ADDYTYWNY, LINIOWY MODEL TENDENCJI ROZWOJOWEJ BEZ UWZGLĘDNIANIA

WAHAŃ OKRESOWYCH

Założenia

- model tendencji rozwojowej budujemy na podstawie szeregu czasowego
, gdy elementy
nie zawierają wahań okresowych,

- wahania przypadkowe nakładają się na trend zjawiska w sposób addytywny.

Ogólna postać modelu

;

gdzie:

- funkcja trendu opisująca tendencję rozwojową badanego zjawiska,

- zmienna losowa reprezentującą wahania przypadkowe.

Postać liniowego modelu tendencji rozwojowej

;

dla

Przykład

Lata
1993	0	175	0	0	180,1
1994	1	248	248	1	235,7
1995	2	288	576	4	291,4
1996	3	343	1029	9	347,0
1997	4	397	1588	16	402,6
1998	5	464	2320	25	458,2
	15	1915	5761	55	1915

ADDYTYWNY, LINIOWY MODEL TENDENCJI ROZWOJOWEJ PRZY UWZGLĘDNIENIU

WAHAŃ OKRESOWYCH

Założenia

- model tendencji rozwojowej budujemy na podstawie szeregu czasowego
, gdy elementy
zawierają wahania okresowe,

- wahania przypadkowe nakładają się na trend zjawiska w sposób addytywny.

Postać modelu

,

gdzie
są zmiennymi zero-jedynkowymi reprezentującymi poszczególne podokresy cyklu:

1, dla obserwacji dotyczących i-tego kwartału,

0, dla obserwacji dotyczących pozostałych kwartałów.

,

,

dla
,

.

Parametry
stojące przy zmiennych zero-jedynkowych charakteryzują absolutną wielkość wahań okresowych w poszczególnych kwartałach.

Uwarunkowania

• pomiędzy zmiennymi niezależnymi modelu zachodzi zależność liniowa postaci
  

• eliminujemy z modelu dowolną zmienną zero-jedynkową, zastępując ją przez kombinację liniową pozostałych zmiennych

• parametry dla reprezentowanych w modelu wariantów zmiennej jakościowej mierzą wpływ tych wariantów odniesiony do wpływu wariantów pominiętego

• wyraz wolny jest powiększony o wartość mierzącą wpływ pominiętego wariantu cechy jakościowej

ANALIZA WAHAŃ PRZYPADKOWYCH

gdzie:

Wartość odchylenia standardowego reszt mówi, o ile średnio wartości zjawiska obserwowane w poszczególnych okresach odchylają się od wartości teoretycznych tego zjawiska na skutek wahań przypadkowych.

Przykład

WERYFIKACJA MODELU. TEST DURBINA - WATSONA

Autokorelacja składnika losowego

przyczyna: w szeregu czasowym występuje przeważnie wtedy gdy efekt oddziaływania czynników przypadkowych trwa dłużej niż jednostka czasu przyjęta w badaniu,

pomiar: współczynnik autokorelacji rzędu 1 (odległość pomiędzy składnikami losowymi wynosi jednostkę):

którego nieobciążonym estymatorem jest współczynnik autokorelacji reszt modelu:

Weryfikacja hipotezy dotyczącej

skorelowania składników losowych

1. Stawiamy hipotezę, że sąsiadujące ze sobą składniki losowe w addytywnym modelu tendencji rozwojowej są nieskorelowane:

wobec hipotezy alternatywnej:

2. Jeżeli
jest prawdziwa, to statystyka d o postaci:

posiada rozkład Durbina - Watsona, który zależy od liczby obserwacji (n) oraz liczby zmiennych niezależnych w modelu (m).

Pomiędzy statystyką d a współczynnikiem autokorelacji z próby
zachodzi zależność:

z czego wynika, że
przy czym

jeżeli
to
.

3. Przy danym poziomie istotności 2 ustalamy wartości krytyczne statystyki d oznaczane jako
i
, wyznaczające obszary podejmowania decyzji odnośnie sprawdzanej
:

odrzucamy,

nie podejmujemy żadnej decyzji,

przyjmujemy.

odrzucamy brak przyjmujemy brak odrzucamy

H₀ decyzji H₀ decyzji H₀

0 d₁ d₂ 2 d₃ d₄ 4

(4-d₂) (4-d₁)

Przykład

PROGNOZA NA PODSTAWIE ADDYTYWNEGO MODELU WAHAŃ W CZASIE Z LINIOWĄ FUNKCJĄ TRENDU

dokonujemy prognozy, opierając się na klasycznym modelu trendu liniowego:

gdzie:

T=n-1+w - jest okresem prognozowanym,

przy czym:

w - długość prognozy.

estymator średniego błędu prognozy określamy jako:

uwzględnienie wahań okresowych

addytywne wahania okresowe:

.

multiplikatywne wahania okresowe:

.

Przykład

Dokonujemy prognozy liczby złamań w 2002 roku

Błąd prognozy

---