4.9. B-funkcje sklejane

Jedna z bardzo użytecznych w wielu zastosowaniach możliwości przedstawienia
wielomianowych funkcji sklejanych w innych, równoważnych postaciach polega na
wykorzystaniu funkcji o ograniczonych nośnikach, tzn. funkcji określonych na
całej osi rzeczywistej, ale różnych od zera, tylko na pewnym skończonym
odcinku. Funkcje te mają kształt dzwonów (ang. bell) i stąd ich nazwa:
B-funkcje sklejane; w dalszym ciągu nazywać je też będziemy krótko
B-funkcjami.
Znormalizowane B-funkcje sklejane stopnia m oparte na węzłach:

(4.111)

można określić zależnościami rekurencyjnymi [20, 21]:

(4.112)

Z definicji tej oraz wzoru na pochodnÄ… funkcji



wynika, że funkcje są na siatce węzłów (4.111) wielomianowymi funkcjami
sklejanymi stopnia m z defektem 1 o następujących własnościach [20, 21]:



Funkcje dla są liniowo niezależne. Mogą one więc stano-wić bazę przestrzeni
wielomianowych funkcji sklejanych stopnia m z defektem 1 po uzupełnieniu siatki
(4.60) dodatkowymi punktami:

(4.113)
Zatem każdą wielomianową funkcję sklejaną z defektem 1 można zapisać w
jedno-znaczny sposób w postaci

(4.114)

przy czym jest



Ze wzorów (4.112) wyznaczymy najpierw równanie funkcji

(4.115)





Rys. 4.18

Układ "kawałkami liniowych" funkcji dla nazywanych niekiedy funkcjami
"daszkowymi" ze względu na ich kształt (rys. 4.18), stanowi bazę w przestrzeni
wielomianowych funkcji sklejanych pierwszego stopnia.

Równanie B-funkcji sklejanej trzeciego stopnia



otrzymujemy kolejno podstawiajÄ…c:



Jest ono następujące:

(4.116)

gdzie:



W zastosowaniach praktycznych najczęściej przyjmujemy stały odstęp między
węzłami: W tym przypadku wygodnie jest wyznaczyć najpierw funkcję dla punktu
środkowego

(4.117)

wykres tej funkcji został przedstawiony na rysunku 4.19.




Rys. 4.19

Dla skrócenia zapisu oznaczenie zastąpimy oznaczeniem . Kolejne funkcje
definiujemy przy wykorzystaniu funkcji (4.117)

(4.118)

i następnie określamy bazę w przestrzeni wielomianowych funkcji sklejanych
trzeciego stopnia:

(4.119)

Przedstawienie (4.97) dla funkcji sklejanej trzeciego stopnia przybiera zatem
postać

(4.120)

w którym w każdym podprzedziale nie znikają tylko cztery
składniki sumy

(4.121)

co wynika z własności B-funkcji (rys. 4.20).




Rys. 4.20

Ze wzorów (4.121) i (4.1017 łatwo obliczamy:

(4.122)

Pełne określenie interpolacyjnej funkcji sklejanej trzeciego stopnia zapisanej
w postaci (4.103) wymaga wyznaczenia współczynników Z warunków interpolacji

(4.123)
mamy równaÅ„, dwa dodatkowe równania doÅ‚Ä…czamy, podobnie jak np. (4.80) ¸
(4.84), albo z warunków okresowości, albo z zadanych warunków brzegowych.
Po obliczeniu wielkości wzory określające współczynniki wyprowadzamy z układu
równań:



są one następujące:

(4.124)

Wynika stąd, że współczynniki mogą być określone w prosty sposób, z
dokładnością wystarczającą w wielu zastosowaniach praktycznych (np.
przybliżanie linii), za pomocą samych wartości funkcji w węzłach siatki.
W grafice komputerowej do opisu krzywych i powierzchni oprócz wielomianowych
B-funkcji sklejanych stosowane są też wymierne B-funkcje sklejane (tzw. krzywe
NURBS: Non - Uniform Rational B-Splines) zdefiniowane w następujący sposób
[22]:

(4.125)

gdzie liczby rzeczywiste dodatnie sÄ… wagami.
Wymierne B-funkcje sklejane (4.125) sÄ… rozszerzeniem rodziny wielomianowych
krzywych B-sklejanych; dla wszystkich redukujÄ… siÄ™ one do klasycznych krzywych
B-sklejanych. Analogicznie do wielomianowego przedstawienia tych krzywych,
wymierne B-funkcje sklejane są funkcjami "kawałkami wymiernymi" np.