Statystyka Stosowana. Lista nr 1.
1. Pokaza, e
2. Niech
Znale zbiory
, 
, 
, 
, 
, 
.
, A\B, A\C, B\A.
3. Wyznaczy
, 
, 
, 
jeli
, 
,gdzie a<b.
4. Aby uzyska poczenie w sieci komputerowej uytkownik musi zna
haso, które skada si z piciu liter alfabetu angielskiego oraz jednej
cyfry nastpujcej po sekwencji liter. Jakie jest prawdopodobiestwo, e
osoba postronna odgadnie haso jeeli wiadomo jej i haso to zawiera
trzy litery A oraz na kocu jest cyfra bdca liczb parzyst (Uwaga:
0 jest liczb parzyst).
5. Rozmieszczamy losowo r rozrónialnych kul w n komórkach. Wyznaczy
prawdopodobiestwo, e komórka pierwsza zawiera dokadnie k kul (statystyka
Maxwella-Boltzmanna).
Rozmieszczamy losowo r nierozrónialnych kul w n komórkach. Wyznaczy
prawdopodobiestwo, e komórka pierwsza zawiera dokadnie k kul (statystyka
Bose-Einsteina).
6. . Z talii kart wycignito cztery karty. Znale prawdopodobiestwo,
tego e bd wród nich dokadnie dwa asy.
7. W skrzynce znajduje si 47 arówek dobrych i 3 przepalone. Wycigamy losowo pi arówek. Jakie jest prawdopodobiestwo, e bd wród nich najwyej dwie przepalone?
8. Winda rusza z siedmioma pasaerami i zatrzymuje si na dziesiciu
pitrach. Jakie jest prawdopodobiestwo, e kady z pasaerów
wysidzie na innym pitrze?
9.. Pokaza, e dla dowolnych dwóch zdarze A, B
a) 
.
b) prawdopodobiestwo, e zaszo dokadnie jedno ze zdarze A , B
jest równe 
.
10. . Udowodni, e
a nastpnie uogólni ten wzór dla sumy n zbiorów.
11. Mamy n kopert i n listów ponumerowanych liczbami od 1 do n.
W sposób losowy wkadamy listy do kopert. Jakie jest prawdopodobiestwo
zdarzenia A, które polega na tym, e chocia jeden list bdzie we waciwej
kopercie. Znale granic tego prawdopodobiestwa przy 
.
12. Niech 
, 
, bdzie cigiem zdarze takim, e 
dla kadego r. Pokaza, e 
=1 .
13. Rzucamy monet tak dugo, a upadnie dwa razy pod rzd na t sam
stron . Jak wyglda przestrze zdarze elementarnych ?
Jakie jest prawdopodobiestwo tego, e gra skoczy si przed
szóstym rzutem? Jakie jest prawdopodobiestwo, e potrzebna bdzie parzysta
liczba rzutów ?
14. Trzech strzelców oddao po jednym strzale, przy czym dwa pociski trafiy w cel. Znale prawdopodobiestwo tego, e trzeci strzelec trafi, jeli prawdopodobiestwa trafienia dla poszczególnych strzelców wynosz :
.
15. Na 100 mczyzn piciu, a na 1000 kobiet dwie nie rozróniaj kolorów. Z grupy o jednakowej liczbie kobiet i mczyzn wybrano losowo osob, która okazaa si daltonist. Jakie jest prawdopodobiestwo, e jest to kobieta ?
16. Rzucamy dwiema kostkami do gry. Rozpatrzmy trzy zdarzenia :
A - suma oczek jest parzysta, B - suma oczek jest mniejsza ni 4, C - suma oczek jest podzielna przez 3.
Czy zdarzenia A, B, C s wzajemnie niezalene?
4. Czy jest moliwe, aby dwa zdarzenia byy niezalene i rozczne ?
5. Czy jest moliwe, aby zdarzenie A byo niezalene od zdarzenia A ?
6. Udowodni , e jeli zdarzenia A, B, C s niezalene to zdarzenia A, B,
s niezalene.
17. Pewna metoda izotopowa wykrywania uszkodze daje nastpujce wyniki:
a) jeli urzdzenie ma uszkodzenie to metoda ta pozwala na jego wykrycie
w 90% przypadków i nie wykrywa go w 10% przypadków;
b) jeli urzdzenie nie ma uszkodzenia to metoda ta daje w 99% przypadków
informacje zgodne ze stanem faktycznym i w 1% przypadków informuje o defekcie, którego nie ma. W pewnej partii urzdze jest 2%, majcych defekt. Jakie jest prawdopodobiestwo, e wybrane losowo urzdzenie , rozpoznane jako uszkodzone jest rzeczywicie uszkodzone?
18. Pewien egzamin sprowadza si do podkrelenia poprawnej odpowiedzi na
licie obejmujcej poza odpowiedzi prawdziw m - 1 odpowiedzi faszywych.
Niech p oznacza prawdopodobiestwo tego, e zdajcy zna prawdziw
odpowied. Jakie jest prawdopodobiestwo tego, e zdajcy zna prawdziw
odpowied , jeeli podkrelenie byo trafne. Wykona obliczenia dla
p = 1/2 i m = 6.
19. Niech 
bd zdarzeniami takimi, e
oraz 
.
Czy zdarzenia te s niezalene?
20. Pewna firma produkuje oporniki o nominalnej opornoci 10 Omega .
Jednake ich rzeczywista oporno moe si zmienia. Stwierdzono,e
5% oporników ma oporno poniej 9,5 Omega, 10% -- powyej 10,5 Omega.
Wybrano losowo dwa oporniki (niezalenie). Wyznaczy prawdopodobiestwo tego, e
a) opornoci obu oporników przyjmuj wartoci midzy 9,5 i 10,5 Omega,
b) co najmniej jeden z tych oporników ma oporno wiksz od 10,5 Omega.
Roman Róaski.
_
Wyszukiwarka