Zadanie nr 20, Zadanie nr 20


Zadanie nr 20

Zaproponować postać analityczną modelu tendencji rozwojowej przedstawiające kształtowanie się wielkości obrotów w pewnej spółce handlowej (yt w tys. zł) z latach

1968 - 1997, mając dane zawarte w poniższej tablicy:

Lata

yt

Lata

yt

1968

8

1983

40

1969

5

1984

38

1970

15

1985

45

1971

13

1986

51

1972

16

1987

47

1973

18

1988

60

1974

17

1989

64

1975

21

1990

61

1976

19

1991

63

1977

23

1992

72

1978

25

1993

75

1979

20

1994

79

1980

24

1995

76

1981

27

1996

90

1982

22

1997

92

Za cel postawiliśmy sobie osiągnięcie modelu, który będzie w jak najlepszym stopniu odwzorowywał rzeczywistość (jak najwyższe R2 oraz jak najniższe V). W jego szacowaniu posłużymy się metodą najmniejszych kwadratów. Obliczenia zostaną wykonane za pomocą programu Excel tu zostaną zademonstrowane ostateczne wyniki. Przy weryfikacji hipotez istotności zakładamy współczynnik α=0,05.

Rozwiązanie

Poniżej graficzna prezentacja danych do zadania

0x01 graphic

Do zbadania zależności danych oraz w celu zaproponowania modelu analitycznego modelu, przeprowadzimy analizę danych po przez :

  1. funkcję 0x01 graphic
    ,

  2. funkcję 0x01 graphic
    ,

  3. funkcję 0x01 graphic
    .

Ad.1

Parametry funkcji liniowej, przedstawionej poniżej :

0x01 graphic

będziemy szacować za pomocą MNK. Wektor parametrów rozwiązania obliczamy wg wzoru:

0x01 graphic

za macierz X podstawiamy kolejne liczby, będące numerami kolejnych obserwacji tj. dla roku 1967 - 1 , dla 1997 roku - 30, otrzymując ( patrz poniżej) macierz X. Macierz Y otrzymujemy przez przypisanie do niej wyników obserwacji.

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
Kolejnym krokiem jest transpozycja macierzy X :

0x01 graphic
0x01 graphic

Macierz XT mnożymy przez macierz X otrzymując macierz o wymiarach 2 x 2

0x01 graphic

Aby otrzymać macierz odwrotną, badamy czy macierz ta, nie jest macierzą osobliwą, tzn

det (X) = 0

Obliczamy wyznacznik macierzy, który dla tego przypadku wynosi: 67425 tzn.0x01 graphic
. Macierz odwrotna istnieje, więc przedstawiamy ją poniżej:

0x01 graphic

Następnym krokiem jest obliczenie ilorazu XTY, który jest wektorem kolumnowym i wynosi:

0x01 graphic

Ostatnim krokiem w celu obliczenia wektora rozwiązań równania jest obliczenie iloczynu macierzy (XTX)-1(XTY)

0x01 graphic

Powyższa macierz jest macierzą parametrów naszego równania. Możemy przypisać odpowiednio

0x01 graphic
oraz 0x01 graphic

Uzyskujemy dzięki temu równanie o parametrach:

0x01 graphic
0x01 graphic

Kolejnym krokiem w analizie, jest oszacowanie parametrów rozkładu składnika losowego pozwalające wnioskować o dobroci dopasowania modelu do danych empirycznych. Do pierwszego parametru należą średnie błędów szacunku estymatorów modelu. W tym celu należy obliczyć najpierw wariancje resztową 0x01 graphic
:

0x01 graphic
0x01 graphic

gdzie:

n - liczba obserwacji (dla naszego przykładu 30),

k - liczba parametrów modelu (dla naszego przypadku 2).

Obliczmy najpierw iloczyn macierzy YTY, który wynosi 70152. Iloczyn macierzy XTY mamy już obliczony powyżej, dla przypomnienia :

0x01 graphic

pozostaje nam obliczyć iloczyn tej macierzy i wektora rozwiązań czyli 0x01 graphic
, a wynosi on: 68855. Przejdźmy do obliczenia 0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

Możemy już teraz przejść do obliczenia średnich błędów szacunku modelu, które liczymy wg wzoru:

0x01 graphic

gdzie cji to elementy stojące na przekątnej macierzy (XT X)-1.

Obliczamy średnie błędy szacunku dla poszczególnych parametrów strukturalnych modelu:

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

Model nasz możemy, więc zapisać w postaci:

0x01 graphic

Saj = (2,55) (0,14)

Wyznaczmy przedziały ufności dla parametrów modelu na poziomie istotności α=0,05 oraz dla n-k =28 stopni swobody. Z tablic rozkładu t-Studenta odczytujemy tα =2,048. Przedzialy ufności kolejnych parametrów modelu liczymy z wzoru :

0x01 graphic

dla kolejnych parametrów naszego modelu uzyskujemy:

-9,1284<a0<1,3164

Mówi nam to, że z prawdopodobieństwem 95% 0x01 graphic

2,6027<a1<3,1753

Z prawdopodobieństwem 95% 0x01 graphic

W celu zbadania istotności parametrów strukturalnych modelu zakładamy, że składnik losowy ma rozkład normalny N(0,δ2) i weryfikujemy hipotezę

0x01 graphic

wobec alternatywnej

0x01 graphic

W tym celu wyznaczamy ze statystyki

0x01 graphic

t0 dla a0, które wynosi :

0x01 graphic

oraz t1 dla a1

0x01 graphic

Z tablic rozkładu t-Studenta dla n-k stopni swobody i α = 0,05 odczytujemy: t0,05,28 = 2,048.

Przedstawmy tę sytuację na wykresie:

0x08 graphic

Wyniki mówią nam, że parametr a0 dla którego przyjmujemy hipotezę H0 jest statystycznie równy 0, oznacza to, że parametr ten nie ma wpływu na wielkość obrotów (przy t=0 , obroty są równe 0). Parametr a1 jest istotnie różny od zera. Ma on wpływ na wielkość obrotów. Zapiszmy więc nasz model :

0x01 graphic

Saj : (2,55) (0,14)

tj : (-1,53) (20,64)

Aby sprawdzić dopasowanie oszacowanego modelu do danych rzeczywistych wyznaczamy współczynnik determinacji R2 oraz odchylenie standardowe składnika resztowego modelu s.

Odchylenie standardowe reszt jest niczym innym jak pierwiastkiem kwadratowym z 0x01 graphic
czyli

0x01 graphic

w naszym przypadku wynosi ono 6,81 i mówi nam że przeciętne odchylenie wartości empirycznych od wartości rzeczywistych wynosi 6,81 tyś. zł.

Współczynnik determinacji obliczamy wg wzoru:

0x01 graphic

n - liczba obserwacji (30)

0x01 graphic
- średnia z macierzy = 40,867

Pozostałe wartości tego równania mamy już obliczone powyżej i po podstawieniu otrzymujemy

0x01 graphic

Model nasz jest więc bardzo dobrze dopasowany do danych empirycznych, bo wyjaśnia aż 93,53 % obserwacji. Posiadając obliczony współczynnik determinacji 0x01 graphic
możemy obliczyć współczynnik zbieżności 0x01 graphic
, który liczymy jako różnice : 1 - R2 .

0x01 graphic

Niska wartość współczynnik zbieżności świadczy o dokładnym dopasowaniu modelu do danych empirycznych. Współczynnik ten mierzy tę część całkowitej zaobserwowanej zmienności zmiennej Y, która wynika z działania czynników losowych ( przypadkowych).

Współczynnik korelacji wielorakiej, to kolejna miara dopasowania modelu do danych empirycznych. Jest on pierwiastkiem kwadratowym z R2. Dla naszego modelu:

0x01 graphic
0x01 graphic

Ostatnią miarą dopasowania modelu jest współczynnik zmienności losowej, czyli

0x01 graphic

Dla naszego modelu, uzyskujemy

0x01 graphic

Współczynnik V informuje nas , jaki procent średniego poziomu zaobserwowanej zmienności zmiennej objaśnianej Y stanowią odchylenia przypadkowe w danym równaniu trendu. Sytuacja ze statystycznego punktu widzenia jest tym lepsza im wartość V jest bliższa 0.

Współczynnik ten jest wyższy od wartości10%, co oznacza, że cechy wykazują zróżnicowanie statystycznie istotne.

Następnym etapem naszej analizy jest odpowiedz na pytanie: czy występuje autokorelacja?

Aby odpowiedzieć na to pytanie, zastosujmy statystykę Durbina-Watsona.

Musimy wykonać obliczenia pomocnicze, które przedstawiamy w tabeli poniżej.

t

yt

Yt

et

et2

et-1

et-12

et -et-1

et et-1

(et -et-1)2

1

8

-1,017

9,017

81,306

-

-

-

-

-

2

5

1,871

3,129

9,791

9,017

81,306

-5,888

28,214

34,669

3

15

4,76

10,24

104,858

3,129

9,791

7,111

32,041

50,566

4

13

7,648

5,352

28,644

10,24

104,858

-4,888

54,804

23,893

5

16

10,537

5,463

29,844

5,352

28,644

0,111

29,238

0,012

6

18

13,426

4,574

20,921

5,463

29,844

-0,889

24,988

0,790

7

17

16,314

0,686

0,471

4,574

20,921

-3,888

3,138

15,117

8

21

19,203

1,797

3,229

0,686

0,471

1,111

1,233

1,234

9

19

22,091

-3,091

9,554

1,797

3,229

-4,888

-5,555

23,893

10

23

24,98

-1,98

3,920

-3,091

9,554

1,111

6,120

1,234

11

25

27,868

-2,868

8,225

-1,98

3,920

-0,888

5,679

0,789

12

20

30,757

-10,757

115,713

-2,868

8,225

-7,889

30,851

62,236

13

24

33,645

-9,645

93,026

-10,757

115,713

1,112

103,751

1,237

14

27

36,534

-9,534

90,897

-9,645

93,026

0,111

91,955

0,012

15

22

39,422

-17,422

303,526

-9,534

90,897

-7,888

166,101

62,221

16

40

42,311

-2,311

5,341

-17,422

303,526

15,111

40,262

228,342

17

38

45,199

-7,199

51,826

-2,311

5,341

-4,888

16,637

23,893

18

45

48,088

-3,088

9,536

-7,199

51,826

4,111

22,231

16,900

19

51

50,977

0,023

0,001

-3,088

9,536

3,111

-0,071

9,678

20

47

53,865

-6,865

47,128

0,023

0,001

-6,888

-0,158

47,445

21

60

56,754

3,246

10,537

-6,865

47,128

10,111

-22,284

102,232

22

64

59,642

4,358

18,992

3,246

10,537

1,112

14,146

1,237

23

61

62,531

-1,531

2,344

4,358

18,992

-5,889

-6,672

34,680

24

63

65,419

-2,419

5,852

-1,531

2,344

-0,888

3,703

0,789

25

72

68,308

3,692

13,631

-2,419

5,852

6,111

-8,931

37,344

26

75

71,196

3,804

14,470

3,692

13,631

0,112

14,044

0,013

27

79

74,085

4,915

24,157

3,804

14,470

1,111

18,697

1,234

28

76

76,973

-0,973

0,947

4,915

24,157

-5,888

-4,782

34,669

29

90

79,862

10,138

102,779

-0,973

0,947

11,111

-9,864

123,454

30

92

82,751

9,249

85,544

10,138

102,779

-0,889

93,766

0,790

0x08 graphic

 

-

-

-

1297,01

-

1211,4658

-

743,2836

940,6022

Dla zastosowania tej statystyki musimy zastosować poniższe wzory

0x01 graphic

co po podstawieniu naszych danych z tabeli daje nam r = 0,593

0x01 graphic

po podstawieniu danych z tabeli pomocniczej otrzymujemy d = 0,725.

Z tablic wartości krytycznych statystyki Durbina-Watsona, dla α=0,05 oraz n=30 i k=2 odczytujemy odpowiednie statystyki dL=1,28 oraz du=1,57. Testujemy hipotezę

0x01 graphic

wobec hipotezy alternatywnej

0x01 graphic

Nanieśmy nasze dane na wykres.

0x01 graphic

Z powyższego wykresy wynika, że przyjmujemy hipotezę H1. W naszym modelu mamy do czynienia z dodatnią autokorelacją składników losowych.

Jesteśmy zmuszeni wprowadzić macierz 0x01 graphic
, którą określamy jako

0x08 graphic


Jest to macierz, której na przekątnej wpisujemy 1+r2 , jedynie pierwszy i ostatni element przekątnej to 1. w pola sąsiadujące z przekątną wpisujemy -r . W pozostałe pola wpisujemy 0. Nasz macierz Ω-1 będzie zatem miała postać :

0x01 graphic

Macierz Ω-1 ma wymiary 30 x 30 (ograniczony rozmiar tego arkusza uniemożliwia pokazanie całej macierzy). Uwzględniając macierz Ω-1, wektor rozwiązań naszego modelu znajdziemy z wzoru:

0x01 graphic

Pierwszy człon tego równania 0x01 graphic
jest równy:

0x01 graphic

Drugi człon tego równania 0x01 graphic
jest równy:

0x01 graphic

Po wymnożeniu obu macierzy otrzymujemy nowy wektor rozwiązań modelu :

0x01 graphic

Ostatecznie model nasz możemy zapisać :

0x01 graphic

Poniżej przedstawiamy graficzną prezentację danych otrzymanych przy pomocy powyższego wzoru. Dane te zostały naniesione na wykres danych empirycznych.

0x01 graphic

Ad.2

0x01 graphic
0x01 graphic

Zastąpmy zmienną x2 nową zmienną x' uzyskując model postaci

0x01 graphic

Zmienna x' to nic innego jak nasze x podniesione do kwadratu.

Uzyskujemy, więc macierz X w postaci:

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

Model ten, tak ja i poprzedni możemy obliczyć MNK, czyli wg wzoru:

0x01 graphic

Wynik naszej operacji na macierzach (XTX)-1, jest macierz:

0x01 graphic

Macierz XTY wygląda następująco:

0x01 graphic

Po wymnożeniu naszych macierzy, uzyskujemy wektor rozwiązań naszego modelu, czyli 0x01 graphic
:

0x01 graphic

Model nasz możemy zapisać w postaci:

0x01 graphic

Kolejnym krokiem będzie obliczenie wariancji resztowej 0x01 graphic
:

0x01 graphic
0x01 graphic

gdzie:

n - liczba obserwacji (dla naszego przykładu 30),

k - liczba parametrów modelu (dla naszego przypadku 2).

Iloczyn macierzy YTY wynosi 70152, natomiast iloczyn 0x01 graphic
- 69622,521. Po obliczeniu uzyskujemy, więc 0x01 graphic
=18,91.

Możemy już teraz przejść do obliczenia średnich błędów szacunku modelu, które liczymy- dla przypomnienia wg wzoru:

0x01 graphic

gdzie cji to elementy stojące na przekątnej macierzy (XT X)-1

Obliczamy średnie błędy szacunku dla poszczególnych parametrów strukturalnych modelu:

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

Model nasz możemy, więc zapisać w postaci:

0x01 graphic

Saj = (1,2066) (0,0029)

Wyznaczmy, tak jak w poprzedniej analizie, przedziały ufności dla parametrów modelu na poziomie istotności α=0,05 oraz dla n-k =28 stopni swobody. Z tablic rozkładu t-Studenta odczytujemy tα =2,048. Przedzialy ufności kolejnych parametrów modelu liczymy- dla przypomnienia z wzoru :

0x01 graphic

dla kolejnych parametrów naszego modelu uzyskujemy:

9,324<a0<14,266

Mówi nam to, że z prawdopodobieństwem 95% 0x01 graphic

0,086<a1<0,098

Z prawdopodobieństwem 95% 0x01 graphic

W celu zbadania istotności parametrów strukturalnych modelu zakładamy, że składnik losowy ma rozkład normalny N(0,δ2) i weryfikujemy hipotezę

0x01 graphic

wobec alternatywnej

0x01 graphic

W tym celu wyznaczamy ze statystyki

0x01 graphic

t0 dla a0, które wynosi :

0x01 graphic

oraz t1 dla a1

0x01 graphic

Z tablic rozkładu t-Studenta dla n-k stopni swobody i α = 0,05 odczytujemy: t0,05,28 = 2,048.

Przedstawmy tę sytuację na wykresie:

0x08 graphic

Już z wykresu widzimy, że wszystkie nasze parametry modelu są istotnie różne od zera. Oszacowane przez nas parametry modelu mają istotny wpływ na wielkość obrotów. Zapiszmy nasz model w postaci:

0x01 graphic

Saj : (1,2066) (0,0029)

tj : (9,77) (31,72)

Aby sprawdzić dopasowanie oszacowanego modelu do danych rzeczywistych wyznaczamy współczynnik determinacji R2 oraz odchylenie standardowe składnika resztowego modelu s.

Odchylenie standardowe reszt jest niczym innym jak pierwiastkiem kwadratowym z 0x01 graphic
czyli

0x01 graphic

w naszym przypadku wynosi ono 4,35 co oznacza, że przeciętne odchylenie wartości empirycznych od wartości rzeczywistych wynosi 4,35 tyś. zł. Obliczmy 0x01 graphic
, który obliczamy wg wzoru:

0x01 graphic

n - liczba obserwacji (30)

0x01 graphic
- średnia z macierzy = 40,867

Pozostałe wartości tego równania mamy już obliczone powyżej i po podstawieniu otrzymujemy

0x01 graphic

Model nasz jest więc bardzo dobrze dopasowany do danych empirycznych, bo wyjaśnia aż 97,36 % obserwacji. Posiadając obliczony współczynnik determinacji 0x01 graphic
możemy obliczyć

współczynnik zbieżności 0x01 graphic
, który liczymy jako różnice : 1 - R2 .

0x01 graphic

Niska wartość współczynnik zbieżności świadczy o dokładnym dopasowaniu modelu do danych empirycznych.

Współczynnik korelacji wielorakiej, to kolejna miara dopasowania modelu do danych empirycznych. Jest on pierwiastkiem kwadratowym z R2. Dla naszego modelu:

0x01 graphic
0x01 graphic

Ostatnią miarą dopasowania modelu jest współczynnik zmienności losowej, czyli

0x01 graphic

Dla naszego modelu, uzyskujemy

0x01 graphic

Współczynnik ten jest wyższy od wartości 10% co oznacza, że cechy wykazują zróżnicowanie statystycznie istotne.

A czy występuje autokorelacja? Zastosujmy statystykę Durbina-Watsona.

Musimy wykonać obliczenia pomocnicze, które prezentujemy w tabeli poniżej.

Dla obliczenia tej statystyki musimy zastosować poniższe wzory

0x01 graphic

co po podstawieniu naszych danych z tabeli daje nam r = 0,123

0x01 graphic

po podstawieniu danych z tabeli pomocniczej otrzymujemy d = 1,715.

Z tablic wartości krytycznych statystyki Durbina-Watsona, dla α=0,05 oraz n=30 i k=2 odczytujemy odpowiednie statystyki dL=1,28 oraz du=1,57.

t

yt

Yt

et

et2

et-1

et-12

et -et-1

et et-1

(et -et-1)2

1

8

11,887

-3,887

15,109

-

-

-

-

-

2

5

12,163

-7,163

51,309

-3,887

15,109

-3,276

27,843

10,732

3

15

12,623

2,377

5,650

-7,163

51,309

9,54

-17,026

91,012

4

13

13,267

-0,267

0,071

2,377

5,650

-2,644

-0,635

6,991

5

16

14,095

1,905

3,629

-0,267

0,071

2,172

-0,509

4,718

6

18

15,107

2,893

8,369

1,905

3,629

0,988

5,511

0,976

7

17

16,303

0,697

0,486

2,893

8,369

-2,196

2,016

4,822

8

21

17,683

3,317

11,002

0,697

0,486

2,62

2,312

6,864

9

19

19,247

-0,247

0,061

3,317

11,002

-3,564

-0,819

12,702

10

23

20,995

2,005

4,020

-0,247

0,061

2,252

-0,495

5,072

11

25

22,927

2,073

4,297

2,005

4,020

0,068

4,156

0,005

12

20

25,043

-5,043

25,432

2,073

4,297

-7,116

-10,454

50,637

13

24

27,343

-3,343

11,176

-5,043

25,432

1,7

16,859

2,890

14

27

29,827

-2,827

7,992

-3,343

11,176

0,516

9,451

0,266

15

22

32,495

-10,495

110,145

-2,827

7,992

-7,668

29,669

58,798

16

40

35,347

4,653

21,650

-10,495

110,145

15,148

-48,833

229,462

17

38

38,383

-0,383

0,147

4,653

21,650

-5,036

-1,782

25,361

18

45

41,603

3,397

11,540

-0,383

0,147

3,78

-1,301

14,288

19

51

45,007

5,993

35,916

3,397

11,540

2,596

20,358

6,739

20

47

48,595

-1,595

2,544

5,993

35,916

-7,588

-9,559

57,578

21

60

52,367

7,633

58,263

-1,595

2,544

9,228

-12,175

85,156

22

64

56,323

7,677

58,936

7,633

58,263

0,044

58,599

0,002

23

61

60,463

0,537

0,288

7,677

58,936

-7,14

4,123

50,980

24

63

64,787

-1,787

3,193

0,537

0,288

-2,324

-0,960

5,401

25

72

69,295

2,705

7,317

-1,787

3,193

4,492

-4,834

20,178

26

75

73,987

1,013

1,026

2,705

7,317

-1,692

2,740

2,863

27

79

78,863

0,137

0,019

1,013

1,026

-0,876

0,139

0,767

28

76

83,923

-7,923

62,774

0,137

0,019

-8,06

-1,085

64,964

29

90

89,167

0,833

0,694

-7,923

62,774

8,756

-6,600

76,668

30

92

94,595

-2,595

6,734

0,833

0,694

-3,428

-2,162

11,751

Σ 

-

-

-

529,789

-

523,055

-

64,546

908,642

Testujemy hipotezę

0x01 graphic

wobec hipotezy alternatywnej

0x01 graphic

Nanieśmy nasze dane na wykres.

0x01 graphic

W naszym przypadku (dla tego modelu ), przyjmujemy hipotezę H0 - autokorelacja więc nie występuje. Model jest modelem zakończonym pod względem estymacji.

Nanieśmy jeszcze nasze dane uzyskane za pomocą ekstrapolacji naszą funkcją na wykres.

Dane te zostały naniesione na wykres danych empirycznych - dla porównania.

0x01 graphic

Ad.3

0x01 graphic

Aby móc wykorzystać MNK, musimy dokonać podstawień. Za zmienną x2 podstawiamy x', uzyskując:

0x01 graphic

Macierz X i Y będą wyglądać następująco:

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

0x08 graphic

Po takim uporządkowaniu możemy zastosować już nasz wzór

0x01 graphic

Policzmy kolejno iloczyny macierzy:

  1. 0x01 graphic

0x01 graphic

2. 0x01 graphic

0x01 graphic

3. 0x01 graphic

0x01 graphic

Model nasz, przedstawiony za pomocą funkcji wielomianowej drugiego stopnia będzie miał postać:

0x01 graphic

Wariancja resztowa 0x01 graphic
:

0x01 graphic
0x01 graphic

gdzie:

n - liczba obserwacji (dla naszego przykładu 30),

k - liczba parametrów modelu (dla naszego przypadku 3).

Iloczyn macierzy YTY wynosi 70152, natomiast iloczyn 0x01 graphic
-69654,837. Po obliczeniu uzyskujemy, więc 0x01 graphic
=18,41 .

Możemy już teraz przejść do obliczenia średnich błędów szacunku modelu, które liczymy przypominamy wg wzoru:

0x01 graphic

gdzie cji to elementy stojące na przekątnej macierzy (XT X)-1

Obliczamy średnie błędy szacunku dla poszczególnych parametrów strukturalnych modelu:

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Model nasz możemy, więc zapisać w postaci:

0x01 graphic

Saj = (2,517) (0,384) (0,0117)

Wyznaczmy, tak jak w poprzedniej analizie, przedziały ufności dla parametrów modelu na poziomie istotności α=0,05 oraz dla n-k =27 stopni swobody. Z tablic rozkładu t-Studenta odczytujemy tα =2,052. Przedzialy ufności kolejnych parametrów modelu liczymy- dla przypomnienia z wzoru :

0x01 graphic

dla kolejnych parametrów naszego modelu uzyskujemy:

3,691<a0<14,021

Mówi nam to, że z prawdopodobieństwem 95% 0x01 graphic

-0,292 <a1<1,284

Z prawdopodobieństwem 95% 0x01 graphic

0,053 <a2<0,101

a więc, z prawdopodobieństwem 95% 0x01 graphic

Zweryfikujmy hipotezę

0x01 graphic

wobec alternatywnej

0x01 graphic

W tym celu wyznaczamy ze statystyki

0x01 graphic

t0 dla a0, które wynosi :

0x01 graphic

oraz t1 dla a1

0x01 graphic

i t2 dla a2

0x01 graphic

Z tablic rozkładu t-Studenta dla n-k stopni swobody i α = 0,05 odczytujemy: t0,05,27 = 2,052.

Przedstawmy tę sytuację na wykresie:

0x08 graphic

Wyniki mówią nam, że parametr a1 dla którego przyjmujemy hipotezę H0 jest statystycznie równy 0, oznacza to, że parametr ten nie ma wpływu na wielkość obrotów Parametr a0 oraz a2 są istotnie różne od zera. Mają one tym samym wpływ na wielkość obrotów. Zapiszmy nasz model w postaci :

0x01 graphic

Saj : (2,517) (0,384) (0,0117)

tj : (3,518) (1,292) (6,581)

Aby sprawdzić dopasowanie oszacowanego modelu do danych rzeczywistych wyznaczamy współczynnik determinacji R2 oraz odchylenie standardowe składnika resztowego modelu s.

Odchylenie standardowe reszt jest niczym innym jak pierwiastkiem kwadratowym z 0x01 graphic
czyli

0x01 graphic

w naszym przypadku wynosi ono 4,29 co oznacza, że przeciętne odchylenie wartości empirycznych od wartości rzeczywistych wynosi 4,29 tyś. zł. Obliczmy 0x01 graphic
, który obliczamy wg wzoru:

0x01 graphic

n - liczba obserwacji (30)

0x01 graphic
- średnia z macierzy = 40,867

Pozostałe wartości tego równania mamy już obliczone powyżej i po podstawieniu otrzymujemy

0x01 graphic

Model nasz jest więc bardzo dobrze dopasowany do danych empirycznych, bo wyjaśnia aż 97,52 % obserwacji. Posiadając obliczony współczynnik determinacji 0x01 graphic
możemy obliczyć

współczynnik zbieżności 0x01 graphic
, który liczymy jako różnice : 1 - R2 .

0x01 graphic

Niska wartość współczynnik zbieżności świadczy o dokładnym dopasowaniu modelu do danych empirycznych.

Współczynnik korelacji wielorakiej, to kolejna miara dopasowania modelu do danych empirycznych. Jest on pierwiastkiem kwadratowym z R2. Dla naszego modelu:

0x01 graphic
0x01 graphic

Ostatnią miarą dopasowania modelu jest współczynnik zmienności losowej, czyli

0x01 graphic

Dla naszego modelu, uzyskujemy

0x01 graphic

Współczynnik ten jest wyższy od wartości 10% co oznacza, że cechy wykazują zróżnicowanie statystycznie istotne. Jest on jednak najniższy z wszystkich prezentowanych i liczonych powyżej.

Zastosujemy statystykę Durbina-Watsona.

Musimy wykonać obliczenia pomocnicze, które prezentujemy w tabeli poniżej.

t

yt

Yt

et

et2

et-1

et-12

et -et-1

et et-1

(et -et-1)2

1

8

9,429

-1,429

2,042

-

-

-

-

-

2

5

10,156

-5,156

26,584

-1,429

2,042

-3,727

7,368

13,891

3

15

11,037

3,963

15,705

-5,156

26,584

9,119

-20,433

83,156

4

13

12,072

0,928

0,861

3,963

15,705

-3,035

3,678

9,211

5

16

13,261

2,739

7,502

0,928

0,861

1,811

2,542

3,280

6

18

14,604

3,396

11,533

2,739

7,502

0,657

9,302

0,432

7

17

16,101

0,899

0,808

3,396

11,533

-2,497

3,053

6,235

8

21

17,752

3,248

10,550

0,899

0,808

2,349

2,920

5,518

9

19

19,557

-0,557

0,310

3,248

10,550

-3,805

-1,809

14,478

10

23

21,516

1,484

2,202

-0,557

0,310

2,041

-0,827

4,166

11

25

23,629

1,371

1,880

1,484

2,202

-0,113

2,035

0,013

12

20

25,896

-5,896

34,763

1,371

1,880

-7,267

-8,083

52,809

13

24

28,317

-4,317

18,636

-5,896

34,763

1,579

25,453

2,493

14

27

30,892

-3,892

15,148

-4,317

18,636

0,425

16,802

0,181

15

22

33,621

-11,621

135,048

-3,892

15,148

-7,729

45,229

59,737

16

40

36,504

3,496

12,222

-11,621

135,048

15,117

-40,627

228,524

17

38

39,541

-1,541

2,375

3,496

12,222

-5,037

-5,387

25,371

18

45

42,732

2,268

5,144

-1,541

2,375

3,809

-3,495

14,508

19

51

46,077

4,923

24,236

2,268

5,144

2,655

11,165

7,049

20

47

49,576

-2,576

6,636

4,923

24,236

-7,499

-12,682

56,235

21

60

53,229

6,771

45,846

-2,576

6,636

9,347

-17,442

87,366

22

64

57,036

6,964

48,497

6,771

45,846

0,193

47,153

0,037

23

61

60,997

0,003

0,000

6,964

48,497

-6,961

0,021

48,456

24

63

65,112

-2,112

4,461

0,003

0,000

-2,115

-0,006

4,473

25

72

69,381

2,619

6,859

-2,112

4,461

4,731

-5,531

22,382

26

75

73,804

1,196

1,430

2,619

6,859

-1,423

3,132

2,025

27

79

78,381

0,619

0,383

1,196

1,430

-0,577

0,740

0,333

28

76

83,112

-7,112

50,581

0,619

0,383

-7,731

-4,402

59,768

29

90

87,997

2,003

4,012

-7,112

50,581

9,115

-14,245

83,083

30

92

93,036

-1,036

1,073

2,003

4,012

-3,039

-2,075

9,236

0x08 graphic
 

-

-

-

497,327

-

496,254

-

43,547

904,446

Dla obliczenia tej statystyki stosujemy poniższe wzory

0x01 graphic

co po podstawieniu naszych danych z tabeli daje nam r = 0,087

0x01 graphic

po podstawieniu danych z tabeli pomocniczej otrzymujemy d = 1,819.

Z tablic wartości krytycznych statystyki Durbina-Watsona, dla α=0,05 oraz n=30 i k=3 odczytujemy odpowiednie statystyki dL=1,21 oraz du=1,65. Testujemy hipotezę

0x01 graphic

Również w tym przypadku przyjmujemy hipotezę H0 - autokorelacja, więc nie występuje. Model jest modelem zakończonym pod względem estymacji.

Nanieśmy jeszcze nasze dane uzyskane za pomocą ekstrapolacji naszą funkcją na wykres.

Dane te zostały naniesione na wykres danych empirycznych - dla porównania.

0x01 graphic

Porównajmy uzyskane wyniki:

Parametry

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

2,55

1,2066

2,517

0x01 graphic

0,14

0,0029

0,384

0x01 graphic

-

-

0,0117

0x01 graphic

0,9353

0,9736

0,9752

0x01 graphic

0,0647

0,0264

0,0248

R

0,9671

0,9867

0,9875

V

0,1666

0,1064

0,105

s

6,81

4,35

4,29

Wadą pierwszego modelu jest występowanie autokorelacji składników losowych. Występuje tu też wyższy niż w innych prezentowanych modelach współczynnik zmienności losowej V.

Ogólne miary dopasowania świadczą o tym, że to trzeci model wielomianowy stopnia drugiego jest najlepiej dopasowany do danych empirycznych. Dla tego modelu 2,48% zmienności zmiennej objaśnionej nie zostało wyjaśnione przez model, jest to wielkość najniższa spośród tych trzech modeli. Model ten również ma najniższy błąd standardowy s czyli przeciętne odchylenie ilości rzeczywistej od ilości wyznaczonej na podstawie modelu. Z tego powodu model ten w postaci:

0x01 graphic

uznaliśmy za dobry i wybraliśmy go jako końcowy i właściwy efekt naszej pracy.

Dla zainteresowanych, podajemy poniżej wykres programu Excel z naniesioną linią trendu dla funkcji wielomianowej stopnia 6.

0x01 graphic

Dla tego modelu R2 = 0,9838. Wydaje się nam, że model przez nas wybrany z funkcją wielomianową jest bardzo dobrym modelem i wybór dokonany przez nas jest wyborem słusznym.

TABLICE DURBINA-WASTONA dla poziomu istotności 0,05 (służą do badania autokorelacji, oznaczenie: d lub DW).

1. Tablice od n=15.  (poniżej tablice dla n=6)

0x01 graphic

Oznaczenia:
n
- liczba obserwacji.
k- liczba zmiennych w modelu.

2. Tablice od n=6.

0x01 graphic

DYSTRYBUANTA ROZKŁADU STUDENTA (t-Studenta).

0x01 graphic

Tablice Dystrybuanty Rozkładu Normalnego (oznaczenie U lub Z).

0x01 graphic

1

H1

H1

H0

tj

t1=20,64

t0=-1,53

tα

-tα

0x01 graphic

0x01 graphic

t1=31,72

t0=9,77

tα

-tα

tj

H0

H1

H1

t1=1,292

t0=3,518

tα

-tα

tj

H0

H1

H1

t2=6,581

0x01 graphic

W 2 kolumnie wartości t

W 1 kolumnie same jedynki

Do macierzy Y podstawiamy wartości Yt

W 1 kolumnie same jedynki

W 2 kolumnie wartości t2

Do macierzy Y podstawiamy wartości Yt

W 1 kolumnie same jedynki

W 2 kolumnie wartości t

W 3 kolumnie wartości t2

Do macierzy Y podstawiamy wartości Yt



Wyszukiwarka