1. CAŁKI KRZYWOLINIOWE NIEZORIENTOWANE

1.1 ŁUKI NA PŁASZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI

Def. 1.1.1 (funkcja wektorowa jednej zmiennej)

1. Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie
   lub
   , gdzie I oznacza przedział na prostej. Funkcje wektorowe będziemy zapisywali odpowiednio w postaci
   lub
   , gdzie t ∈ I.

Rys. 1.1.1 Funkcja wektorowa jednej zmiennej na płaszczyźnie

2. Mówimy, że funkcja wektorowa
   jest różnowartościowa na przedziale I, gdy dla dowolnych t₁, t₂ ∈ I prawdziwa jest implikacja


.

Funkcja
jest lokalnie różnowartościowa na przedziale I, jeżeli każdy punkt tego przedziału ma otoczenie, na którym funkcja
jest różnowartościowa.

Rys. 1.1.2 Funkcja wektorowa jednej zmiennej w przestrzeni

3. Jeżeli funkcje x, y lub x, y, z są ciągłe na przedziale I, to mówimy, że funkcja wektorowa
   jest ciągła na I.

4. Podobnie, jeżeli funkcje x, y lub x, y, z są różniczkowalne w sposób ciągły na I, to mówimy, że funkcja wektorowa
   jest różniczkowalna w sposób ciągły na I. Pochodną funkcji wektorowej
   określamy wzorem:


lub
.

Rys. 1.1.3 Pochodna funkcji wektorowej

Def. 1.1.2 (łuki na płaszczyźnie)

1. Niech funkcja
   będzie ciągła i różnowartościowa na przedziale [α,β]. Łukiem zwykłym na płaszczyźnie nazywamy zbiór:


.

Rys. 1.1.4 Łuk zwykły na płaszczyźnie

2. Niech funkcja
   , gdzie I oznacza dowolny odcinek, półprostą lub prostą (z końcem lub nie), będzie ciągła i lokalnie różnowartościowa na I. Łukiem na płaszczyźnie nazywamy zbiór:


.

Rys. 1.1.5 Łuk na płaszczyźnie

3. Jeżeli dla łuku
   spełniona jest równość
   , to mówimy, że łuk ten jest zamknięty. W przeciwnym przypadku mówimy, że łuk Γ jest niezamknięty.

Rys. 1.1.6 Łuk zamknięty na płaszczyźnie

4. Jeżeli funkcja
   w definicji łuku zwykłego jest różniczkowalna w sposób ciągły na [α,β] oraz dla każdego t ∈ [α,β] speł­niony jest warunek:


,

to mówimy, że łuk ten jest gładki. Mówimy, że łuk jest kawałkami gładki, jeżeli można go podzielić na skończoną liczbę łuków gładkich.

Rys. 1.1.7 Łuk kawałkami gładki na płaszczyźnie

Uwaga. Podobnie definiuje się łuki analogicznych rodzajów w przestrzeni. Funkcję wektorową
lub funkcje x, y, z opisujące łuk Γ nazywamy jego parametryzacją. Obrazowo łuk zwykły można przedstawić jako powyginany odcinek ma płaszczyźnie lub w przestrzeni. Wyginany odcinek można wydłużać lub skracać, ale nie wolno go rozrywać ani sklejać.

Fakt 1.1.3 (o przedstawianiu łuków na płaszczyźnie i w przestrzeni)

Łukami na płaszczyźnie są wykresy funkcji ciągłych postaci:

1. Γ: y = y(x), a ≤ x ≤ b,

2. Γ: x = x(y), c ≤ y ≤ d.

Łukami w przestrzeni są części wspólne ciągłych powierzchni walcowych:

3.

4.

5.

Jeżeli funkcje x, y, z mają ciągłe pierwsze pochodne, to łuki Γ są gładkie.

Rys. 1.1.8 Łuk Γ jest wykresem funkcji y = y(x), gdzie x ∈ [a,b]			Rys. 1.1.9 Łuk Γ jest wspólną częścią powierzchni walcowych y = y(x) oraz z = z(x), gdzie x ∈ [a,b]

Fakt 1.1.4 (parametryzacje ważniejszych łuków na płaszczyźnie i w przestrzeni)

1. Odcinek AB o końcach A = (x₁,y₁), B = (x₂,y₂) ma przedstawienie parametryczne:

.

2. Okrąg o środku w punkcie S = (x₀,y₀) i promieniu R > 0 ma przedstawienie parametryczne:

.

3. Elipsa o środku w punkcie S = (x₀,y₀) i półosiach a > 0, b > 0 ma przedstawienie parametryczne:

.

4. Odcinek AB o końcach A = (x₁,y₁,z₁), B = (x₂,y₂ ,z₂) ma przedstawienie parametryczne:

.

5. Linia śrubowa o skoku h > 0, nawinięta na walec (x - x₀)² + (y - y₀)² = R², gdzie R > 0, ma przedstawienie parametryczne:

.

Jeden zwój linii śrubowej otrzymamy, gdy t ∈ [0,2π].

Uwaga. Równania fragmentów łuków określonych wyżej otrzymamy zmniejszając odpowiednio zakres zmienności parametru t. Na rysunkach strzałką zaznaczono kierunek przebiegu łuków przy wzroście parametru t.

Def. 1.1.5 (długość łuku)

Długością łuku nazywamy kres górny długości łamanych wpisanych w ten łuk;


.

Rys. 1.1.10 Długość łuku

Tw. 1.1.6 (długość łuku)

Niech Γ = {(x(t), y(t)) : α ≤ t ≤ β} będzie łukiem gładkim na płaszczyźnie. Wtedy długość tego łuku wyraża się wzorem:


.

Podobnie, niech Γ = {(x(t), y(t), z(t)) : α ≤ t ≤ β} będzie łukiem gładkim w przestrzeni. Wtedy długość tego łuku wyraża się wzorem:


.

Uwaga. Jeżeli łuk Γ jest wykresem funkcji y = y(x), a ≤ x ≤ b, to jego długość wyraża się wzorem:


.

1.2 DEFINICJE I WŁASNOŚCI CAŁEK KRZYWOLINIOWYCH NIEZORIENTOWANYCH

Oznaczenia w definicji całki krzywoliniowej niezorientowanej

Niech Γ = {(x(t), y(t)) : t ∈ [α,β]} będzie łukiem gładkim na płaszczyźnie. Wprowadzamy następujące oznaczenia:

P = {t₀, t₁, ..., t_n}, gdzie α = t₀ < t₁ < … < t_n = β - podział odcinka [α,β] na n ∈ N odcinków;

Δt_k = t_k - t_k-1 - długość k-tego odcinka podziału P, 1 ≤ k ≤ n;

δ(P) = max{Δt_k: 1 ≤ k ≤ n } - średnica podziału P;


, gdzie
dla 1 ≤ k ≤ n - zbiór punktów pośrednich podziału P.

A_k = (x(t_k),y(t_k)) - punkty podziału łuku Γ indukowane przez podział P, 0 ≤ k ≤ n;


- punkty pośrednie na łuku A_k-1A_k indukowane przez wybór punktów pośrednich podziału P, 1 ≤ k ≤ n;

Δl_k - długość łuku A_k-1A_k ,1 ≤ k ≤ n.

Rys. 1.2.1 Podział odcinka [α,β] i podział łuku Γ indukowany przez podział tego odcinka

Def. 1.2.1 (całka krzywoliniowa niezorientowana)

Niech f będzie funkcją dwóch zmiennych określoną i ograniczoną na łuku gładkim Γ. Całkę krzywoliniową niezorientowaną z funkcji f po łuku Γ definiujemy wzorem:


,

o ile granica po prawej stronie znaku równości nie zależy od sposobu podziału P odcinka [α,β], ani od sposobu wyboru punktów pośrednich Ξ.

Uwaga. Wartość całki krzywoliniowej nie zależy od wybranej parametryzacji łuku. Całkę krzywoliniową niezorientowaną z funkcji trzech zmiennych po łuku położonym w przestrzeni definiujemy analogicznie. Całkę krzywoliniową niezorientowaną na płaszczyźnie jak i w przestrzeni oznaczamy krótko symbolem
.

Rys. 1.2.2 Ilustracja do definicji całki krzywoliniowej niezorientowanej

Def. 1.2.2 (całka krzywoliniowa po łuku kawałkami gładkim)

Niech Γ będzie łukiem kawałkami gładkim złożonym z łuków gładkich Γ₁, Γ₂, …, Γ_m oraz niech f będzie funkcją określoną i ograniczoną na łuku Γ. Całkę krzywoliniową niezorientowaną z funkcji f po łuku Γ definiujemy wzorem:


,

o ile całki po prawej stronie znaku równości istnieją.

Tw. 1.2.3 (liniowość całki krzywoliniowej niezorientowanej)

Jeżeli istnieją całki krzywoliniowe niezorientowane z funkcji f i g po kawałkami gładkim łuku Γ i c ∈ R, to:

1. istnieje całka krzywoliniowa niezorientowana z funkcji f + g po łuku Γ oraz


,

2. istnieje całka krzywoliniowa niezorientowana z funkcji cf po łuku Γ oraz


.

Def 1.2.4 (całka krzywoliniowa niezorientowana z funkcji wektorowej)

Niech Γ będzie łukiem kawałkami gładkim na płaszczyźnie oraz niech funkcje P i Q będą całkowalne na Γ. Całkę krzywoli­niową niezorientowaną po łuku Γ z funkcji wektorowej
określamy wzorem:


.

Uwaga. Podobnie określa się całkę krzywoliniową niezorientowaną z funkcji wektorowej
po łuku położonym na płaszczyźnie xOy oraz całkę krzywoliniową niezorientowaną z funkcji wektorowej
po łuku położonym w przestrzeni.

1.3 ZAMIANA CAŁKI KRZYWOLINIOWEJ NIEZORIENTOWANEJ NA CAŁKĘ POJEDYNCZĄ

Tw. 1.3.1 (o zamianie całki krzywoliniowej niezorientowanej na całkę pojedynczą)

1. Jeżeli

1. łuk Γ = {(x(t), y(t)) : t ∈ [α,β]} jest gładki i niezamknięty,

2. funkcja f jest ciągła na łuku Γ,

to


.

2. Podobnie, jeżeli

1. łuk Γ = {(x(t), y(t), z(t)) : t ∈ [α,β]} jest gładki i niezamknięty,

2. funkcja f jest ciągła na łuku Γ,

to


.

Uwaga. W zapisie wektorowym powyższe wzory przyjmują jednolitą postać


.

Jeżeli funkcja f jest ciągła na łuku gładkim Γ opisanym równaniem y = y(x), gdzie a ≤ x ≤ b, to


.

1.4 ZASTOSOWANIA CAŁEK KRZYWOLINIOWYCH NIEZORIENTOWANYCH

Fakt 1.4.1 (zastosowania w geometrii)

1. Długość łuku Γ na płaszczyźnie lub w przestrzeni wyraża się wzorem:


.

2. Niech Σ oznacza powierzchnię boczną walca o tworzących przechodzących przez łuk Γ ⊂ R². Tworzące walca są równo­ległe do osi Oz i w punkcie (x,y) ∈ Γ mają długość f(x,y) ≥ 0. Wtedy pole powierzchni Σ wyraża się wzorem:


.

Fakt 1.4.2 (zastosowania w fizyce)

1. Masa łuku materialnego Γ ⊂ R² o gęstości liniowej masy λ wyraża się wzorem:


.

2. Momenty statyczne względem osi układu łuku materialnego Γ ⊂ R² o gęstości liniowej masy λ wyrażają się wzorami:


,
.

3. Współrzędne środka masy łuku materialnego Γ ⊂ R² o gęstości liniowej masy λ wyrażają się wzorami:


,
.

4. Masa łuku materialnego Γ ⊂ R³ o gęstości liniowej masy λ wyraża się wzorem:


.

5. Momenty statyczne względem płaszczyzn układu współrzędnych łuku materialnego Γ ⊂ R³ o gęstości liniowej masy λ wyrażają się wzorami:


,
,
.

6. Współrzędne środka masy łuku materialnego Γ ⊂ R³ o gęstości liniowej masy λ wyrażają się wzorami:


,
,
.

7. Momenty bezwładności względem osi lub początku układu współrzędnych łuku materialnego Γ ⊂ R³ o gęstości liniowej masy λ wyrażają się wzorami:


,


,


,


.

8. Natężenie pola elektrycznego indukowane w punkcie
   przez ładunek elektryczny o gęstości liniowej ładunku λ rozło­żony na łuku Γ ⊂ R² (R³) wyraża się wzorem:


,

gdzie
, a ε₀ oznacza stałą dielektryczną próżni.

9. Siła przyciągania grawitacyjnego masy m skupionej w punkcie
   przez łuk materialny Γ ⊂ R² (R³) o gęstości liniowej masy λ wyraża się wzorem:


,

gdzie
, a G oznacza stałą grawitacji.

10. Energia kinetyczna łuku materialnego Γ ⊂ R³ o gęstości liniowej masy λ, podczas obrotu wokół osi Oy z prędkością ką­tową ω, wyraża się wzorem:


.

Uwaga. Wzór na natężenie pola grawitacyjnego jest analogiczny do wzoru na natężenie pola elektrycznego. Także wzór na siłę przyciągania pochodzącą od ładunków elektrycznych jest analogiczny do wzoru na siłę przyciągania grawitacyjnego.

Fakt 1.4.3 (środki masy łuków symetrycznych)

1. Jeżeli łuk materialny ma środek symetrii i gęstość liniowa masy jest funkcją symetryczną względem tego środka (np. jest stała), to środek masy łuk pokrywa się z jego środkiem symetrii.

2. Jeżeli łuk materialny ma oś lub płaszczyznę symetrii i gęstość liniowa masy jest funkcją symetryczną odpowiednio wzglę­dem tej osi lub płaszczyzny (np. jest stała), to środek masy łuku leży na tej osi lub na płaszczyźnie symetrii.

2. CAŁKI KRZYWOLINIOWE ZORIENTOWANE

2.1 DEFINICJE I WŁASNOŚCI CAŁEK KRZYWOLINIOWYCH ZORIENTOWANYCH

Def. 2.1.1 (pole wektorowe na płaszczyźnie i w przestrzeni)

1. Niech D będzie obszarem na płaszczyźnie. Polem wektorowym na D nazywamy funkcję wektorową
   , gdzie


dla (x,y) ∈ D.

Rys. 2.1.1 Pole wektorowe na płaszczyźnie		Rys. 2.1.2 Pole wektorowe w przestrzeni

2. Niech V będzie obszarem w przestrzeni. Polem wektorowym na V nazywamy funkcję wektorową
   , gdzie


dla (x,y,z) ∈ V.

3. Jeżeli funkcje P, Q lub P, Q, R są ciągłe odpowiednio na obszarach D lub V, to mówimy, że pole wektorowe
   jest ciągłe na tych obszarach.

4. Podobnie, jeżeli funkcje P, Q lub P, Q, R mają ciągłe wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu odpowiednio na obszarach D lub V, to mówimy, że pole wektorowe
   jest różniczkowalne w sposób ciągły na tych obszarach.

Uwaga. Będziemy także pisali krótko
, gdzie
lub
, gdzie
.

Def. 2.1.2 (łuk zorientowany)

Łuk zwykły niezamknięty, na którym ustalono początek i koniec (kierunek) nazywamy łukiem zorientowanym. Łuk zoriento­wany oznaczamy tym samym symbolem co łuk. Łuk o orientacji przeciwnej do orientacji łuku Γ oznaczamy przez - Γ. Jeżeli ze wzrostem parametru łuku zorientowanego poruszamy się po nim w kierunku orientacji, to mówimy, że parametryzacja łuku jest zgodna z jego orientacją.

Rys. 2.1.3 Łuk zorientowany Γ		Rys. 2.1.4 Łuk -Γ o orientacji przeciwnej do łuku zorientowanego Γ

Oznaczenia w definicji całki krzywoliniowej zorientowanej

Niech Γ będzie łukiem zorientowanym na płaszczyźnie opisanym równaniem parametrycznym
, gdzie
oraz
. Zakładamy przy tym, że orientacja łuku Γ jest zgodna z jego parametryzacją. Wprowa­dzamy następujące oznaczenia:

P = {t₀, t₁, ..., t_n}, gdzie α = t₀ < t₁ < … < t_n = β - podział odcinka [α,β] na n ∈ N odcinków;

Δt_k = t_k - t_k-1 - długość k-tego odcinka podziału P, 1 ≤ k ≤ n;

δ(P) = max{Δt_k: 1 ≤ k ≤ n } - średnica podziału P;


, gdzie
dla 1 ≤ k ≤ n - zbiór punktów pośrednich podziału P.


- punkty podziału łuku Γ indukowane przez podział P, 0 ≤ k ≤ n (A₀ jest początkiem, a A_n końcem łuku zoriento­wanego Γ);


- punkty pośrednie na łuku A_k-1A_k indukowane przez wybór punktów pośrednich podziału P, 1 ≤ k ≤ n;


, gdzie
,
, 1 ≤ k ≤ n.

Rys. 2.1.5 Podział odcinka [α,β] i podział łuku zorientowanego Γ indukowany przez ten podział

Def. 2.1.3 (całka krzywoliniowa zorientowana)

Niech
będzie polem wektorowym określonym na łuku zorientowanym Γ ⊂ R². Całkę krzywoliniową zoriento­waną z pola wektorowego
po łuku Γ definiujemy wzorem:


,

o ile granica po prawej stronie znaku równości istnieje oraz nie zależy od sposobu podziału P przedziału [α,β], ani od sposobu wyboru punktów pośrednich Ξ. Powyższą całkę oznaczamy krótko przez
.

Uwaga. Całkę krzywoliniową zorientowaną z pola wektorowego
po łuku Γ położonym w przestrzeni definiu­jemy analogicznie i oznaczamy symbolem:


lub krótko
.

W zapisie wektorowym definicja całki krzywoliniowej zorientowanej z pola wektorowego
lub pola wektorowego
po łuku zorientowanym Γ położonym odpowiednio na płaszczyźnie lub w przestrzeni przyjmuje jednolitą formę:


,

gdzie
lub
. Całkę krzywoliniową z pola wektorowego
po łuku Γ oznaczamy też krótko symbolem
.

Rys. 2.1.6 Ilustracja do definicji całki krzywoliniowej zorientowanej w formie wektorowej

Def. 2.1.4 (całka krzywoliniowa po sumie łuków zorientowanych)

Niech łuk zorientowany Γ będzie sumą łuków niezamkniętch zorientowanych Γ₁, Γ₂, …, Γ_m, przy czym koniec łuku Γ_k jest początkiem łuku Γ_k+1, 1 ≤ k ≤ m - 1. Ponadto niech
będzie polem wektorowym określonym na łuku Γ. Całkę krzywoli­niową zorientowaną z pola
po łuku Γ określamy wzorem:


,

o ile całki po prawej stronie znaku równości istnieją.

Uwaga. Jeżeli łuk zorientowany na płaszczyźnie jest zamknięty, to wtedy piszemy
w miejsce
.

Rys. 2.1.7 Ilustracje do definicji całki krzywoliniowej zorientowanej po sumie łuków

Tw. 2.1.5 (liniowość całki krzywoliniowej zorientowanej)

Jeżeli istnieją całki krzywoliniowe z pól wektorowych
i
po kawałkami gładkim łuku zorientowanym Γ oraz jeżeli c jest stałą dowolną, to:

1. istnieje całka krzywoliniowa z pola wektorowego
   po łuku Γ oraz


,

2. istnieje całka z pola wektorowego
   po łuku Γ oraz


,

3. istnieje całka krzywoliniowa z pola wektorowego
   po łuku o orientacji przeciwnej - Γ oraz


.

Tw. 2.1.6 (zależność między całkami krzywoliniowymi)

Niech pole wektorowe
będzie ciągłe na łuku gładkim Γ. Wtedy


,

gdzie α(x,y) oznacza kąt między wektorem stycznym do łuku Γ w punkcie (x,y) a dodatnią częścią osi Ox, natomiast β(x,y) oznacza kąt między tym samym wektorem i dodatnią częścią osi Oy. Zakładamy przy tym, że zwrot wektora stycznego jest zgodny z orientacją łuku Γ.

Uwaga. Prawdziwa jest także analogiczna równość dla całek krzywoliniowych po łuku położonym w przestrzeni. Równości te niektórzy autorzy przyjmują jako definicję całki krzywoliniowej zorientowanej.

Rys. 2.1.8 Ilustracja do twierdzenia o zależności między dwoma rodzajami całek krzywoliniowych

2.2 ZAMIANA CAŁKI KRZYWOLINIOWEJ ZORIENTOWANEJ NA CAŁKĘ POJEDYNCZĄ

Tw. 2.2.1 (o zamianie całki krzywoliniowej na całkę pojedynczą)

1. Jeżeli

1. łuk Γ = {(x(t), y(t)) : t ∈ [α,β]} jest niezamknięty i gładki,

2. orientacja łuku Γ jest zgodna z jego polaryzacją,

3. pole wektorowe
jest ciągłe na Γ,

to


.

2. Podobnie, jeżeli

1. łuk Γ = {(x(t), y(t), z(t)) : t ∈ [α,β]}jest niezamknięty i gładki,

2. orientacja łuku Γ jest zgodna z jego polaryzacją,

3. pole wektorowe
jest ciągłe na Γ,

to


.

Uwaga. Powyższe wzory w formie wektorowej przyjmują jednolitą postać:


,

gdzie
jest parametryzacją łuku Γ oraz
lub
.

Jeżeli pole wektorowe
jest ciągłe na łuku gładkim Γ opisanym równaniem y = y(x), gdzie a ≤ x ≤ b i orientacja łuku Γ jest zgodna ze wzrostem zmiennej x, to


.

2.3 NIEZALEŻNOŚĆ CAŁKI OD DROGI CAŁKOWANIA

Def. 2.3.1 (pole potencjalne, potencjał pola)

Pole wektorowe
określone na obszarze D nazywamy polem potencjalnym, gdy istnieje funkcja U: D → R taka, że


.

Funkcję U nazywamy potencjałem pola wektorowego
.

Uwaga. Dla pola wektorowego na płaszczyźnie
powyższy warunek ma postać


.

Podobnie, dla pola wektorowego w przestrzeni
, mamy


.

Tw. 2.3.2 (całka krzywoliniowa z pola potencjalnego)

1. Niech

1. pole wektorowe
będzie ciągłe na obszarze D ⊂ R²,

2. pole wektorowe
będzie potencjalne na obszarze D z potencjałem U.

Wtedy


,

gdzie
jest dowolnym zorientowanym kawałkami gładkim łukiem o początku w punkcie A = (x₁,y₁) i końcu w punkcie B = (x₂,y₂), całkowicie zawartym w obszarze D.

2. Podobnie, niech

1. pole wektorowe
będzie ciągłe na obszarze V ⊂ R³,

2. pole wektorowe
będzie potencjalne na obszarze V z potencjałem U.

Wtedy


,

gdzie
jest dowolnym zorientowanym kawałkami gładkim łukiem o początku w punkcie A = (x₁,y₁,z₁) i końcu w punkcie B = (x₁,y₁,z₁), całkowicie zawartym w obszarze V.

Uwaga. W formie wektorowej powyższe wzory przyjmują jednolitą postać:


.

Inaczej mówiąc, całka zorientowana w polu potencjalnym nie zależy od drogi całkowania i jest równa różnicy potencjałów w punktach końcowym i początkowym drogi całkowania. W szczególności w polu potencjalnym
mamy


,

gdzie Γ jest dowolnym łukiem zamkniętym zawartym w rozważanym obszarze.

Tw. 2.3.3 (warunek konieczny i wystarczający potencjalności pola)

1. Niech

1. obszar D ⊂ R² będzie wypukły,

2. pole wektorowe
będzie różniczkowalne w sposób ciągły na D.

Wówczas pole wektorowe
jest potencjalne na D wtedy i tylko wtedy, gdy


dla każdego punktu
.

2. Niech

1. obszar V ⊂ R³ będzie wypukły,

2. pole wektorowe
będzie różniczkowalne w sposób ciągły na V.

Wówczas pole wektorowe
jest potencjalne na V wtedy i tylko wtedy, gdy


,
,


dla każdego punktu
.

Uwaga. Zamiast wypukłości obszarów D i V można założyć, że są one obszarami jednospójnymi odpowiednio na płaszczyźnie lub w przestrzeni.

Def. 2.3.4 (rotacja pola wektorowego)

Niech pole wektorowe
będzie różniczkowalne w sposób ciągły na obszarze V ⊂ R³. Rotacją pola wektorowego
nazywamy pole wektorowe określone wzorem:


.

Fakt 2.3.5 (kryterium potencjalności pola wektorowego)

Pole wektorowe
na obszarze V ⊂ R³ jest potencjalne wtedy i tylko wtedy, gdy
.

2.4 TWIERDZENIE GREENA

Def. 2.4.1 (znak orientacji)

Niech Γ będzie kawałkami gładkim łukiem zamkniętym (bez samoprzecięć) na płaszczyźnie, tzn. krzywą Jordana. Mówimy, że orientacja łuku Γ jest dodatnia względem swego wnętrza D, gdy podczas ruchu łuku Γ w kierunku jego orientacji obszar D leży cały czas po lewej stronie łuku. W przeciwnym przypadku mówimy, że orientacja łuku jest ujemna.

Rys. 2.4.1 Łuk Γ1 jest zorientowany dodatnio względem obszaru D1		Rys. 2.4.2 Łuk Γ2 jest zorientowany ujemnie względem obszaru D2

Tw. 2.4.2 (wzór Greena)

Niech

1. obszar domknięty D ⊂ R² będzie normalny względem obu osi układu,

2. brzeg Γ obszaru D będzie zorientowany dodatnio,

3. pole wektorowe
będzie różniczkowalne w sposób ciągły na D.

Wtedy


.

Uwaga. Wzór Greena jest prawdziwy także dla obszaru D, który można podzielić na skończoną liczbę obszarów normalnych (względem obu osi).

Def. 2.4.3 (cyrkulacja pola wektorowego)

Cyrkulacją pola wektorowego
po łuku zamkniętym zorientowanym Γ nazywamy całkę krzywoliniową zorientowaną


.

2.5 ZASTOSOWANIA CAŁEK KRZYWOLINIOWYCH ZORIENTOWANYCH

Fakt 2.5.1 (zastosowania w geometrii)

Pole obszaru D ⊂ R² ograniczonego łukiem zamkniętym kawałkami gładkim Γ, dodatnio zorientowanym względem obszaru D, wyraża się wzorami:


.

Fakt 2.5.2 (zastosowania w fizyce)

1. Praca w polu wektorowym
   wykonana wzdłuż łuku zorientowanego Γ, od punktu początkowego do końcowego, wy­raża się wzorem:


.

2. Ilość płaskiej (umownej) cieczy przepływającej w jednostce czasu przez łuk zorientowany Γ wyraża się wzorem:


,

gdzie
oznacza prędkość przepływu cieczy w punkcie (x,y) tego łuku.

3. CAŁKI POWIERZCHNIOWE NIEZORIENTOWANE

3.1 PŁATY POWIERZCHNIOWE

Def. 3.1.1 (funkcja wektorowa dwóch zmiennych w przestrzeni)

1. Niech D będzie obszarem na płaszczyźnie. Funkcją wektorową dwóch zmiennych w przestrzeni nazywamy odwzorowanie
   . Funkcję taką będziemy zapisywać w postaci


, gdzie
.

Rys. 3.1.1 Funkcja wektorowa

2. Mówimy, że funkcja wektorowa
   jest różnowartościowa, gdy dla dowolnych punktów (u₁,v₁), (u₂,v₂) ∈ D prawdziwa jest implikacja


.

3. Mówimy, że funkcja wektorowa
   jest ciągła, gdy funkcje x, y, z są ciągłe na D.

4. Mówimy, że funkcja wektorowa
   jest różniczkowalna w sposób ciągły, gdy funkcje x, y, z mają ciągłe wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na obszarze D.

Def. 3.1.2 (płat powierzchniowy)

Niech D będzie prostokątem na płaszczyźnie oraz niech funkcja wektorowa
, gdzie
dla
, będzie ciągła i różnowartościowa na prostokącie D. Płatem powierzchnio­wym nazywamy zbiór wartości funkcji wektorowej
, tj. zbiór:


.

Zbiór w przestrzeni taki, że każdy jego punkt ma otoczenie domknięte, które jest płatem prostym, nazywamy płatem po­wierzchniowym.

Uwaga. Funkcję wektorową
lub układ funkcji x, y, z nazywamy parametryzacją płata Σ. Płat prosty można wyobrazić sobie jako powyginany w przestrzeni prostokąt. Przy tym przekształcaniu prostokąta nie można rozrywać ani sklejać.

Rys. 3.1.2 Zbiór Σ nie jest płatem powierzchniowym		Rys. 3.1.3 Zbiór Σ jest płatem powierzchniowym

Def. 3.1.3 (płat powierzchniowy gładki)

Płat powierzchniowy
, gdzie D jest obszarem domkniętym z brzegiem kawałkami gładkim, a funkcja wektorowa
jest różnowartościowa i różniczkowalna w sposób ciągły na obszarze D, nazy­wamy płatem gładkim, gdy na obszarze D spełniony jest warunek


,

gdzie


oraz
.

Płat, który można podzielić na skończoną liczbę płatów gładkich, nazywamy płatem kawałkami gładkim.

Rys. 3.1.4 Płat powierzchniowy gładki			Rys. 3.1.5 Płat powierzchniowy kawałkami gładki

Fakt 3.1.4 (równania parametryczne ważniejszych płatów powierzchniowych)

1. Płaszczyzna przechodząca przez punkt
   i rozpięta na wektorach
   ,
   ma przedstawienie parametryczne:


.

W formie wektorowej parametryzacja płaszczyzny ma postać:


.

2. Sfera o środku w początku układu współrzędnych i promieniu r > 0 ma przedstawienie parametryczne:


.

3. Powierzchnia stożka określona równaniem
   , gdzie
   , ma przedstawienie parametryczne:


.

4. Powierzchnia paraboloidy obrotowej określona równaniem
   , gdzie
   , ma przedstawienie parametryczne:


.

5. Powierzchnia walcowa opisana równaniem
   , gdzie
   , ma przedstawienie parametryczne:


.




Uwaga. Równania fragmentów tych płatów powierzchniowych otrzymamy zmniejszając odpowiednio zakresy parametrów u, v.

Fakt 3.1.5 (o postaci płatów powierzchniowych)

Płatami powierzchniowymi są wykresy funkcji ciągłych postaci:

1. 
   , gdzie D₁ jest obszarem na płaszczyźnie xOy,

2. 
   , gdzie D₂ jest obszarem na płaszczyźnie yOz,

3. 
   , gdzie D₃ jest obszarem na płaszczyźnie xOz.

Jeżeli funkcje te mają ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na rozważanych obszarach, to te płaty powierzchniowe są gładkie.

Uwaga. Równania ważniejszych płatów powierzchniowych, które są wykresami funkcji postaci z = f(x,y) podane są w części „Analiza matematyczna 2” w fakcie 3.2.5.

Tw. 3.1.6 (pole płata powierzchniowego)

Niech
będzie gładkim płatem powierzchniowym. Wtedy pole tego płata wyraża się wzorem:


.

Uwaga. Jeżeli płat gładki Σ jest wykresem funkcji z = z(x,y), gdzie (x,y) ∈ D, to jego pole wyraża się wzorem:


.

Analogicznie wyglądają wzory na pola płatów gładkich będących wykresami funkcji x = x(y,z) oraz y = y(x,z).

3.2 DEFINICJA I WŁASNOŚCI CAŁKI POWIERZCHNIOWEJ NIEZORIENTOWANEJ

Oznaczenia w definicji całki powierzchniowej niezorientowanej

Niech
będzie gładkim płatem powierzchniowym, zakładamy przy tym, że D jest domkniętym ob­sza­rem regularnym na płaszczyźnie. Wprowadzamy następujące oznaczenia:

P = {ΔD₁, ΔD₂, ..., ΔD_n}, - podział obszaru D na obszary regularne ΔD_k (o rozłącznych wnętrzach), 1 ≤ k ≤ n;

d_k - średnica obszaru ΔD_k, tj. kres górny odległości punktów zbioru ΔD_k, 1 ≤ k ≤ n;

δ(P) = max{d_k: 1 ≤ k ≤ n } - średnica podziału P;


, gdzie
dla 1 ≤ k ≤ n - zbiór punktów pośrednich podziału P.

ΔΣ_k - część płata Σ odpowiadająca obszarowi ΔD_k w podanej wyżej parametryzacji
, 1 ≤ k ≤ n;

|ΔΣ_k| - pole płata ΔΣ_k, 1 ≤ k ≤ n;


- punkt płata ΔΣ_k odpowiadający punktowi
w podanej parametryzacji
, 1 ≤ k ≤ n.

Rys. 3.2.1 Ilustracja do definicji całki powierzchniowej niezorientowanej

Def. 3.2.1 (całka powierzchniowa niezorientowana)

Niech Σ będzie płatem powierzchniowym gładkim oraz niech funkcja
będzie ograniczona. Całkę powierzchniową niezorientowaną z funkcji f po płacie Σ definiujemy wzorem:


,

o ile granica po prawej stronie znaku równości istnieje oraz nie zależy od sposobu podziału P obszaru D, ani od sposobu wy­boru punktów pośrednich Ξ.

Uwaga. Wartość całki powierzchniowej niezorientowanej nie zależy od sposobu parametryzacji płata. Całkę powierzchniową niezorientowaną z funkcji f po płacie Σ oznaczamy krótko symbolem
.

Def. 3.2.2 (całka powierzchniowa po płacie kawałkami gładkim)

Niech Σ będzie płatem kawałkami gładkim złożonym z płatów gładkich Σ₁, Σ₂, …, Σ_m oraz niech f będzie funkcją określoną i ograniczoną na płacie Σ. Całkę powierzchniową niezorientowaną z funkcji f po płacie Σ definiujemy wzorem:;


,

o ile całki po prawej stronie znaku równości istnieją.

Tw. 3.2.3 (liniowość całki powierzchniowej niezorientowanej)

Jeżeli funkcje f i g są całkowalne na kawałkami gładkim płacie powierzchniowym Σ oraz jeżeli c jest dowolną stałą, to:

1. funkcja f + g jest całkowalna na płacie Σ oraz


,

2. funkcja cf jest całkowalna na płacie Σ oraz


.

Def. 3.2.4 (całka powierzchniowa niezorientowana z funkcji wektorowej)

Niech Σ będzie kawałkami gładkim płatem powierzchniowym oraz niech funkcje P, Q, R będą całkowalne na Σ. Całkę po­wierzchniową niezorientowaną po płacie Σ z funkcji wektorowej
określamy wzorem:


.

3.3 ZAMIANA CAŁKI POWIERZCHNIOWEJ NIEZORIENTOWANEJ NA CAŁKĘ PODWÓJNĄ

Tw. 3.3.1 (o zamianie całki powierzchniowej na całkę podwójną)

Jeżeli

1. obszar D ⊂ R² jest regularny,

2. płat
jest gładki,

3. funkcja
jest ciągła,

to


.

Uwaga. Jeżeli płat gładki Σ jest wykresem funkcji z = z(x,y), gdzie (x,y) ∈ D oraz funkcja f jest ciągła na Σ, to wzór na zamianę całek przyjmuje postać:


.

Analogiczne wzory otrzymujemy w przypadku płatów powierzchniowych opisanych równaniami x = x(y,z) lub y = y(x,z).

3.4 ZASTOSOWANIA CAŁEK POWIERZCHNIOWYCH NIEZORIENTOWANYCH

Fakt 3.4.1 (zastosowania w geometrii)

Pole kawałkami gładkiego płata Σ wyraża się wzorem:


.




Fakt 3.4.2 (zastosowania w fizyce)

1. Masa płata materialnego Σ o gęstości powierzchniowej masy σ wyraża się wzorem:


.

2. Momenty statyczne względem płaszczyzn układu współrzędnych płata materialnego Σ o gęstości powierzchniowej masy σ wyrażają się wzorami:


,


,


.

3. Współrzędne środka masy płata Σ o gęstości powierzchniowej masy σ wyrażają się wzorami:


,
,
.

4. Momenty bezwładności względem osi oraz względem początku układu współrzędnych płata materialnego Σ o gęstości powierzchniowej masy σ wyrażają się wzorami:


,


,


,


.

5. Natężenie pola elektrycznego w punkcie
   pochodzące od ładunku elektrycznego rozłożonego na płacie Σ o gęstości powierzchniowej ładunku σ wyraża się wzorem:


,

gdzie ε₀ oznacza stałą dielektryczną próżni.

6. Siła przyciągania grawitacyjnego masy m skupionej w punkcie
   przez płat materialny Σ o gęstości powierzchniowej masy σ wyraża się wzorem:


,

gdzie G oznacza stałą grawitacji.

Fakt 3.4.3 (środki masy płatów symetrycznych)

1. Jeżeli płat powierzchniowy ma środek symetrii i gęstość powierzchniowa masy jest funkcją symetryczną względem tego środka (np. jest stała), to środek masy płata pokrywa się z jego środkiem symetrii.

2. Jeżeli płat powierzchniowy ma oś lub płaszczyznę symetrii i gęstość powierzchniowa masy jest funkcją symetryczną względem tej osi lub płaszczyzny (np. jest stała), to środek masy tego płata leży na jego osi lub płaszczyźnie symetrii.

4. CAŁKI POWIERZCHNIOWE ZORIENTOWANE I ELEMENTY ANALIZY WEKTOROWEJ

4.1 DEFINICJA I WŁASNOŚCI CAŁKI POWIERZCHNIOWEJ ZORIENTOWANEJ

Def. 4.1.1 (płat powierzchniowy zorientowany)

Płat powierzchniowy dwustronny, na którym wyróżniono jedną ze stron, nazywamy płatem powierzchniowym zorientowa­nym. Wyróżnioną stronę płata zorientowanego nazywamy stroną dodatnią. Płat zorientowany oznaczamy tym samym symbo­lem co płat. Płat powierzchniowy zorientowany przeciwnie do płata zorientowanego Σ oznaczamy przez - Σ.

Dla płatów zamkniętych ograniczających pewien obszar w przestrzeni za stronę dodatnią płata przyjmujemy z reguły jego stronę zewnętrzną. Dla płatów będących wykresami funkcji postaci z = f(x,y), x = g(y,z), y = h(x,z) za stronę dodatnią przyj­mujemy zwykle górną część takiego płata.

Rys. 4.1.1 Płat powierzchniowy jednostronny		Rys. 4.1.2 Płat powierzchniowy dwustronny; wykres funkcji z = f(x,y)

Fakt 4.1.2 (postać wersora normalnego płata)

Niech płat gładki zorientowany Σ ma przedstawienie parametryczne
. Wtedy wersor normalny
do płata Σ wystawiony w punkcie (x₀, y₀, z₀) tego płata, odpowiadającym punktowi (u₀, v₀) obszaru D w powyższej parametryzacji wyraża się wzorem:


,

gdzie wektory
oraz
są obliczone w punkcie (u₀, v₀). Znak stojący przed wersorem
ustala się na podstawie orienta­cji płata Σ. Przyjmujemy, że wersor normalny jest skierowany od strony ujemnej do dodatniej płata zorientowanego.

Jeżeli płat gładki Σ jest wykresem funkcji z = z(x,y), gdzie (x,y) ∈ D, to wersor normalny
do płata Σ wystawiony w punkcie (x₀, y₀, z₀) tego płata, gdzie z₀ = z(x₀, y₀), wyraża się wzorem:


,

gdzie
,
. Wersor normalny
można przedstawić w postaci
, gdzie α, β, γ oznaczają kąty między tym wersorem, a dodatnimi częściami osi Ox, Oy, Oz.

Rys. 4.1.3 Wersor normalny do płata zorientowanego Σ				Rys. 4.1.4 Kosinusy kierunkowe wektora normalnego

Def. 4.1.3 (całka powierzchniowa zorientowana)

Niech
będzie polem wektorowym na płacie gładkim zorientowanym Σ. Całkę powierzchniową zorientowaną z pola wektorowego
po płacie Σ definiujemy wzorem:




gdzie
oznacza wersor normalny do płata zorientowanego Σ wystawiony w punkcie (x,y,z) tego płata.

Uwaga. W zapisie wektorowym powyższa definicja przyjmuje postać:


,

gdzie
. Całkę powierzchniową zorientowaną z pola wektorowego
po płacie Σ oznaczamy też krótko
, a w notacji wektorowej
.

Rys. 4.1.5 Ilustracja do definicji całki powierzchniowej zorientowanej z pola wektorowego po płacie zorientowanym Σ

Def. 4.1.4 (całka powierzchniowa po płacie kawałkami gładkim)

Niech Σ będzie kawałkami gładkim płatem zorientowanym, utworzonym z płatów gładkich Σ₁, Σ₂, …, Σ_m, o orientacjach po­krywających się z orientacją płata Σ. Ponadto niech
będzie polem wektorowym określonym na płacie Σ. Całkę powierzch­niową zorientowaną z pola wektorowego
po płacie Σ definiujemy wzorem:


,

o ile całki po prawej stronie znaku równości istnieją. Jeżeli Σ jest płatem zorientowanym zamkniętym ograniczającym pewien obszar w przestrzeni, to wtedy piszemy
w miejsce
.

Tw. 4.1.5 (liniowość całki powierzchniowej zorientowanej)

Jeżeli istnieją całki powierzchniowe z pól wektorowych
i
po kawałkami gładkim płacie powierzchniowym zorientowa­nym Σ oraz jeżeli c jest dowolną stałą, to

1. istnieje całka z pola wektorowego
   po płacie Σ oraz


,

2. istnieje całka z pola wektorowego
   po płacie Σ oraz


,

3. istnieje całka z pola wektorowego
   po płacie o orientacji przeciwnej - Σ oraz


.

4.2 ZAMIANA CAŁKI POWIERZCHNIOWEJ ZORIENTOWANEJ NA CAŁKĘ PODWÓJNĄ

Tw. 4.2.1 (o zamianie całki powierzchniowej na całkę podwójną)

Jeżeli

1. 
   jest gładkim płatem zorientowanym, gdzie D jest obszarem regularnym na płaszczyźnie,

2. pole wektorowe
   jest ciągłe na płacie Σ,

to


.

Znak stojący przed całką podwójną ustala się na podstawie orientacji płata Σ.

Uwaga. W zapisie wektorowym wzór ten przyjmuje postać


.

Jeżeli gładki płat zorientowany Σ jest wykresem funkcji z = z(x,y), gdzie (x,y) ∈ D, oraz pole wektorowe
jest ciągłe na Σ, to


.

Podobne równości mają miejsce, gdy płat Σ jest wykresem funkcji x = x(y,z) lub y = y(x,z).

4.3 ELEMENTY ANALIZY WEKTOROWEJ

Def. 4.3.1 (operator Hamiltona - nabla)

Operator Hamiltona (nabla) określony jest wzorem:


.

Def. 4.3.2 (gradient funkcji)

Niech f będzie funkcją różniczkowalną na obszarze V ⊂ R³. Gradient funkcji f jest określony wzorem:


.

Fakt 4.3.3 (własności gradientu)

Niech funkcje f i g będą różniczkowalne na obszarze V ⊂ R³ oraz niech a, b ∈ R. Wtedy

1. 
   ,

2. 
   ,

3. 
   ,

4. 
   , gdzie h jest funkcją różniczkowalną na pewnym przedziale,

5. 
   ,

6. 
   , gdzie
   jest wersorem.

Def. 4.3.4 (pole wektorowe potencjalne)

Pole wektorowe
nazywamy polem potencjalnym na obszarze V ⊂ R³, jeżeli istnieje funkcja
taka, że


.

Funkcję U nazywamy potencjałem pola wektorowego
.

Def. 4.3.5 (rotacja pola wektorowego)

Niech
będzie różniczkowalnym polem wektorowym określonym na obszarze V ⊂ R³. Rotację pola wektoro­wego
określamy wzorem:


.

Fakt 4.3.6 (własności rotacji)

Niech f będzie funkcją różniczkowalną na obszarze V ⊂ R³ oraz niech pola wektorowe
i
będą różniczkowalne na tym obszarze. Wtedy

1. 
   , gdzie a, b ∈ R,

2. 
   ,

3. 
   , gdzie U jest funkcją dwukrotnie różniczkowalną w sposób ciągły na V.

Def. 4.3.7 (dywergencja pola wektorowego)

Niech
będzie polem wektorowym różniczkowalnym w sposób ciągły na obszarze V ⊂ R³. Dywergencję pola wektorowego
określamy wzorem:


.

Fakt 4.3.8 (własności dywergencji)

Niech f będzie funkcją różniczkowalną w sposób ciągły na obszarze V ⊂ R³ oraz niech pola wektorowe
i
będą różniczkowalne w sposób ciągły na tym obszarze. Wtedy

1. 
   , gdzie a, b ∈ R,

2. 
   ,

3. 
   ,

4. 
   , gdzie pole wektorowe
   ma współrzędne dwukrotnie różniczkowalne w sposób ciągły na V.

4.4 TWIERDZENIE GAUSSA I STOKESA

Tw. 4.4.1 (wzór Gaussa)

Jeżeli

1. Σ jest zorientowanym kawałkami gładkim płatem zamkniętym, który jest brzegiem obszaru domkniętego V ⊂ R³,

2. pole wektorowe
   jest różniczkowalne w sposób ciągły na V,

to


.

Po rozwinięciu powyższa równość (wzór Gaussa) przyjmuje postać:


.

Rys. 4.4.1 Ilustracja do wzoru Gaussa

Tw. 4.4.2 (wzór Stokesa)

Jeżeli

1. Σ jest płatem kawałkami gładkim zorientowanym, którego brzeg Γ jest łukiem kawałkami gładkim zorientowanym zgodnie z orientacją płata Σ,

2. pole wektorowe
   jest różniczkowalne w sposób ciągły na płacie Σ (łącznie z brzegiem Γ),

to


.

Po rozwinięciu powyższa równość (wzór Stokesa) przyjmuje postać:


.

Rys. 4.4.2 Ilustracja do wzoru Stokesa

Uwaga. Wzór Greena podany w rozdziale 2.4 jest szczególnym przypadkiem wzoru Stokesa. Rzeczywiście, przyjmując, że Σ ⊂ xOy jest płatem zorientowanym o brzegu Γ oraz, że pole wektorowe
określone na tym płacie ma postać
, przy czym funkcje P i Q zależą tylko od zmiennych x, y, otrzymamy


.

4.5 ZASTOSOWANIA CAŁEK POWIERZCHNIOWYCH ZORIENTOWANYCH

Fakt 4.5.1 (zastosowania w geometrii)

Objętość obszaru V ograniczonego płatem zamkniętym Σ zorientowanym na zewnątrz wyraża się wzorami:


.




Fakt 4.5.2 (zastosowania w fizyce)

1. Ilość cieczy przepływającej w jednostce czasu przez płat zorientowany Σ (ze strony ujemnej na dodatnią) wyraża się wzorem:


,

gdzie
oznacza prędkość cieczy w punkcie (x,y,z) tego płata.

2. Parcie cieczy o ciężarze właściwym C na dodatnią stronę płata zorientowanego Σ, który jest zanurzony w tej cieczy, wyraża się wzorem:


.

---