Politechnika Opolska

Wydział Elektrotechniki, Automatyki i Informatyki

Ekonometria

Kierunek studiów: Informatyka Prowadzący:

Rok akademicki: 2014/2015 dr inż. Arkadiusz Gardecki

Rok studiów: I Wykonał:

Semestr: I Adam Czech

1. Cel projektu

Celem projektu jest stworzenie programu, który z podanych danych statycznych wspomoże budowę jednorównaniowego modelu ekonometrycznego. Program ten ma w łatwy i przystępny, z punku widzenia użytkownika, realizować obliczenia z danych zawartych w pliku tekstowym.

2. Dane statystyczne

Dane statyczne umieszczone w pliku tekstowym:

Tabela 1 Dane statystyczne wykorzystane w modelu

Lp.	Rok	Liczba emigracji (w tys.)	Bezrobocie (w tys.)	Zarobki (w PLN)	Populacji (w tys.)	PKB (w mln.)
		Y	X1	X2	X3	X4
1	2003	786	3176	800	38191	103,4
2	2004	1000	3000	824	38174	105,1
3	2005	1450	2773	849	38157	103,5
4	2006	1950	2309	899	38125	106,2
5	2007	2270	1747	934	38116	107,2
6	2008	2210	1474	1126	38136	103,9
7	2009	2100	1893	1276	38167	102,6
8	2010	2000	1955	1317	38530	103,7
9	2011	2060	1983	1386	38538	104,8
10	2012	2130	2137	1500	38533	101,8

11

2013

2196

2158

1600

38496

101,7

Gdzie:

Y – Ilość ludzi na emigracji w tysiącach,
X1 - Ilość zarejestrowanych bezrobotnych w tysiącach,
X2 – Średnie wynagrodzenie brutto w złotówkach,
X3 – Ilość mieszkańców w kraju,
X4 - PKB (Przychód Krajowy Brutto) w milionach.

3. Współczynniki korelacji

Liczba określająca w jakim stopniu zmienne są współzależne. Jest to miara korelacji 

Między zmienną objaśnianą Y i zmiennymi objaśniającymi X_i. Ocena ta została wykonan przy pomocy wzoru na r_i. Do obliczenia wykorzystano wzór:

Po obliczeniu poszczególnych współczynników korelacji otrzymano R_0­:

R0	-0,9502
	0,6572
	0,2549
	0,0913

W następnej kolejności obliczone zostały współczynniki korelacji między potencjalnymi zmiennymi objaśniającymi. Aby tego dokonać wykorzystano wzór:

Po podstawieniu odpowiednich elementów do wzoru otrzymano macierz współczynników korelacji R:

R	1	-0,6135	-0,1838	-0,0919
	-0,6135	1	0,7995	-0,4987
	-0,1838	0,7995	1	-0,4003
	-0,0919	-0,4987	-0,4003	1

4. Wybór zmiennych objaśniających

Do wyboru zmiennych wyjaśniających posłuży metoda współczynników korelacji wielorakiej dla poziomu istotności α=0,1.

Metoda Z. Pawłowskiego jest to metoda doboru zmiennych objaśniających do modelu statystycznego w szczególności modelu ekonometrycznego.

Aby dokonać wyboru zmiennych w pierwszej kolejności budujemy tzw. macierz rozszerzoną W:

gdzie:

W – pełną macierzą korelacji

Macierze R oraz W wykorzystujemy do budowy współczynnika korelacji wielorakiej C_i, który jest miarą liniowej zależności między zmienną objaśnianą a liniową kombinacją zmiennych objaśniających.

Obliczony jest ze wzoru:

5. Oszacowanie parametrów strukturalnych modelu

Stosując Metodę Najmniejszych Kwadratów oszacowano parametry strukturalne modelu, oszacowanie to odbyło się po wybraniu zmiennych objaśniających.

Wzór ogólny tego modelu to:

Wyznaczenie parametrów a_i, było możliwe dzięki wzorowi:

Aby skorzystać z wzoru potrzebne było wyznaczenie macierzy X oraz Y. Macierz X sprowadza się do wybrania kolumn reprezentujących wartości zmiennych X₁, X₂ z tabeli z danymi oraz dopisanie do niej kolumny jednostkowej, czyli kolumny samych jedynek. Macierz Y to tak naprawdę wartości zmiennej Y z tabeli danych statystycznych:

Y =		786
		1000
		1450
		1950
		2270
		2210
		2100
		2000
		2060
		2130
	X =		3176		800	1
			3000		824	1
			2773		849	1
			2309		899	1
			1747		934	1
			1474		1126	1
			1893		1276	1
			1955		1317	1
			1983		1386	1
			2137		1500	1

Posiadając już macierz Y i X wyznaczono współczynniki a₁, a₂ i a_3. Następnym etapem jest wyznaczenie macierzy transponowanej X­­^T:

X^T=	786	1000	1450	1950	2270	2210	2100	2000	2060	2130
	3176	3000	2773	2309	1747	1474	1893	1955	1983	2137
	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1

Otrzymaną macierz X^T pomnożono przez macierz X w wyniku czego otrzymano macierz X^TX:

X^TX =	53237203	23678431	22447
	23678431	12521871	10911
	22447	10911	10

Otrzymaną macierz odwrócono i pomnożono przez iloczyn macierzy X^T i Y :

(X^TX)^-1=	0	0	-0,002
	0	0	-0,005
	-0,002	-0,005	9,663

X^TY=	0	0	-0,0021
	0	0	-0,0045
	-0,0021	-0,0045	9,6627

Po wykonaniu wszystkich tych operacji otrzymujemy macierz a:

a=	0	0	-0.0193254
	0	0	-0.0483135
	-0.0202923	0.0434835	93.3706968

Gdy otrzymaną macierz a podstawimy do ogólnego wzoru opisującego model otrzymujemy:

6. Weryfikacja modelu

Aby dokonać weryfikację modelu wybrane zostały współczynniki i hipotezy.

Na początku została wyznaczona wariancja składnika resztowego , wyznaczony został przy pomocy wzoru:

Kolejnym krokiem było określenie błędów średnich szacunku parametrów:

D(a₁) = 0,0249,

D(a₂) = 0,1152,

D(a₃) = 428148,1011

Do wyznaczenia współczynnika zbieżności wykorzystany został wzór:

Współczynnik determinacji określony wzorem:

Ostatnim wyznaczonym współczynnikiem jest współczynnik zmienności losowej V:

Zweryfikowany wzór modelu:

(0,0249) (0,1152) (428148,1011)

7. Statystyka t-Studenta

Statystyka t-Studenta została wykorzystana w celu sprawdzenia.

Hipoteza zerowa w postaci:

oraz hipotezę alternatywną w postaci:

Dla statystyki testowej danej wzorem:

otrzymano następujące wartości:

t1 = -33,044

t2 = 2,08442

Dla poziomu istotności =0,1 oraz n=7 (liczba stopni swobody) z tablic testu t-Studenta została odczytana wartość 1,8946.

Dla poziomu istotności =0,1 dokonano następujących porównań:

, bo 33,044 > 1,8946

,, bo 2,08442 > 1,8946.

Z wykonanych porównań wynika, że należy odrzucić hipotezę H₀ i za słuszną uznać hipotezę alternatywną.

5. Statystyka F rozkładu Fischera Snedecora

Po wykonaniu sprawdzenia przy pomocy statystki t-Studenta wykonano sprawdzenia, czy dopasowanie oszacowanego modelu do danych empirycznych jest wystarczające. Wykorzystano w tym celu statystykę F rozkładu Fischera Snedecora. Na początku zostały określone hipotezy:

ʌ ʌ

v v

Korzystając ze statystyki określonej wzorem:

gdzie

R²=1- = 1-0,500 = 0,500

otrzymano

F = 8

Następnie z tablic Fischera Snedecora odczytano wartość krytyczną statystyki dla poziomu istotności α = 0,1 oraz stopni swobody m₁=1 i m₂=8 równą F_α = 3,46. Kolejnym krokiem było wykonanie porównania:

F>F_α , bo 8>3,46

Z wykonanego porównania wynika, że należy przyjąć hipotezę H₁.

6. Graficzna prezentacja wyników

Dla otrzymanego wzoru określającego model ekonometryczny wykonano porównanie rzeczywistego przebiegu zmiennej objaśnianej z symulacyjnym przebiegiem tej zmiennej. Otrzymane wyniki przedstawiono w poniższej tabeli. Dodatkowo zaprezentowano wartość otrzymaną w kolejnym kroku (okresie) funkcji predykcyjnej dla danych z 2000 roku.

Rok	Rzeczywisty Y	Symulacyjny Y
2003	786	959,4538
2004	1000	1110,029
2005	1450	1302,807
2006	1950	1696,591
2007	2270	2167,408
2008	2210	2438,132
2009	2100	2129,394
2010	2000	2088,224
2011	2060	2081,753
2012	2130	1982,413
2003	786	959,4538

Graficzne porównanie rzeczywistego Y z symulacyjnym:

Wykres przedstawia średnią liczbę emigracji z Polski w latach 2003 – 2012. Wykres został sporządzony dokładnie z instrukcjami, które zostały podane na zajęciach.

7. Wnioski

Dzięki przeprowadzonym statystyką t-studenta i F rozkładu Fischera Snedecora, można stwierdzić, że zmienne objaśniające wpływają na zmienną endogeniczną. W oby przypadkach prawidłowe okazały się hipotezy H₁ .

Dzięki graficznemu przedstawieniu modelu, również można potwierdzić poprawność sporządzonego modelu. Jak można zaobserwować przebiegi zmiennej objaśniającej i symulacyjnej są podobne. Oczywiście występują w nich drobne różnice, jednak wartości predykcyjne są bardzo bliskie realnym.

Opole 2015