Rozkład Poissona momenty na podstawie funkcji generującej momenty:
Ä…1 = E X = 
( )
µ2 = D2 X = 
( )
1
-
2
As x = 
( )
Ekces = -1
Funkcja generujÄ…ca momenty.
Ć t = exp  et -1
( )
( ( )
)
Moment zwykły 1 rzędu:
îÅ‚exp
Ć ' t =  et -1 ' = exp  et -1 Å"et Å"
( ) ( )
( )Å‚Å‚ ( ( ) )
ðÅ‚ ûÅ‚
Ä…1 = Ć ' 0 = exp  e0 -1 Å"e0 Å" = exp  Å"0Å"1 Å" = 
( ) ( )
( ( ) )
Moment zwykły 2 rzędu:
Ć '' t = exp  Å" et -1 Å"et Å" Å" Å"et + exp  Å" et -1 Å"et Å" =
( )
( ( ) ) ( ( ) )
=  Å"  Å"et +1 Å"exp  Å" et -1 Å"et
( ) ( ( ) )
2
îÅ‚ Å‚Å‚
Ć '' 0 =  Å"  Å"e0 +1 Å"exp  Å" e0 -1 Å"e0 = +  Å"exp  Å"0Å"1 = 2 + 
( ) ( )
( ) ( ( ) )
ðÅ‚ ûÅ‚
2
µ2 = Ä…2 -Ä…1 = 2 +  - 2 = 
( )
Moment zwykły 3 rzędu:
2
Ć ''' t = 2 Å"exp  Å" et -1 + 2t +  Å"  Å"et +1 Å"exp  Å" et -1 + t
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
Ć ''' 0 = 2 Å"exp  Å" e0 -1 + 2Å"0 +  Å"  Å"e0 +1 Å"exp  Å" e0 -1 + 0 =
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
= 2 Å"exp  Å"0 + 0 +   +1 Å"exp  Å"0 + 0 = 2 +  2 + 2 +1 = 2 + 3 + 22 +  =
( ) ( ) ( )
( )
= 3 + 32 + 
3
µ3 = Ä…3 - 3Å"Ä…1 Å"Ä…2 + 2Å"Ä…1 = 3 + 32 +  - 3Å" Å" 2 +  + 2Å"3 =
( ) ( )
= 3 + 32 +  - 33 - 32 + 23 = 
3 1
1- -
µ3 
2 2
As x = = =  = 
( )
3 3
µ2 
( ) ( )
Wynik obliczeń zgadza się z prawdą matematyczną.
Moment zwykły 4 rzędu:
Ä…4 = Ć(4) t = 2  Å"et + 2 Å"exp  et -1 + 2Å"t + 22  Å"et +1 Å"exp  et -1 + 2t +
( )
( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) )
3
+ Å" et +1 exp  et -1 + t
( ) ( )
( )
Ć(4) 0 = 2  Å"e0 + 2 Å"exp  e0 -1 + 2Å"0 + 22  Å"e0 +1 Å"exp  e0 -1 + 2Å"0 +
( )
( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) )
3
+ Å" e0 +1 exp  e0 -1 + 0 =
( ) ( )
( )
= 2  + 2 Å"exp  Å"0 + 22  +1 Å"exp  Å"0 +  3 + 32 + 3 +13 Å"exp  Å"0 =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
= 3 + 22 + 23 + 22 + 4 + 33 + 32 +  = 4 + 63 + 72 + 
Obliczenie momentu centralnego za pomocą momentów zwykłych:
2 4
µ4 = Ä…4 - 4Ä…3Ä…1 + 6Ä…2Ä…1 - 3Ä…1 = 4 + 63 + 72 +  - 4 Å" 3 + 32 +  + 62 Å" 2 +  - 3Å"4 =
( ) ( ) ( )
= 4 + 63 + 72 +  - 44 -123 - 42 + 64 + 63 - 34 = 32 + 
µ4 32 +  32 + 
Ekces = - 3 = - 3 = - 3 = 3 + -1 - 3 = -1
4 4
2
µ2 
( ) ( )
Wynik zgodny z prawdÄ… matematycznÄ….