MATEMATYKA – ĆWICZENIA.

Ćwiczenia z 26 i 27.11.2010 r.

Ciągi liczbowe.

a (1) , a (2) , … , a (n) – wyrazy ciągu

a (n) = a_n

ciąg arytmetyczny

ciąg geometryczny

Granica ciągu.

Zad. 1

Oblicz granicę poniższych ciągów:

1. 

2. 

3. 

gdy m = k (przykład a)

0 , gdy m < k (przykład b)

- ∞ , gdy m > k i C_m ∙ b_k < 0

+ ∞ , gdy m > k i C_m ∙ b_k > 0

1. 

2. 

3. 

Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem:

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

Liczba e .

Rozważmy ciąg nieskończony.

a₁ = 2

a₂ = (

a₃ =

a₄ = 2,44

a₅ = 2,49

a₆ = 2,52

a₁₀ = 2,59

a₁₀₀ = 2,7

Widać ,że ciąg a_n jest rosnący , jest on też ograniczony z góry . Ciąg taki jest ciągiem zbieżnym – ma granicę.

Granicą ciągu a_n przy n → ∞ jest liczba niewymierna e .

Liczbę e wykorzystujemy jako podstawę funkcji wykładniczej oraz funkcji logarytmicznej.

f(x) = e^x

f(x) = e^x

Logarytm, który w podstawie ma liczbę e nazywa się logarytmem naturalnym.

Log_e X = ln X

ln X = a  e^a = x

np.

ln e = 1 , bo e¹ = e

1. 

Zad. 1

Wyznacz granicę.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

_{Granica funkcji w punkcie , w nieskończoności. Granice lewostronne.}

_{Ciągłość funkcji .}

Zad. 1

Oblicz granicę funkcji.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

Zadania z wykorzystaniem następujących granicy:

1. 

Np.:

1. 

2.