Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 28
28. Interferencja
28.1 Doświadczenie Younga
Na wykładzie dotyczącym fal w ośrodkach sprężystych omawiane było nakładanie
siÄ™ fal. Wykazanie, przez Thomasa Younga (w 1801 r.) istnienia takiej interferencji dla
światła było pierwszym eksperymentem wskazującym na falowy charakter światła.
Young oświetlił światłem słonecznym ekran, w którym był zrobiony mały otwór S0.
Przechodzące światło padało następnie na drugi ekran z dwoma otworami S1 i S2 i roz-
chodzą się dalej dwie, nakładające się fale kuliste tak jak na rysunku. Warunki stoso-
walności optyki geometrycznej nie są spełnione i na szczelinach następuje ugięcie fal.
Mamy do czynienia z optyką falową. Jeżeli umieścimy ekran w jakimkolwiek miejscu,
tak aby przecinał on nakładające się na siebie fale to możemy oczekiwać pojawienia się
na nim ciemnych i jasnych plam następujących po sobie kolejno.
S1
S0
S2
Przeanalizujmy teraz doświadczenie Younga ilościowo.
Zakładamy, że światło padające zawiera tylko jedną długość fali (jest monochroma-
tyczne). Na rysunku poniżej punkt P jest dowolnym punktem na ekranie, odległym o r1
i r2 od wÄ…skich szczelin S1 i S2.
Linia S2b została poprowadzona tak, aby PS2 = Pb. Trzeba zwrócić uwagę, że stosunek
d/D przedstawiony na rysunku jest dla większej jasności przesadnie duży. Naprawdę
d << D i wtedy kÄ…t S1S2b jest równy ¸ z dużą dokÅ‚adnoÅ›ciÄ….
28-1
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
P
r2
r1
y
¸
S2
O
d
S1 b ¸
D
Oba promienie wychodzące ze szczelin S1 i S2 są zgodne w fazie, gdyż pochodzą z tego
samego czoła fali płaskiej. Jednak drogi, po których docierają do punktu P są różne
więc i ich fazy mogą być różne. Odcinki Pb i PS2 są identyczne (tak to skonstruowali-
śmy) więc o różnicy faz decyduje różnica dróg optycznych tj. odcinek S1b. Aby w
punkcie P było maksimum to odcinek S1b musi zawierać całkowitą liczbę długości fal.
Jest tak dlatego, że po przebyciu odcinka równego  faza fali powtarza się więc dla dro-
gi m fala ma fazę taką jak na początku tej drogi; odcinek S1b nie wpływa na różnicę
faz a ponieważ fale były zgodne w z
ródle (szczeliny S1 i S2) więc będą zgodne w fazie
w punkcie P. Warunek ten możemy zapisać w postaci
S1b = m, m = 0, 1, 2, ......,
lub
dsin¸ = m, m = 0, 1, 2, ......, (maksima) (28.1)
Zauważmy, że każdemu maksimum powyżej punktu O odpowiada położone symetrycz-
nie maksimum poniżej punktu O. Istnieje też centralne maksimum opisywane przez
m = 0.
Dla uzyskania minimum w punkcie P, odcinek S1b musi zawierać połówkową liczbę
długości fal, to jest:
S1b = (m+1/2) , m = 0,1,2,....,
Lub
dsin¸ = (m+1/2) , m = 0, 1, 2, ......, (minima)
inaczej
dsin¸ = (2m+1)/2, m = 0, 1, 2, ......, (minima) (28.2)
Przykład 1
28-2
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Dwie szczeliny odległe od siebie o 1 mm oświetlono światłem zielonym (linia zielona
lampy rtęciowej) o długości  = 546 nm. Jaka jest odległość między sąsiednimi prąż-
kami interferencyjnymi obserwowanymi na ekranie umieszczonym w odległości 1 m od
szczelin?
Najpierw sprawdz
my położenie kątowe np. pierwszego maksimum.
Dla m = 1 otrzymujemy: dsin¸ = 
skÄ…d
sin¸ = /d = (546·10-9 m)/(10-3 m) = 0.000546
co daje
¸ E" 0.03°
Dla tak małych kątów dobrym jest przybliżenie
sin¸ E" tg¸ E" ¸
Z rysunku widać, że tg¸ = y/D. PodstawiajÄ…c to wyrażenie zamiast sin¸ w równaniu na
maksimum interferencyjne otrzymujemy dla m-tego prążka
D
ym = m
d
a dla następnego
D
ym+1 = (m +1)
d
Odległość między nimi wynosi więc
D (546 Å"10-9 m)(1m)
"y = ym+1 - ym = = = 0.546mm
d 10-3 m
Uwaga: Jeżeli ¸ jest maÅ‚e to odlegÅ‚ość miÄ™dzy prążkami nie zależy od m, czyli prążki sÄ…
rozmieszczone równomiernie. Jeżeli mamy więcej niż jedną  to powstaną oddzielne
układy prążków (dla każdej z długości fal) o różnym odstępie między prążkami.
Równanie opisujące położenie kątowe maksimów może posłużyć do wyznaczenia dłu-
gości fali
d sin¸
 =
m
Z tej relacji T. Young wyznaczył długości fal światła widzialnego.
28-3
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
28.2 Koherencja
Podstawowym warunkiem powstania dobrze określonego obrazu interferencyjnego
jest, aby fale świetlne które przybywają z punktów S1 i S2 miały dokładnie określoną
różnicÄ™ faz Õ staÅ‚Ä… w czasie. (Przypomnienie: faza jako okreÅ›lony stan fali w danym
miejscu i czasie, patrz równanie opisujÄ…ce falÄ™ E = Emsin(kx-Ét)). Np. jest miejsce na
ekranie, dla którego różnica faz wynosi Ą co oznacza fizycznie, że fale docierające tam
wygaszają się (przy założeniu tej samej amplitudy); mamy ciemny prążek. I tak jest
zawsze o ile różnica faz się nie zmieni. Gdyby taka zmiana nastąpiła to w tym miejscu
natężenie światła nie będzie już równe zeru. Warunkiem stabilności obrazu jest więc
stałość w czasie różnicy faz fal wychodzących ze z
ródeł S1 i S2. Mówimy, że te z
ródła
są koherentne czyli spójne.
Jeżeli szczeliny S1 i S2 zastąpimy przez dwa niezależne z
ródła fal (np. żarówki) to nie
otrzymamy prążków interferencyjnych, ekran będzie oświetlony prawie równomiernie.
Interpretujemy to w ten sposób, że różnica faz dla fal pochodzących z niezależnych z
ró-
deł zmienia się w czasie w sposób nieuporządkowany.
W krótkim czasie są spełnione warunki dla maksimum, a za chwile (b. krótką np. 10-8 s)
dla minimum, a jeszcze za chwilę warunki pośrednie. I tak dla każdego punktu na ekra-
nie. Natężenie (w danym punkcie) jest więc sumą natężeń od poszczególnych z
ródeł.
Mówimy, że te z
ródła są niespójne, niekoherentne.
Podsumujmy więc podstawową różnicę w opisie, podyktowaną oczywiście przez fakty
doświadczalne:
" dla fal spójnych najpierw dodajemy amplitudy (uwzględniając stała różnicę faz),
a potem celem obliczenia natężenia podnosimy otrzymaną amplitudę wypadkową
do kwadratu (przypomnienie dla ruchu harmonicznego: Energia <" A2).
" dla fal niespójnych najpierw podnosimy do kwadratu amplitudy, żeby otrzymać na-
tężenia poszczególnych fal a potem dopiero sumujemy te natężenia.
Pozostaje jedynie pytanie jak wytworzyć światło spójne. Na tym etapie zapamiętajmy
tylko, że zwykłe z
ródła światła takie jak żarówki (żarzące się włókno) dają światło nie-
spójne dlatego, że emitujące atomy działają zupełnie niezależnie. Natomiast współcze-
śnie szeroko stosowanymi z
ródłami światła spójnego są lasery.
Szczegóły dotyczące emisji światła przez lasery jak i zasadę działania lasera poznamy
na dalszych wykładach.
28.3 Natężenie w doświadczeniu Younga
Załóżmy, że składowe pola elektrycznego obu fal w punkcie P zmieniają się następują-
co
E1 = E0 sinÉt
E2 = E0 sin(Ét+Õ)
gdzie É = 2Ä„v jest czÄ™stoÅ›ciÄ… koÅ‚owÄ… fal, a Õ różnicÄ… faz miÄ™dzy nimi.
" Õ zależy od poÅ‚ożenia punktu P a tym samym od kÄ…ta ¸
" załóżmy natomiast, że E0 nie zależy od ¸ (szczeliny sÄ… dostatecznie wÄ…skie, tak że
światło ugięte na każdej ze szczelin oświetla środkową część ekranu równomiernie)
28-4
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wynika stąd, że wypadkowe pole elektryczne w punkcie P jest równe
E = E1 + E2
Uwaga: Mówimy o polu E, a nie polu B (fali EM) ponieważ działanie tego drugiego na
detektory światła (w tym oko ludzkie) jest znikome. Równanie powyższe powinno być
wektorowe ale w tych przypadkach wektory E są do siebie równoległe więc wystarczy
równanie algebraiczne.
Podstawiając równania dla obu fal obliczamy pole wypadkowe
E = E0sin(Ét+Õ) + E0 sinÉt = 2E0cos(Õ/2) sin(Ét+Õ/2)
Lub
E = E¸sin(Ét+²)
gdzie ² = Õ/2 oraz E¸ = 2E0cos²
Teraz chcemy obliczyć natężenie fali wypadkowej
I¸ <" E¸2
Obliczmy stosunek natężeń dwu fal: fali wypadkowej i fali pojedynczej
2
ëÅ‚ öÅ‚
I¸ E¸
ìÅ‚ ÷Å‚
=
I0 ìÅ‚ E0 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
czyli
I¸ = 4I0 cos2 ² = Im cos2 ² (28.3)
Natężenie zmienia siÄ™ od zera (dla punktów, w których Õ = 2² = Ä„) do maksymalnego
(dla punktów, w których Õ = 2² = 0).
Różnica faz wiąże się z różnicą dróg S1b poprzez prostą relację
różnica faz/2Ą = różnica dróg/ (28.4)
czyli
Õ d sin¸
=
2Ä„ 
StÄ…d
2Ä„
Õ = (d sin¸ )

lub
Ä„d
² = sin¸

Poprzez to równanie mamy zależność natężenia od kÄ…ta ¸.
Narysujmy teraz rozkład natężeń dla interferencji przy dwóch szczelinach (rysunek po-
niżej) porównując z wynikiem dla pojedynczego z
ródła jak i dla z
ródeł niespójnych.
28-5
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
4I0 z
ródła
spójne
2I0 z
ródła
niespójne
I0 jedno
z
ródło
2/d /d 0 /d 2/d
sin¸
Aby wyliczyć wypadkowe natężenie światła w doświadczeniu Younga dodawaliśmy
dwa zaburzenia falowe postaci E1 = E0sinÉt, E2 = E0sin(Ét+Õ), które miaÅ‚y tÄ™ samÄ…
czÄ™stość i amplitudÄ™, a różniÅ‚y siÄ™ fazÄ… Õ. Wynik uzyskany zostaÅ‚ algebraicznie na
podstawie prostych wzorów trygonometrycznych. Jednak metody analityczne stają się
znacznie trudniejsze gdy dodajemy więcej zaburzeń falowych (funkcji typu sin, cos)
i dlatego wprowadzimy (głównie z myślą o następnych wykładach) prostą metodę gra-
ficznÄ….
Sinusoidalne zaburzenie falowe może być przedstawione graficznie jako obracający się
wektor, którego długość reprezentuje amplitudę. Taki wektor będziemy nazywać strzał-
kÄ… fazowÄ… (wskazem). Zmienne zaburzenie falowe E1 w chwili t przedstawione jest
przez rzut tej  strzaÅ‚ki na oÅ› pionowÄ… (odpowiada to pomnożeniu E0 przez sinÉt).
Drugie zaburzenie falowe E2, o tej samej amplitudzie E0, różni siÄ™ od E1 fazÄ… Õ. Znajdu-
jemy je podobnie jako rzut  strzałki na oś pionową. Teraz wystarczy dodać E1 i E2 że-
by otrzymać wypadkowe zaburzenie.
E0
E2
E0
E0
E1 Õ
E1
Ét
Ét
Widać to jeszcze lepiej gdy umieści się początek jednej strzałki na końcu poprzedniej
zachowując różnicę faz (rysunek poniżej).
28-6
nat
ęż
enie
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
E0
E¸
E2
Õ
E0
E1
Ét
Przykład 2
Znajdz
my wypadkowÄ… nastÄ™pujÄ…cych zaburzeÅ„ falowych: E1 = 2sinÉt,
E2 = 2sin(Ét+30°), E3 = 2sin(Ét+60°), E4 = 2sin(Ét+90°).
Jeżeli przyjmiemy np., że Ét = 15° to EM = 6.7, E = 5.8 (rysunek poniżej).
E0
Õ
E0
EM
E
Õ
E0
E0 Õ
Ét
Na kolejnym rysunku pokazane są strzałki fazowe dla interferencji Younga (w chwili
t = 0).
²
E¸
² E0
Õ
E0
E¸ = 2E0cos² = EMcos²
Suma kÄ…tów w trójkÄ…cie wynosi 180° stÄ…d wynika, że: 2² = Õ (taki sam wynik jaki
otrzymaliśmy algebraicznie).
28-7
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Maksimum amplitudy otrzymamy jak widać dla Õ = 0 (wektory równolegÅ‚e), a mini-
mum dla Õ = Ä„ (wektory antyrównolegÅ‚e).
28.4 Interferencja w cienkich błonkach
Barwy cienkich błonek, baniek mydlanych, plam np. oleju na wodzie są wynikiem
interferencji. Na rysunku pokazana jest warstwa o grubości d i współczynniku załama-
nia n.
oko
S
powietrze
a
warstwa
n
d
powietrze
Warstwa jest oświetlona przez rozciągłe z
ródło światła monochromatycznego. W z
ródle
istnieje taki punkt S, że dwa promienie wychodzące z tego punktu mogą dotrzeć do oka
po przejściu przez punkt a. Promienie te przebiegają różne drogi gdyż jeden odbija się
od górnej, a drugi od dolnej powierzchni błonki. To czy punkt a będzie jasny czy ciem-
ny zależy od wyniku interferencji fal w punkcie a. Fale te są spójne, bo pochodzą z tego
samego punktu z
ródła światła. Jeżeli światło pada prawie prostopadle to geometryczna
różnica dróg pomiędzy obu promieniami wynosi prawie 2d. Można więc oczekiwać, że
maksimum interferencyjne (punkt a jasny) wystąpi gdy odległość 2d będzie całkowitą
wielokrotnością długości fali. Okazuje się, że tak nie jest z dwu powodów
" długość fali odnosi się do długości fali w błonce n a nie do jej długości w powietrzu
. Oznacza to, że musimy rozważać drogi optyczne, a nie geometryczne (patrz wy-
kład 26 - zasada Fermata). Przypomnijmy, że prędkość fali jest związana z częstotli-
wością (barwą) i długością fali
v = v
oraz, że przy przejściu do innego ośrodka zmienia się prędkość i długość fali, a czę-
stotliwość pozostaje bez zmiany. Ponieważ przy przejściu z powietrza do materiału o
współczynniku załamania n prędkość maleje n razy
v = c/n
to długość fali też maleje n razy
n = /n
28-8
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
" okazuje się ponadto, że fala odbijając się od ośrodka optycznie gęstszego (większe n)
zmienia swoją fazę o Ą. Natomiast gdy odbicie zachodzi od powierzchni ośrodka
rzadszego optycznie fala odbija się bez zmiany fazy. Oznacza to, że promień odbity
od górnej powierzchni błonki zmienia fazę, a promień odbity od dolnej granicy nie.
Możemy teraz uwzględnić oba czynniki tj. różnice dróg optycznych oraz zmiany faz
przy odbiciu.
Dla dwóch promieni pokazanych na rysunku warunek na maksimum ma postać
2d = mn + n/2, m = 0, 1, 2, ....,
Czynnik n/2 opisuje zmianę fazy przy odbiciu (od górnej powierzchni) bo zmiana fazy
o 180° (Ä„) jest równoważna różnicy dróg równej poÅ‚owie dÅ‚ugoÅ›ci fali (różnica
faz/2Ą = różnica dróg/). Ponieważ n = /n otrzymujemy więc
1
ëÅ‚m öÅ‚
2dn = + , m = 0, 1, 2,..... (maksima)
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
Analogiczny warunek na minimum ma postać
2dn = m , m = 0, 1, 2,....(minimum)
Równania te są słuszne jeżeli współczynnik załamania błonki jest większy lub mniejszy
od współczynnika załamania ośrodków po obu stronach błonki.
Przykład 3
Błonka wodna (np. bańka mydlana, n = 1.33) znajdująca się w powietrzu ma grubość
320 nm. Jaki kolor ma światło odbite, gdy błonka jest oświetlona światłem białym pada-
jÄ…cym prostopadle?
Z warunku na maksimum obliczamy 
2dn 2 Å" 320nm Å"1.33 850nm
 = = =
1 1 1
m + m + m +
2 2 2
Obliczamy  dla kolejnych m:
m = 0,  = 1700 nm, poza zakresem widzialnym
m = 1,  = 567 nm, w zakresie widzialnym (żółtozielona)
m = 2,  = 340 nm, poza zakresem widzialnym
m = 3, 4, ...., poza zakresem widzialnym.
28-9