argument główny

Oznaczenia:
,





Postać trygonometryczna liczby z:




np. :





Inne przekształcenia:







Jeżeli
, to:


Podnoszenie liczb zespolonych do potęgi n:

Wzór de Moiver'a:


, również dla ujemnych wartości n.




---