10. Kinetyczna teoria gazów.
Wybór i opracowanie zadań od 10.1do 10.6 - Bogusław Kusz.
Więcej zadań z tej tematyki znajdziesz w II części skryptu.
10.1.
Funkcję rozkładu prędkości cząsteczek gazu doskonałego można zapisać w formie:
2
mV
-
2
2kT
f (V ) = CV e gdzie C jest pewną stałą a m jest masą cząsteczki. Jest to jednocześnie
rozkład prawdopodobieństwa znalezienia w gazie o temperaturze T cząstek o prędkości V.
Wyprowadz
wzór oraz oblicz najbardziej prawdopodobną prędkość wodoru i tlenu jeśli
T=300K, µH2=2g/mol=2·10-3 kg/mol i µO2=32g/mol=32·10-3 kg/mol, R=8,31 J/(kg mol).
Naszkicuj wykres f(V) obu gazów.
10.2.
Funkcję rozkładu prędkości cząsteczek gazu doskonałego można zapisać w formie:
2
mV
-
2
2kT
f (V ) = DV e gdzie D jest pewną stałą a m jest masą cząsteczki. Jest to jednocześnie
rozkład prawdopodobieństwa znalezienia w gazie o temperaturze T cząstek o prędkości V.
Wyprowadz
wzór oraz oblicz najbardziej prawdopodobną prędkość cząstek azotu gdy
temperatura gazu wynosi T1=300K i T2=900K. Naszkicuj wykres f(V) gazu w obu
temperaturach. µN2=28g/mol=28·10-3 kg/mol, R=8,31 J/(kg mol).
10.3.
Ocenić ciśnienie i koncentrację powietrza na wysokości: a/ 0m npm, b/ 2499m npm, c/
4807m npm, d/ 8850m npm. Założyć, że przyspieszenie ziemskie i temperatura powietrza nie
zależą od wysokości przy czym g=9.81m/s2 i tp=70C.
10.4.*
Czy na Mount Evereście można zagotować jajko na twardo ? Założenia:
1/ ścinanie białka zachodzi w temperaturze t=60-720C ,
2/ związek temperatury wrzenia wody z ciśnieniem powietrza przy powierzchni wody jest
1 px 1 1
następujący: ln = -
A p0 T0 Tx
gdzie: p0=9,81‡104Pa, T0=373K, A=4950 K, a Tx jest temperaturÄ… wrzenia wody pod
ciśnieniem px, przyspieszenie ziemskie i temperatura powietrza nie zależą od wysokości przy
czym g=9.81m/s2 i tp=70C.
10.5.
Na jakiej wysokości ciśnienie powietrza spada do połowy swej wartości przy powierzchni
morza ? Założyć, że przyspieszenie ziemskie i temperatura powietrza nie zależą od
wysokości. Dane: g=9.81m/s2, tp=100C, ciśnienie p0=1000hPa.
10.6.**
W wirówce o promieniu R=1m obracajÄ…cej siÄ™ z prÄ™dkoÅ›ciÄ… obrotowÄ… É=3000obr/min.
znajdują się pary fluorku uranu UF3.Określ jak zmienia się koncentracja tego gazu w
zależności od odległości od osi obrotu. Porównaj koncentracje w przypadku gdy mamy do
czynienia z mieszaniną 235UF3 i 238UF3. Założenia:
1/ wlot gazu o temperaturze T=400K i ciśnieniu normalnym jest na osi wirówki,
2/ iloraz koncentracji wynosi: ·0 = n235/n238=0.007 oraz µ235=292g/mol, µ238=295g/mol,
3/ wirówka jest obracającym się wokół pionowej osi cienkim walcem (wpływ siły ciężkości
można zaniedbać).
10.RozwiÄ…zania:
10.1.R.
Problem sprowadza się do znalezienia maksimum funkcji f(V) czyli przyrównaniu jej
pochodnej do zera. Taka procedura prowadzi do wyniku:
2kT 2NAkT 2RT
Vp = = = .
m µ µ
Dla gazów z zadania:
m m
VpO2 = 394,73 i VpH 2 = 1579
s s
VpO2 µH 2 1
oraz = = .
VpH 2 µO2 4
10.2.R.
m m
VpT1 = 422 VpT 2 = 730 .
s s
10.3.R.
Przy takich założeniach można zastosować tzw. wzór barometryczny (patrz 10.4.R):
mgh µgh
- -
kT RT
p(h) = p0e = p0e ,
gdzie: p(h) jest ciśnieniem gazu o temperaturze T na
wysokości h względem poziomu odniesienia na którym panuje ciśnienie p0, m- masa
molekuÅ‚y gazu, µ-masa molowa gazu.
ZwiÄ…zek miÄ™dzy ciÅ›nieniem i koncentracjÄ… · jest nastÄ™pujÄ…cy:
µgh
p -
pV N N N p0
RT
= nR = R = Nk Ò! · = = i ·0 = = czyli · =·0e .
T NA V kT V kT
Dla powietrza możemy przyjąć: µ=28,8g, p0=1000 hPa.
Wyniki obliczeń:
a/ p(0)=p0=1000 hPa, ·0=2,6 ‡1025 m-3,
b/ p(2499m)=0,74p0, ·(2499m)=0,74·0,
c/ p(4807m)=0,55p0, ·(4807m)=0,55 ·0,
d/ p(8850m)=0,33p0, ·(8846m)=0,33 ·0.
Jak widać z powyższych wyników taternicy na Rysach odczuwają lekki brak powietrza,
alpiniści na Mount Blanc (4807m) muszą głębiej oddychać a himalaiści na Mount Evereście
(8850m) mają bardzo duże problemy z oddychaniem.
10.4.R.
Ciśnienie na Mount Evereście w podanych warunkach wynosi px=0,33p0 (patrz zadanie 10.3)
więc woda w tym miejscu będzie wrzała w temperaturze
1 1 1 px 1 ln 0.33
= - ln = - czyli Tx = 345K = 720C .
Tx T0 A p0 T0 A
Wniosek: porównując temperatury krzepnięcia białka i temperaturę wrzenia wody można
sądzić, że na Mont Evereście prawdopodobnie można ugotować jajko na miękko. Ponieważ
przyjęliśmy w naszych obliczeniach parę założeń a temperatury niewiele się różnią więc nie
można wykluczyć, że w pewnych warunkach uda się przygotować jajko na twardo.
10.5.R.
RT p0 RT
h = ln = ln 2 = 5,77km .
µg ph µg
10.6.R.
Można znalez
ć związek między równaniem Boltzmanna, wzorem barometrycznym i
rozkładem koncentracji gazu w wirówce.
W ogólnym przypadku równanie Boltzmanna jest następujące:
E2 -E1
-
kT
n2 = n1e gdzie n1 i n2 koncentracje czÄ…stek o energii E1 i E2 w temperaturze T.
Także w przypadku gdy cząstkami są cząsteczki powietrza ich koncentracja zależy od ich
całkowitej energii. Na wysokości h cząstki mają energię wyższą o wielkość mgh co wynika ze
stałości siły ciężkości mg. Biorąc to pod uwagę otrzymujemy wzór barometryczny:
E2 -E1 E0 +mgh-E0 mgh
- - -
kT kT kT
n2 = n1e = n1e = n1e .
W wirówce obracającej się wokół pionowej osi na stałej wysokości koncentracja cząstek gazu
znajdujÄ…cego siÄ™ w bÄ™bnie zależy od prÄ™dkoÅ›ci obrotowej É i od odlegÅ‚oÅ›ci od osi obrotu r.
Wynika to z dziaÅ‚ania siÅ‚y odÅ›rodkowej Fod=mÉ2r . PorównujÄ…c energiÄ™ potencjalnÄ… w polu
siły odśrodkowej cząstek blisko osi E0 z cząstkami znajdującymi się w odległości r Er od osi
stwierdzimy, że :
r r
mÉ2r2
E(r) - E(0) = F dr = mÉ2 r dr = - gdzie F = -Fod.
+" +"-
2
0 0
Dlatego podstawiając do równania Boltzmanna
E1=E0 - mÉ2r2/2 oraz E2= E0 ,
otrzymamy zależność koncentracji cząstek gazu w funkcji odległości od osi obrotu:
E2 -E1 E0 -(E0 -mÉ2r2 / 2) mÉ2r2 mÉ2r2
- - -
kT kT 2kT 2kT
n2 =n0 = n1e = nre = nre czyli nr = n0e .
Przy ścianie bocznej wirówki (r=Rw) koncentracja drobin 238UF3 jest
2 2
nRw mÉ2Rw µÉ2Rw
2kT 2RT
= e = e = 1,11 razy większa od koncentracji przy osi.
n0
Porównując koncentracje różnych izotopów uranu w tej wirówce mamy:
2 2 2
µ235É2Rw µ238É2Rw
nR235 (µ235 -µ238 )É2Rw
2RT 2RT 2RT
nR235 = n0-235e oraz nR238 = n0-238e czyli ·R = = ·0e
nR238
·R =·0 Å" 0,997.
Powyższy wynik mówi, że stosunek koncentracji izotopów ulega zmianie w wirówce. Mimo,
że zmiana jest stosunkowo niewielka to układ kaskadowo połączonych wirówek może służyć
do rozdzielenia gazów, których masy niewiele się różnią.