Matematyka, dodatkowy egzamin poprawkowy, 16 wrze´snia 2005

Na rozwia,zanie wszystkich zada´n jest 150 minut

Rozwia

,

zania r´o˙znych zada´

n maja

,

znale´z´c sie

,

na r´o˙znych kartkach.

Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem pisza

,

cego,

jego nr. indeksu oraz nazwiskiem osoby prowadza

,

cej ´cwiczenia i nr. grupy ´cwiczeniowej.

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

,

dze´

n

elektronicznych; je´sli kto´s ma, musza

,

by´

c schowane i wy la

,

czone!

Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!

Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie

,

na twierdzenia, kt´ore

zosta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.

1. Znale´z´c zbi´or X z lo˙zony z tych wszystkich liczb zespolonych z , dla kt´orych zachodzi r´owno´s´c

¯

z · z · |z| + |z

3

− i| = 1 . Narysowa´c X na p laszczy´znie.

2. Znale´z´c wszystkie lokalne ekstrema funkcji f , je´sli dla ka˙zdego (x, y) ∈ R zachodzi r´owno´s´c

f (x, y) =

(x − 1)

2

+ y

2

·

(x + 1)

2

+ y

2

.

3. P laszczyzny Π przechodzi przez trzy punkty: A = (6, 0, 0) , B = (0, 3, 0) i B = (0, 0, 2) .

Znale´z´c wektor [A, B, C] prostopad ly do p laszczyzny Π .

Znale´z´c punkt Y symetryczny do punktu X = (2, 3, 4) wzgle

,

dem p laszczyzny Π .

Napisa´c r´ownanie p laszczyzny Π .

4. Rozwia

,

za´c r´ownanie x

00

(t) + 8x

0

(t) + 25x(t) = 73e

4t

+ 9e

−4t

− 6te

−4t

sin(3t) .

5. Znale´z´c wszystkie funkcje x , dla kt´orych

x

00

(t) + 10x

0

(t) + 25x(t) = 500 + 6(t + 1)e

5t

+ 500te

−5t

.

6. Niech a

0

= 2 = a

1

i a

n+2

= 2a

n+1

+ a

n

dla n = 0, 1, 2, . . .

(a) Znale´z´c a

2

, a

3

, i a

4

.

(b) Znale´z´c macierz A taka

,

, ˙ze

a

n+2

a

n+1

= A

a

n+1

a

n

dla ka˙zdego n = 0, 1, 2, . . .

(c) Znale´z´c warto´sci w lasne λ

1

, λ

2

i odpowiadaja

,

ce im wektory w lasne ~v

1

, ~v

2

macierzy A

w taki spos´ob, by ~v

1

·

1
0

= 1 = ~v

2

·

1
0

.

(d) Znale´z´c ka

,

t mie

,

dzy wektorami ~v

1

i ~v

2

.

(e) Znale´z´c liczby α, β takie, ˙ze

2
2

= α~v

2

+ β~v

2

.

(f ) Wyrazi´c wektor

a

n+1

a

n

za pomoca

,

wektora

a

1

a

0

, macierzy A i liczby n .

(g) Wyrazi´c wektor

a

n+1

a

n

za pomoca

,

wektor´ow ~v

1

, ~v

2

i liczb n, α, β .

(h) Znale´z´c lim

n→∞

a

n+1

a

n

.