Rok akademicki 1994/95 |
Laboratorium z fizyki |
|||
Nr ćwiczenia: 25 |
Rezonans mechaniczny |
|||
Wydział: Elektronika Kierunek: El. i telek. Grupa: III |
Sobiesław Antolak
|
|||
Data wykonania 26.10.1994 rok |
Ocena |
Data zaliczenia |
Podpis |
|
|
T |
|
|
|
|
S |
|
|
|
1. Zasada pomiaru
Celem doświadczenia pierwszego było wyznaczenie dekrementu logarytmicznego tłumienia, czasu relaksacji, współczynnika oporu oraz dobroci układu drgań tłumionych. Równanie ruchu tłumionych drgań torsyjnych:
M = -Dp - H
Przy czym: M - moment siły, pod wpływem której odbywają się drgania; D - moment kierujący; Φ - kąt skręcania; H - współczynnik tłumienia
Wprowadzając współczynnik tłumienia β = , oraz pamiętając, że
= otrzymujemy ogólne równanie ruchu drgającego:
α = α0 * e-βt * sin (ωt + ϕ)
Przy czym: α0 * e-βt - amplituda drgań malejąca wykładniczo w czasie; ϕ - faza początkowa drgań
Wielkości charakteryzujące ruch drgań tłumionych.
I. Dekrement logarytmiczny tłumienia
λ = ln
Przy czym: ϕ0, ϕ1 - amplituda drgań tłumionych ϕ0 = ϕ (t) i ϕ1 = ϕ (t+T)
1 ϕ (t)
N ϕ (t+N*T)
Przy czym: T - okres drgań tłumionych; N - ilość drgań
II. Czas relaksacji - τ - to czas, w którym amplituda drgań zmaleje e razy
ϕτ = ϕ0 oraz βτ = 1 λ =
III. Dobroć układu
energia oscylatora
średnia energia tracona w jednym cyklu
Można pokazać, że
Q = ω0 * τ
Przy czym: ω0 - częstość kołowa drgań własnych (drgania harmoniczne nietłumione)
W doświadczeniu drugim mamy do czynienia z drganiami wymuszonymi. Są to takie drgania, kiedy na ciało działa moment siły zmieniającej się cyklicznie w czasie.
Mw = M0 * cos ω t
Przy czym: M0 - amplituda momentu wymuszającego; ω - częstość kołowa momentu wymuszającego
Równanie ruchu wymuszonego w przypadku drgań torsyjnych ma postać:
= - ω0 α - 2 β + P cos ω t
Przy czym P =
Z powyższego równania wynika, że:
α = ψ cos(ωx + δ), ωx = ω
a) drgania wymuszone są zgodne w fazie z momentem wymuszającym tylko wtedy, gdy nie występuję tłumienie
b) amplituda drgań jest przy stałych innych wielkościach, funkcją częstotliwości siły wymuszającej i posiada największą wartość wtedy, gdy występuje rezonans, to znaczy wówczas gdy:
ω2 = ω02 - 2 β2
Amplitudę drgań w momencie rezonansu obliczyć można korzystając z zależności:
P
2β ω02 - β2
Wprowadzając pojęcie połówkowej szerokości krzywej rezonansowej (Δω)1/2 można wykazać, że:
=
Przy czym: (Δω)1/2 = ω0 - ω
ω - to częstość kątowa, przy której moc pobierana przez układ zmaleje do połowy wartości czerpanej podczas rezonansu
Wówczas dobroć takiego układu możemy opisać zależnością:
ω0
(Δω)1/2
Dobroć układu równa jest stosunkowi częstości rezonansowej do połówkowej szerokości krzywej rezonansu.
Ar - amplituda podczas rezonansu ω0 - ω = ω0 - ω - połówkowa
szerokość krzywej rezonansowej
ω ω0 ω1 ω
Krzywa rezonansowa z zaznaczeniem szerokości połówkowej.
2. Schemat układów pomiarowych
Schemat nr 1. Urządzenie do badania drgań torsyjnych.
Zasadniczą częścią układu jest koło balansowe [K] wykonujące oscylacje dzięki
sprężynie [S]. Pobudzić tarczę do drgań można także za pomocą periodycznie zmieniającego się momentu wymuszającego przyłożonego do układu za pośrednictwem pręta [P] mimośrodowo zamocowanego do tarczy napędowej przez silnik [M], którego obroty można w sposób płynny regulować przy pomocy auto-transformatora.
Drgania tłumione uzyskuje się w zestawie dzięki zastosowaniu elektromagnesu [E] między biegunami którego przechodzi koło balansowe. Powstające prądy wirowe powodują hamowanie ruchu koła.
Wychylenie tarczy oraz ramienia [R] połączonego za pośrednictwem sprężyny z tarczą, można obserwować na tle skali [S].
Schemat nr 2. Schemat silnika elektrycznego
Schemat nr 3. Schemat elektromagnesu
3. Ocena dokładności pojedynczych pomiarów
W doświadczeniu stosowano urządzenia:
- amperomierz (Z = 3000 mA; K = 0.5),
- zasilacz regulowany,
- stoper.
Błąd odczytu amplitudy drgań przyjęto ΔA = działki.
Błąd stopera przyjęto Δt = 0.5 s.
4. Tabele pomiarowe
Doświadczenie I.
I = 0 N = 4
A0 (dz) |
9 |
9 |
9 |
7 |
7 |
7 |
5 |
5 |
5 |
A4 (dz) |
6.25 |
6 |
6.5 |
5 |
5 |
5 |
3 |
3 |
3 |
|
A4 = 6.25 |
A4 = 5 |
A4 = 3 |
||||||
t4 (s) |
5.12 |
5.19 |
5.34 |
5.34 |
5.47 |
5.34 |
5.41 |
5.37 |
5.60 |
|
t4 = 5.22 |
t4 = 5.38 |
t4 = 5.46 |
||||||
T (s) |
1.305 |
1.345 |
1.365 |
||||||
δ |
0.091 |
0.084 |
0.128 |
||||||
τ (s) |
14.34 |
16.01 |
10.66 |
||||||
H (kg*m2/s) |
4.88*10-4 |
4.37*10-4 |
6.56*10-4 |
||||||
Q |
69.04 |
74.79 |
49.07 |
||||||
I = 1.2 A N = 4
A0 (dz) |
9 |
9 |
9 |
7 |
7 |
7 |
5 |
5 |
5 |
A4 (dz) |
5.5 |
5.5 |
5.5 |
4.5 |
4.5 |
4.5 |
3 |
3 |
3 |
|
A4 = 5.5 |
A4 = 4.5 |
A4 = 3 |
||||||
t4 (s) |
5.40 |
5.32 |
5.31 |
5.63 |
5.43 |
5.44 |
5.44 |
5.33 |
5.50 |
|
t4 = 5.34 |
t4 = 5.50 |
t4 = 5.49 |
||||||
T (s) |
1.335 |
1.375 |
1.372 |
||||||
δ |
0.123 |
0.110 |
0.128 |
||||||
τ (s) |
10.854 |
12.500 |
10.719 |
||||||
H (kg*m2/s) |
6.45*10-4 |
5.60*10-4 |
6.53*10-4 |
||||||
Q |
51.08 |
57.12 |
49.09 |
||||||
Doświadczenie II.
I = 2 A N = 9
A (dz) |
1 |
2 |
3.5 |
6 |
8.5 |
1 |
2 |
3 |
6 |
t10 (s) |
31.84 |
18.71 |
16.10 |
14.84 |
13.88 |
10 |
11.53 |
12.31 |
13.06 |
ω (1/s) |
1.973 |
3.358 |
3.902 |
4.234 |
4.527 |
6.283 |
5.449 |
5.104 |
4.811 |
Δω (1/s) |
0.030 |
0.090 |
0.121 |
0.143 |
0.163 |
0.314 |
0.236 |
0.207 |
0.184 |
5. Przykładowe obliczenia wyników pomiarów wielkości złożonej
T = t4 / 4 = = 1.305 [s]
δ = * ln = * ln = 0.091
τ = = = 14.34 [s]
IB = (35 ± 2) * 10-4 [kg * m2]
H = = = 4.88*10-4
ω = = = 1.973
Q = = = 69.04
6. Rachunek błędów
Błąd czasu obliczono wyznaczając spośród błędów przeciętnych błąd maksymalny.
Dla A0 = 9 otrzymano
Δt1 = t1 - t = 5.12 - 5.22 = 0.1 [s]
Δt2 = t2 - t = 0.03 [s]
Δt3 = t3 - t = 0.12 [s]
Δtmax = Δt3 = 0.12 [s]
Błąd okresu obliczono metodą różniczki zupełnej
T =
ΔT = * =
ΔT = = = 0.03 [s]
Błąd dekrementu tłumienia obliczono metodą różniczki zupełnej
δ = * ln = * (ln A0 -ln AN)
Δδ = * * + *
Δδ = + ( + )
Δδ = + ( + ) ≈ 0.034
Błąd czasu relaksacji
Δτ = +
Δτ = + = 5.69 [s]
Błąd współczynnika oporu:
H =
H = * ( ) * dIB + * ( ) * dδ + * ( )*dT
ΔH = * ΔIB + * Δδ + * ΔT
ΔH = * 2*10-4 + * 0.034*10-4 + * 0.03*10-4
ΔH = 2.21 * 10-4
Błąd dobroci układu:
Q =
ΔQ = + *ΔT
ΔQ = + * 0.03 ≈ 28.99 ≈ 29
Doświadczenie II
Δt = 0.5 [s] - błąd stopera
Błąd okresu
ΔT =
ΔT = 0.05 [s]
ω =
Δω = = = 0.030
7. Zestawienie wyników pomiarów
Doświadczenie I.
I [A] |
A0 [dz] |
A4 [dz] |
t4 [s] |
T [s] |
δ |
τ [s] |
H [kg*m2/s] |
Q |
0 |
9.0±0.5 |
6.2±0.5 |
5.22±0.12 |
1.30±0.03 |
0.091±0.034 |
14.34±5.69 |
4.88*10-4±2.21*10-4 |
49±29 |
0 |
7.0±0.5 |
5.0±0.5 |
5.38±0.09 |
1.345±0.022 |
0.084±0.043 |
16.01±8.47 |
4.37*10-4±2.56*10-4 |
74.8±40.8 |
0 |
5.0±0.5 |
3.0±0.5 |
5.46±0.14 |
1.365±0.034 |
0.128±0.067 |
10.66±5.85 |
6.56*10-4±3.98*10-4 |
49.07±42.04 |
1.2 |
9.0±0.5 |
5.5±0.5 |
5.34±0.08 |
1.34±0.02 |
0.123±0.037 |
10.85±3.43 |
6.45*10-4±2.41*10-4 |
51.08±44.37 |
1.2 |
7.0±0.5 |
4.5±0.5 |
5.50±0.13 |
1.375±0.033 |
0.110±0.046 |
12.50±5.48 |
5.60*10-4±2.78*10-4 |
57.12±56.57 |
1.2 |
5.0±0.5 |
3.0±0.5 |
5.49±0.16 |
1.37±0.04 |
0.128±0.067 |
10.72±5.93 |
6.53*10-4±3.98*10-4 |
49.09±42.88 |
Doświadczenie II
A [dz] |
1.0±0.5 |
2.0±0.5 |
3.5±0.5 |
6.0±0.5 |
8.5±0.5 |
1.0±0.5 |
2.0±0.5 |
3.0±.0.5 |
6.0±0.5 |
t10 [s] |
31.8±0.5 |
18.7±0.5 |
16.1±0.5 |
14.8±0.5 |
13.9±0.5 |
10.0±0.5 |
11.5±0.5 |
12.3±0.5 |
13.1±0.5 |
ω [1/s] |
1.973±0.030 |
3.358±0.090 |
3.902±0.121 |
4.234±0.143 |
4.527±0.163 |
6.283±0.314 |
5.449±0.236 |
5.104±0.207 |
4.811±0.184 |
8. Uwagi i wnioski
Zmieniając natężenie prądu w obwodzie z elektromagnesem, zmieniano tłumienie. Z otrzymanych wyników pomiarowych widać, że dla mniejszego tłumienia czas relaksacji jest większy. Jest to zgodne z intuicją, gdyż potrzeba więcej czasu, aby amplituda drgań zmieniła się e-razy.
Logarytmiczny dekrement tłumienia był z kolei dla tego przypadku mniejszy, gdyż stosunek dwóch kolejnych amplitud (w przypadku braku tłumienia) był mniejszy. Błąd logarytmicznego dekrementu tłumienia jest dość duży, dochodzi nawet do 30%. Związane jest to z małą dokładnością odczytu wyników pomiarowych ze skali na urządzeniu (jako błąd odczytu przyjęto 0,5 działki).
dΦ
dt
H
2Ib
M
d2α
Ib
dt2
ϕ0
ϕ1
λ =
ln
T
1
τ
e
Q = 2* Π *
d α2
d α
d t2
d t
M0
I
ψ =
(Δω)1/2
1
~
τ
Q =
Ar
1
Ar
A
2
1
s
~ 220 V
Silnik
Elektromagnes
0 - 25 V
A
1
2
5.22
4
9
1
1
A0
6.25
4
N
AN
1.305
T
0.091
δ
kg *m2
2*35*0.091*10-4
2IBδ
s
1.035
T
1
2*Π
2*Π
s
3.184
T
2*Π * 14.34
2*Π * τ
1.305
T
t
4
Δt
Δt
d
dt
4
4
0.12
Δtmax
4
4
1
A0
1
N
AN
N
AN * A0 * ΔAN
1
ΔA0
AN
1
A0 * AN2
N
AN
A0
N
ΔAN
ΔA0
1
AN
A0
N
0.5
0.5
1
6.25
9
4
T * Δδ
ΔT
δ2
δ
1.305*0.034
0.03
(0.091)2
0.091
2*IB*δ
T
2*IB*δ
d
2*IB*δ
d
2*IB*δ
d
d
T
d T
d δ
T
T
d IB
d H
2*IB*δ
2*IB
2*δ
T2
T
T
2*35*0.091
2*35
2*0.091
(1.305)2
1.305
1.305
kg*m2
s
2*Π*τ
T
2*Π*τ
2*Π*Δτ
T2
T
2*Π*14.34
2*Π*5.69
(1.305)2
1.035
Δt
10
2*Π
T
1
2*Π*0.05
2*Π*ΔT
s
(3.184)2
T2