Ćw. nr 10 Sprawdzanie prawa Hooke'a i wyznaczanie modułu Younga

1. Wstęp teoretyczny

Zajmując się analizą ruchu lub stanu równowagi ciała posługujemy się modelami matematycznymi, które stanowią dopuszczalne przybliżenie ciał rzeczywistych. Za przykład mogą tutaj posłużyć pojęcia punktu materialnego (gdyż każde ciało ma różną od zera objętość) oraz ciała doskonale sztywnego (gdyż każde ciało, nawet najtwardsze, jak np. diament, ulega odkształceniom zmieniającym jego objętość lub kształt. Odkształcenia te mogą być niewielkie (ciała stałe) lub znaczne (ciecze, a szczególnie gazy). W rozważanym zagadnieniu szczególnie ważne jest pojęcie sprężystości.

Ciałem sprężystym nazywamy ciało, w którym odkształcenia, wywołane działającymi na nie siłami, zanikają zupełnie po usunięciu tych sił.

Rozróżniamy kilka rodzajów odkształceń:

-odkształcenie jednostronne - siły działają na dwie przeciwległe ścianki ciała, prostopadle do nich (tak, że suma ich momentów względem dowolnego punktu ciała jest w każdej chwili równa zeru). Skutkiem działania sił jest przyrost długości (DL odkształcenie bezwzględne; DL/Lo odkształcenie względne ). Podczas rozciągania DL>0, a podczas ściskania DL<0.

-odkształcenie wszechstronne - na każdy element powierzchni ciała działa siła do niego prostopadła. Skutkiem działania siły jest przyrost objętości wzięty ze znakiem minus -DV. Dzięki temu odkształcenie podczas ściskania ma wartość dodatnią ( Vk<Vp ).

-ścinanie - działające siły są styczne do powierzchni ciała. Miarą odkształcenia jest w tym przypadku kąt skręcenia ścianek. Wprowadzono tzw. współczynnik Poissona m, który jest charakterystyczny dla danego materiału. Wyraża on stosunek względnej zmiany wymiarów poprzecznych (Dd/d) do względnej zmiany wymiarów podłużnych (DL/L). Wartości liczby Poissona dla większości metali zmieniają się w granicach 0,2-0,5.

Naprężeniem nazywamy wektor o wartości równej stosunkowi wartości siły do powierzchni, na którą ona działa, o kierunku i zwrocie zgodnym z kierunkiem siły: p= F/S

Jednostką naprężenia w układzie SI jest : [p]= N / m*m = Pa.

Prawo Hooke'a:

Jeżeli naprężenia w ciele są dostatecznie małe, to wywoływane przez nie odkształcenia względne są do nich wprost proporcjonalne.

Odpowiednio:

L / L = d * 1 / E; -
V / V = d * 1 / K; a = t * 1 / G;

gdzie:

E - moduł Younga; K - moduł ściśliwości; G - moduł sztywności.

Moduł Younga wyraża wartość naprężenia zewnętrznego, która wystąpiłaby przy podwojeniu długości ciała, gdyby ono nie uległo zniszczeniu. Jednostką modułu Younga jest 1 Pa (paskal)

m - masa obciążająca pręt [kg]

g - przyspieszenie ziemskie [m/s²] (przyjęto g = 9,81 m/s²)

l - długość pręta [m]

d - średnica pręta [m]

Δl - wydłużenie [m]

Dla stali moduł Younga mieści się w granicach od 205 do 210 GPa.2. Protokół

3. Przebieg ćwiczenia

1. Konstrukcja mocująca

2. Badany drut o długości początkowej l₀

3. Wskaźnik A

4. Uchwyt mocujący drut

5. Mikroskop pomiarowy M

6. Obciążenie stałe (szalka)

7. Walce metalowe

Pomiar długości początkowej drutu l₀ uchwytem mocującym drut, a wskaźnikiem A przy pomocy przymiaru o dokładności 1 mm:

l₀ = 589mm = 0,589m

Pomiar średnicy d drutu przy pomocy śruby mikrometrycznej o dokładności 0,01 mm:

d[mm]

1,19

1,20

1,19

1,21

1,19

1,19

Pomiar średnicy a wskaźnika A przy pomocy śruby mikrometrycznej oraz przy pomocy mikroskopu

Nr pomiaru	a [mm]	ag [działki]	ad[działki]
	pomiar śrubą	pomiar mikroskopem
1	0,95	3,65	6,80
2	0,94	3,70	6,86
3	0,92	3,62	6,82
4	0,95	-	-
5	0,94	-	-

a_g - odczyt górnej działki mikroskopu

a_d -odczyt dolnej działki mikroskopu

Wyznaczenie zależności wydłużenia drutu od przyłożonej siły rozciągającej:

początkowe położenie a'₀ (bez obciążenia)

a'₀ = 3,71

masa metalowego walca: 1kg

4. Opracowanie wyników pomiaru

Wyznaczenie średniej wartości średnicy d drutu i jej niepewności

d[mm]	Δd
1,19	0,005
1,20	0,005
1,19	0,005
1,21	0,015
1,19	0,005
1,19	0,005
Wartość średnia dśr = 1,195	Średni błąd kwadratowy Δdśr = 0,003

Błąd maksymalny jest większy od średniego błędu kwadratowego, więc:

d = (1,195±0,01) mm

Wyznaczenie średniej wartości średnicy a wskaźnika A oraz średnich wartości położeń krzyża a_g i a_d

Nr pomiaru	a [mm]	ag [działki]	ad [działki]	a'= ad-ag	w [mm]
1	0,95	3,65	6,80	3,15	0,30
2	0,94	3,70	6,86	3,16	0,30
3	0,92	3,62	6,82	3,20	0,29
4	0,95	-	-	-	-
5	0,94	-	-	-	-
aśr	0,94	3,65	6,83	3,17	0,30
Δaśr	0,0055	0,03	0,02	0,02	0,04

Obliczenie wartości działki skali mikroskopu:

= 0,92/3,20 ≈ 0,29mm

gdzie: a' = a_d' - a_g′ - średnica wskaźnika A widziana przez mikroskop (wyrażona w działkach)

Wyznaczenie wartości wydłużenia Δl dla każdego obciążenia:

suma mas odważników [kg]	F [N]	a'i [działki]	Δl [mm]
0	0	ao'=3,71	0
1	9,81	3,52	0,057
2	19,62	3,39	0,096
3	29,43	3,32	0,117
4	39,24	3,18	0,159
5	49,05	3,08	0,189
6	58,86	3,00	0,213

Δl = w( a_o'- a_i') = 0,30(3,71-3,52) = 0,057mm

F = mg = 1*9,81 = 9,81N

suma mas odważników [kg]	F [N]	a'i [działki]	Δl [mm]
6	58,86	3,00	0,213
5	49,05	3,10	0,183
4	39,24	3,19	0,156
3	29,43	3,30	0,123
2	19,62	3,38	0,099
1	9,81	3,50	0,063
0	0	3,71	0

Wyznaczenie wartości naprężeń dla poszczególnych odważników:

suma mas odważników [kg]	F [N]	S [m^2]	[Pa]	Δl/l0
0	0	1,122∙10^-6	0	0
1	9,81			8743315,508	9,677∙10^-5
2	19,62			17486631,020	16,299∙10^-5
3	29,43			26229946,520	19,864∙10^-5
4	39,24			34973262,030	26,990∙10^-5
5	49,05			43716577,540	32,088∙10^-5
6	58,86			52459893,050	36,163∙10^-5

Przykładowe obliczenia:

Sporządzenie wykresu Δl = f(F)

Wyznaczenie modułu Younga metodą regresji liniowej w programie Excel korzystając ze wzoru:

z funkcji REGLINP w programie Excel:

Wyznaczenie błędu względnego modułu Younga korzystając z metody różniczki logarytmicznej

0,12GPa

gdzie:

,

ponieważ pomiary „a” i „b” wykonano z dokładnością 0,01 mm.

Δm/m -błąd względny masy (w obliczeniach Δm/m = 0,05 kg)

Δl/l - błąd względny długości pręta

Δd/d - błąd względny średnicy pręta

Δ(Δl)/ Δl - błąd względny wydłużenia pręta

5. Wyniki końcowe

Moduł Younga wynosi:

E = (266,45±0,12)GPa6. Wnioski

Z przeprowadzonego ćwiczenia wynika, że prawo Hooka sprawdza się w warunkach pracowni fizycznej - odkształcenia drutu były wprost proporcjonalne do naprężeń powstających przez dokładanie metalowych walców.

Na podstawie pomiaru odkształcenia (wydłużenia drutu) został obliczony moduł Younga, będący charakterystyczną cechą każdego materiału. Po porównaniu z wartością modułu Younga dla stali odczytaną z tablic otrzymujemy różnicę, obrazującą niedokładność wykonania doświadczenia:

266,45-210 = 56,45GPa.

---