Mechanika Budowli (C16) Piotr Iwicki
Wykład nr 6.
Linie wpływu w układach statycznie niewyznaczalnych
Linią wpływu pewnej wielkości statycznej Z (reakcja, moment zginający, siła tnąca,
siła normalna) nazywamy wykres przedstawiający zależność pomiędzy wartością Z a
położeniem poruszającej się po układzie siły jednostkowej o określonym kierunku.
P=1
A
C D
B - ą
P=1
A
C D
B - ą
P=1
A
C D
B - ą
P=1
A
C D
B - ą
P=1
A
C D
B - ą
- 0 . 4
- 0 . 4
- 0 . 3
- 0 . 3
L i n i a w p ł y w u s i ł y t n ą c e j M a
L i n i a w p ł y w u s i ł y t n ą c e j M a
- 0 . 2
- 0 . 2
- 0 . 1
- 0 . 1
0 . 0 1 . 0 2 . 0 3 . 0 4 . 0 5 . 0 6 . 0 7 . 0 8 . 0 9 . 0 1 0 . 1 1 . 1 2 .
0 . 0 1 . 0 2 . 0 3 . 0 4 . 0 5 . 0 6 . 0 7 . 0 8 . 0 9 . 0 1 0 . 1 1 . 1 2 .
0 . 0
0 . 0
0 . 1
0 . 1
0 . 2
0 . 2
0 . 3
0 . 3
0 . 4
0 . 4
0 . 5
0 . 5
0 . 6
0 . 6
Linia wpływu momentu M ą
http://www.okno.pg.gda.pl wykład 6/1 [e-mail]
Mechanika Budowli (C16) Piotr Iwicki
Linie wpływu mają zastosowanie do ustalania najbardziej niekorzystnych dla
konstrukcji położeń obciążeń zmiennych takich jak na przykład obciążenie pojazdem,
obciążenie tłumem ludzi, obciążenie zmienne użytkowe. Projektant powinien tak
zaplanować ustawienie obciążenia zmiennego aby wynikające z niego siły i
przemieszczenia były maksymalne. Bez znajomości linii wpływu trudno jest to
określić.
V11
L21
C2
123456
23
23
34.
26.86. 94.34.
14.
66.74. 6. 66.74.14.
123
26.86.
14.74.66.6. 94.34. 3
86.26. 66.74.14.
34.94. 14.74.66.6. 6. 26.86. 6.
86.26.
34.94. 94.34.
66.74.14.
14.74.66.6. 26.86. 94.34.
86.26. 6.
34.94. 66.74.14.
14.74.66.6. 26.86. 94.34.
86.26. 6.
34.94. 66.74.14.
3
14.74.66.6. 26.86. 94.34.
86.26. 6.
34.94. 66.74.14.
14.74.66.6. 26.86. 6. 66.74.14.6.
86.26.
34.94. 94.34.
14.74.66.6. 26.86. 66.74.14.
86.26.
26.86.
34.94. 14.74.66.6. 94.34.
86.
12345626. 13
34.94. 14.74.66.
86.26.
34.
ZX
Y
Na przykład które położenie obciążenia samochodem jest najbardziej niekorzystne dla
wyznaczenia sił wewnętrznych w łuku, poprzecznicach i podłużnicach mostu?
Czasami problem ten można rozwiązać ustawiając obciążenie w wielu różnych
pozycjach i analizując wszystkie uzyskane wyniki. Jest to jednak podejście bardzo
pracochłonne i wydłuża czas obliczeń.
V11
L16 0.00728
C2
0.00395
0.000632
-0.00269
-0.00601
-0.00933
123456
-0.0127
-0.016
23
-0.0193
23
-0.0226
-0.0259
123
3
-0.0293
3
-0.0326
6.
94.34.
66.74.14.
26.86.
123456 13 -0.0359
14.74.66.
86.26. 94.
34.
6.
ZX -0.0392
Y -0.0426
Output Set: MSC/ NASTRAN Case 16
Deformed(0.0472): Total Translation
-0.0459
Contour: T3 Translation
http://www.okno.pg.gda.pl wykład 6/2 [e-mail]
Mechanika Budowli (C16) Piotr Iwicki
" Linie wpływu można wyznaczać wprost z definicji. W tym celu należy
wyrazić wielkości statyczne w funkcji położenia siły jednostkowej (x, x ).
P=1
A
CD
B - ą
L
" Drugi sposób wyznaczania linii wpływu sił wewnętrznych lub reakcji polega na
wykorzystaniu twierdzenia o wzajemności reakcji i przemieszczeń.
Z twierdzenia o wzajemności prac Betti-Maxwell a wiemy, że:
Pi I�ik II = Pk II�ki I
" "
zakładając, że w I układzie działa siła P a podpory nie ulegają przemieszczeniom, a w
II
drugim układzie mamy przemieszczenia a siły są równe zeru �ki I = 0 otrzymamy:
"P
k
I II
I II
P � - R " = 0
i ik k k
zakładając ponadto, że:
Pi I = 1,"II = 1
k
II
I
otrzymujemy twierdzenie Mullera Breslaua: R = �
k ik
I
P =1
i
Układ  I
I
R
k
Układ  II
- 0 . 2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2
0 . 0
L i n i a w p ł y w u r e a k c j i R A
0 . 2
0 . 4
II
0 . 6
" =1
k
II
0 . 8
-- �
1 . 0
ik
1 . 2
http://www.okno.pg.gda.pl wykład 6/3 [e-mail]
Mechanika Budowli (C16) Piotr Iwicki
Reakcja na podporze k od obciążenia jednostkowego w punkcje i jest
równa liczbowo przemieszczeniu punktu i (w kierunku tego obciążenia)
wywołanemu jednostkowym przemieszczeniem podpory k przeciwnie do
zwrotu reakcji. (zasada Mullera-Breslau a).
Twierdzenie to może służyć do kinematycznego wyznaczania linii
wpływu. Linia wpływu danej wielkości statycznej Z pokrywa się z linią
ugięcia części konstrukcji (po których porusza się siła jednostkowa)
wywołaną odpowiednim jednostkowym wymuszeniem kinematycznym
skierowanym przeciwnie do wielkości Z.
Wymuszenia kinematyczne nałożone na konstrukcję zależą od tego jakiej
linii wpływu szukamy.
" Wyznaczanie linii wpływu momentu zginającego:
W celu wyznaczenia linii wpływu momentu zginającego wprowadzamy
jednostkowe wymuszenie kinematyczne na kącie obrotu przekrojów.
M
M
- 0 . 4
- 0 . 3
L i n i a w p ł y w u s i ł y t n ą c e j M a
- 0 . 2
- 0 . 1
0 . 0 1 . 0 2 . 0 3 . 0 4 . 0 5 . 0 6 . 0 7 . 0 8 . 0 9 . 0 1 0 . 1 1 . 1 2 .
0 . 0
0 . 1
0 . 2
0 . 3
0 . 4
0 . 5
0 . 6
" Linia wpływu siły normalnej
W celu wyznaczenia linii wpływu siły normalnej wprowadzamy
jednostkowe rozsunięcie przekrojów.
N
N
"=1
http://www.okno.pg.gda.pl wykład 6/4 [e-mail]
Mechanika Budowli (C16) Piotr Iwicki
" Wyznaczanie linii wpływu siły tnącej:
Wprowadzamy wymuszenie kinematyczne w postaci rozsunięcia
przekrojów pręta w kierunku siły tnącej.
T
"=1
T
- 0 . 8
- 0 . 6
L i n i a w p ł y w u s i ł y t n ą c e j T a
- 0 . 4
- 0 . 2
0 . 0 1 . 0 2 . 0 3 . 0 4 . 0 5 . 0 6 . 0 7 . 0 8 . 0 9 . 0 1 0 . 1 1 . 1 2 .
0 . 0
0 . 2
0 . 4
0 . 6
"kII=1
0 . 8
"kII=1
1 . 0
" Linia wpływu reakcji: przesunięcie podpory o 1 przeciwnie
skierowane do zwrotu reakcji.
" Linia wpływu momentu podporowego : obrót podpory o kąt
jednostkowy przeciwnie skierowany do działającego momentu.
Własności linii wpływu:
" Tam gdzie kierunek przemieszczenia powstałego przy wymuszeniu
kinematycznym jest zgodny z kierunkiem działania siły jednostkowej
znak linii wpływu jest dodatni.
" W układzie statycznie niewyznaczalnym linie wpływu są liniami
gładkimi (nie mają załamań i nieciągłości) za wyjątkiem przekroju w
którym nastąpiło wymuszenie oraz przegubów.
" W obrębie wspornika linia wpływu jest linią prostą
" W układach statycznie wyznaczalnych również można wyznaczać
linię wpływu w sposób kinematyczny. W układach statycznie
wyznaczalnych linia wpływu jest linią prostą lub składa się z linii
prostych.
" Przy podporach kształt linii wpływu jest zgodny z warunkami
brzegowymi (na przykład w utwierdzeniu styczna pozioma)
http://www.okno.pg.gda.pl wykład 6/5 [e-mail]
Mechanika Budowli (C16) Piotr Iwicki
Przykład.
Wyznaczanie linii wpływu metodą bezpośrednią  wprost z definicji.
Wyznaczyć za pomocą metoda sił linie wpływu: RA RB MA Mą Tą.
P=1
A
I CD
I I
B - ą
6m 4m 2m
1m
X1
X2
X2
A
CD
B - ą
Dla podanego schematu podstawowego metody sił obliczamy:
1 1 2
�11 = (1� 6� )� =
3 EJ EJ
1 1 1 10
�22 = (1� 6� +1� 4� )� =
3 3 EJ 3EJ
1 1 1
�12 = (1� 6 � ) � =
6 EJ EJ
Powyższe współczynniki równania zgodności przemieszczeń metody sił nie zależą od
obciążenia zewnętrznego. Równanie zgodności przemieszczeń ma postać:
2 1
Ą# ń#
X1 X1 - �10
1 Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
� = F � = ,
ó#1 10Ą# ó#X Ą#
ó#X Ą# ó#
EJ
2 2 Ś#
ó# Ą# Ł# Ś# Ł# Ś# Ł#- �20Ą#
Ł# 3 Ś#
Z powyższego równania możemy wyznaczyć równania linii wpływu nadliczbowych
metody sił. W tym celu wyznaczamy wartości współczynników �10 ,� w zależności
20
od położenia siły P, zakładając że siła ta znajduje się w kolejnych przęsłach belki
ciągłej.
http://www.okno.pg.gda.pl wykład 6/6 [e-mail]
Mechanika Budowli (C16) Piotr Iwicki
" Siła P znajduje się w przedziale AB.
3
2 2 2 3
Wprowadzamy oznaczenia: �T (� ) = � - � , �T (� ) = � - � .
Współczynniki �10 ,� możemy zapisać następującymi wzorami:
20
2
1 1 6�T (� )
2
�10 = �T (� ) � l12 � � =
6 EJ EJ
1 1 6�T (� )
�20 = �T (� ) � l12 � � =
6 EJ EJ
Następnie możemy wyznaczyć równania linii wpływu nadliczbowych:
18 60
Ą# ń#
2
� (� ) -� (� )
T T
X -�
ó# Ą#
Ą# ń# Ą# ń#
1 10
-1
17 17
= F � =
ó#
ó#X Ą# ó# Ą#
36 18Ą#
Ł# Ś# Ł#-� Ś#
2 20
2
ó#-� (� ) +� (� )
Ą#
T T
Ł# 17 17Ś#
" Siła w przedziale BC.
�10 = 0
1 1 8�T (�2 )
�20 = �T (�2 )�l22 � � =
6 EJ 3EJ
równania linii wpływu nadliczbowych
8
Ą# ń#
2
�T (� )
X1 - �10
Ą# ń# Ą# ń# ó# Ą#
-1
17
= EJ � F � =
ó#X Ą# ó# Ą# ó#
16Ą#
Ł# Ś# Ł#- �20 Ś#
2
2
ó#- �T (� )
Ą#
Ł# 17Ś#
" Siła w przedziale CD
�10 = 0
1 1 4�
� = -� � l � l � � = -
20 3 2
6 EJ 3EJ
równania linii wpływu nadliczbowych:
4
Ą# ń#
X - �
Ą# ń# Ą# ń# ó#- � Ą#
1 10
-1
17
= EJ � F � =
ó#X Ą# ó# Ą# ó# Ą#
8
Ł# Ś# Ł#- � Ś#
2 20
�
ó# Ą#
Ł# 17 Ś#
http://www.okno.pg.gda.pl wykład 6/7 [e-mail]
Mechanika Budowli (C16) Piotr Iwicki
Wyznaczenie linii wpływu sił wewnętrznych i reakcji odbywa się przez zsumowanie
odpowiednich linii wpływu nadliczbowych oraz linii wpływu danej wielkości
statycznej dla układu podstawowego  statycznie wyznaczalnego.
X1
X2
X2
�# ś#
X1 1 1
ś# ź#
RB = [RB ] + - X2ś# +
l1 l1 l2 ź#
�# #
X2
Tą = [Tą ] -
l2
Mą = [Mą ] + �ą2 X2
Dla przekroju � znajdującego się w pierwszym przęśle:
X1 X2
Tą = [T� ] - +
l1 l2
M = [M� ] + ��2 X1 + �� X2
�
Na podstawie przedstawionych zależności wyznaczono wykresy poszczególnych linii
wpływu.
http://www.okno.pg.gda.pl wykład 6/8 [e-mail]
Mechanika Budowli (C16) Piotr Iwicki
P=1
A
I CD
I I
B - ą
6m 4m 2m
1m
-0.2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0.0
Linia wpływu reakcji RA
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
linia wpływu RA
-1.0
-0.8
-0.6
Linia wpływu reakcji RB
-0.4
-0.2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
linia wpływu RB
http://www.okno.pg.gda.pl wykład 6/9 [e-mail]
Mechanika Budowli (C16) Piotr Iwicki
P=1
A
I CD
I I
B - ą
6m 4m 2m
1m
-1.2
-1.0
Linia wpływu reakcji Ma
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0.0
0.2
0.4
Linia wpływu nadliczbowej X1 = linia wpływu momentu MA.
http://www.okno.pg.gda.pl wykład 6/10 [e-mail]
Mechanika Budowli (C16) Piotr Iwicki
P=1
A
I CD
I I
B - ą
6m 4m 2m
1m
-0.8
-0.6
Linia wpływu siły tnącej Ta
-0.4
-0.2
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10. 11. 12.
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
l
-0.4
-0.3
Linia wpływu momentu Ma
-0.2
-0.1
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10. 11. 12.
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
http://www.okno.pg.gda.pl wykład 6/11 [e-mail]