Matura 141 (rozszerzony)

Zad.1.(5pkt).

Maszynistka miała do przepisania książkę liczącą 586 stron. Przez pierwsze trzy dni przepisywała po 14 stron dziennie. Następnie postanowiła, że czwartego dnia przepisze o dwie strony więcej niż trzeciego dnia i każdego następnego dnia przepisze o dwie strony więcej niż dnia poprzedniego. W ciągu ilu dni przepisała całą książkę?

Zad.2.(4pkt).

Wiadomo, że
. Wyznacz
w zależności od a.

Zad.3.(6pkt).

W trójkącie ostrokątnym ABC dane są długości boków: |AC|

= 6, |BC| = 10. Pole trójkąta ABC jest równe
. Oblicz:

1. Długość boku AB.

2. Sinus kąta BAC.

3. Pole koła opisanego na trójkącie ABC.

4. Długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt.

Zad.4.(7pkt).

Obwód trapezu równoramiennego o kacie ostrym 60⁰ równa się 2s (s > 0). Jakie powinny być wymiary tego trapezu, aby jego pole było największe? Oblicz to największe pole.

Zad.5.(4pkt).

Ze zbioru
losujemy dwa razy (bez zwracania) po jednej liczbie. Oznaczamy te liczby w kolejności losowania, a oraz b. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia: A - para liczb (a; b) jest rozwiązaniem nierówności x - y - 2 < 0.

Zad.6.(5pkt).

Graniastosłup prawidłowy czworokątny przecięto płaszczyzną, przechodzącą przez jeden z wierzchołków podstawy, otrzymując w przekroju romb o kącie ostrym α. Wyznacz cosβ, gdzie β jest kątem nachylenia płaszczyzny przekroju do płaszczyzny podstawy bryły.

Zad.7.(5pkt).

Dla jakich
liczby:
w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny? Dla znalezionej wartości x wyznacz ciąg i jego iloraz.

Zad.8.(5pkt).

Dana jest funkcja
. Wykaż, że zbiorem wartości tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.

Zad.9.(6pkt).

Okrąg o równaniu (x - 1)² + (y + 2)² = 1 przecina jedną z gałęzi hiperboli o równaniu
, punktach A=(0; -2) i B=(1; -3).

1. Narysuj obie krzywe we wspólnym układzie współrzędnych.

2. Na drugiej gałęzi hiperboli wyznacz współrzędne takiego punktu C, który jest równo odległy od punktów A i B.

Zad.10.(3pkt).

Liczby x₁, x₂ są takimi rozwiązaniami równania: x² + bx + c = 0 (b² > 4c), że
. Oblicz b i c.

---